7: Нелінійні системи
- Page ID
- 62034
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
«Вчений не вивчає природу, тому що вона корисна; він вивчає її, тому що захоплюється нею, і захоплюється нею, тому що вона прекрасна». - Жюль Анрі Пуанкаре (1854-1912)
- 7.1: Вступ
- Деякі з найцікавіших явищ у світі моделюються нелінійними системами. Ці системи можуть бути змодельовані диференціальними рівняннями, коли час розглядається як безперервна змінна або різницевих рівнянь, коли час обробляється дискретними кроками.
- 7.2: Логістичне рівняння
- У цьому розділі ми розглянемо просту нелінійну модель популяції. Як правило, ми хочемо змоделювати зростання даної популяції, y (t), і диференціальне рівняння, що регулює поведінку зростання цієї популяції, розробляється таким чином, що використовувався раніше для змішування проблем.
- 7.3: Автономні рівняння першого порядку
- У цьому розділі ми вивчимо стійкість нелінійних автономних рівнянь першого порядку. Потім ми продовжимо це дослідження в наступному розділі до розгляду сімейств рівнянь першого порядку, які пов'язані через параметр.
- 7.5: Стабільність нерухомих точок в нелінійних системах
- Далі досліджується стійкість рівноважних розв'язків нелінійного маятника, з якими ми вперше зіткнулися в розділі 2.3.2. Попутно ми будемо розробляти деякі основні методи дослідження стійкості рівноваг в нелінійних системах загалом.
- 7.6: Нелінійні моделі населення
- МИ ВЖЕ СТИКАЛИСЯ З ДЕКІЛЬКОМА МОДЕЛЯМИ динаміки населення в цьому та попередніх розділах. Звичайно, можна було придумати кілька інших прикладів. Хоча такі моделі можуть здатися далекими від застосування у фізиці, виявляється, що ці моделі призводять до систем диференціальних рівнянь, які також з'являються у фізичних системах, таких як зв'язок хвиль у лазерах, у фізиці плазми та в хімічних реакціях.
- 7.7: Обмеження циклів
- Поки що ми щойно були стурбовані рівноважними рішеннями та їх поведінкою. Однак асимптотично стійкі фіксовані точки - не єдині атрактори. Існують інші типи рішень, відомі як граничні цикли, до яких рішення може прагнути. У цьому розділі ми розглянемо деякі приклади цих періодичних рішень.
- 7.8: Неавтономні нелінійні системи
- В ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ ОБГОВОРИМО НЕАВТОНОМНІ СИСТЕМИ. Нагадаємо, що автономна система - це та, в якій немає явної залежності від часу.
- 7.9: Період нелінійного маятника
- НАГАДАЄМО, ЩО ПЕРІОД ПРОСТОГО МАЯТНИКА
- 7.10: Точні розв'язки з використанням еліптичних функцій
- РОЗВ'ЯЗАННЯ РІВНЯННЯ 7.9.9 НЕЛІНІЙНОГО МАЯТНИКОВОГО РІВНЯННЯ призвело до введення еліптичних інтегралів.
Мініатюра: Траєкторія зразка через фазовий простір побудована поблизу атрактора Лоренца з σ = 10, ρ = 28, β = 8/3. Колір розчину з часом тьмяніє від чорного до синього, а чорна точка показує частинку, що рухається вздовж розчину в часі. Початкові умови: x (0) = 0, y (0) = 2, z (0) = 20. 0 < t < 35. Тривимірна траєкторія {x (t), y (t), z (t)} показана під різними кутами, щоб продемонструвати її структуру. (CC BY-SA 3.0; Ден Куїнн через Вікіпедію)