6.9: Проблеми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61962

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо систему

\[\begin{gathered} x^{\prime}=-4 x-y \\ y^{\prime}=x-2 y \end{gathered} \nonumber \]

Визначаємо диференціальне рівняння другого порядку, задоволене\(x(t)\).
Вирішити диференціальне рівняння для\(x(t)\).
Використовуючи це рішення, знайдіть\(y(t)\).
Перевірте свої рішення для\(x(t)\) і\(y(t)\).
Знайти конкретне рішення системи з урахуванням початкових умов\(x(0)=1\) і\(y(0)=0\).

Розглянемо наступні системи. Визначте сімейства орбіт для кожної системи і намалюйте кілька орбіт у фазовій площині і класифікуйте їх за типом (стійкий вузол і т.д.)
1. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=3 x \\ &y^{\prime}=-2 y . \end{aligned} \nonumber \]
2. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=-y \\ &y^{\prime}=-5 x \end{aligned} \nonumber \]
3. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=2 y \\ &y^{\prime}=-3 x \end{aligned} \nonumber \]
4. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=x-y \\ &y^{\prime}=y . \end{aligned} \nonumber \]
5. \[\begin{aligned} x^{\prime} &=2 x+3 y \\ y^{\prime} &=-3 x+2 y \end{aligned} \nonumber \]
Використовуйте перетворення, що стосуються полярних та декартових координат, щоб довести, що

\[\dfrac{d \theta}{d t}=\dfrac{1}{r^{2}}\left[x \dfrac{d y}{d t}-y \dfrac{d x}{d t}\right]\nonumber \]

Розглянемо систему рівнянь на прикладі 6.1.13.
1. Виведіть полярну форму системи.
2. Розв'яжіть радіальне рівняння\(r^{\prime}=r\left(1-r^{2}\right)\), для початкових значень\(r(0)=0,0.5,1.0,2.0 .\)
3. На основі цих розв'язків побудуйте та опишіть поведінку всіх розв'язків вихідної системи в декартових координатах.
Розглянемо наступні системи. Для кожної системи визначають матрицю коефіцієнтів. Коли це можливо, розв'яжіть задачу на власні значення для кожної матриці та використовуйте власні значення та власні функції для забезпечення розв'язків заданих систем. Нарешті, у поширених випадках, які ви досліджували в Задачі 2, зробіть порівняння з попередніми відповідями, наприклад, який тип власних значень відповідає стабільним вузлам.
1. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=3 x-y \\ &y^{\prime}=2 x-2 y \end{aligned} \nonumber \]
2. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=-y \\ &y^{\prime}=-5 x \end{aligned} \nonumber \]
3. \[\begin{aligned} x^{\prime} &=x-y \\ y^{\prime} &=y . \end{aligned} \nonumber \]
4. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=2 x+3 y \\ &y^{\prime}=-3 x+2 y . \end{aligned} \nonumber \]
5. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=-4 x-y \\ &y^{\prime}=x-2 y \end{aligned} \nonumber \]
6. \[\begin{aligned} &x^{\prime}=x-y \\ &y^{\prime}=x+y \end{aligned} \nonumber \]
Для заданої матриці оцінюють\(e^{t A}\), використовуючи визначення

\[e^{t A}=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{t^{n}}{n !} A^{n}=I+t A+\dfrac{t^{2}}{2} A^{2}+\dfrac{t^{3}}{3 !} A^{3}+\ldots\nonumber \]

і спрощення.

\(A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)\)
\(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -2 & 2\end{array}\right)\).
\(A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\).
\(A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)\)
\(A=\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\ i & 0\end{array}\right)\).
\(A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\)

Знайти фундаментальний матричний розв'язок для системи\(\mathbf{x}^{\prime}=A \mathbf{x}\), де задана\(A\) матриця. Якщо передбачено початкову умову, знайдіть розв'язок задачі початкового значення за допомогою основної матриці.
1. \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -2 & 2\end{array}\right)\)
2. \(A=\left(\begin{array}{cc}12 & -15 \\ 4 & -4\end{array}\right), \mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\)
3. \(A=\left(\begin{array}{rr}2 & -1 \\ 5 & -2\end{array}\right)\).
4. \(A=\left(\begin{array}{cc}4 & -13 \\ 2 & -6\end{array}\right), \mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right)\)
5. \(A=\left(\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 3\end{array}\right)\)
6. \(A=\left(\begin{array}{cc}3 & 5 \\ -1 & 1\end{array}\right)\)
7. \(A=\left(\begin{array}{cc}8 & -5 \\ 16 & 8\end{array}\right), \mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)\)
8. \(A=\left(\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -3\end{array}\right)\).
9. \(A=\left(\begin{array}{lll}5 & 4 & 2 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right)\)
Розв'яжіть наступні задачі початкового значення за допомогою Рівняння 6.8.6, розв'язку неоднорідної системи за допомогою основного матричного розв'язку.
1. \[\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{array}\right) \mathbf{x}+\left(\begin{array}{c} e^{t} \\ t \end{array}\right), \mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \nonumber \]
2. \[\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3 \\ -6 & -4 \end{array}\right) \mathbf{x}+\left(\begin{array}{c} 1 \\ e^{t} \end{array}\right), \mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right) \nonumber \]
3. \[\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 5 & -2 \end{array}\right) \mathbf{x}+\left(\begin{array}{c} \cos t \\ \sin t \end{array}\right), \mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right) \nonumber \]
Додайте третю пружину, з'єднану з масою два в сполученій системі, показаній на малюнку 6.1.2, до стіни в крайньому правому куті. Припустимо, що маси однакові, а пружини однакові.
1. Моделюйте цю систему з набором диференціальних рівнянь першого порядку.
2. Якщо маси все\(2.0 \mathrm{~kg}\) і пружинні константи все\(10.0\)\(\mathrm{N} / \mathrm{m}\), то знайдіть загальне рішення для системи.
3. Перемістіть масу одну вліво (рівноваги)\(10.0 \mathrm{~cm}\) і масу дві вправо\(5.0 \mathrm{~cm}\). Відпустіть їх. знайдіть рішення і збудуйте його як функцію часу. Де кожна маса в\(5.0\) секундах?
4. Змоделюйте цю початкову задачу з множиною двох диференціальних рівнянь другого порядку. Налаштуйте систему за формою\(M \ddot{\mathbf{x}}=-K \mathbf{x}\) і вирішуйте, використовуючи значення частково\(b\).
У прикладі 6.1.14 ми досліджували парну систему масо-пружинну як пару диференціальних рівнянь другого порядку.
1. У цій задачі ми використовували\(\sqrt{\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}}=\dfrac{\sqrt{5} \pm 1}{2}\). Доведіть цей результат.
2. Перепишіть систему як систему з чотирьох рівнянь першого порядку.
3. Знайдіть власні значення та власні функції для системи рівнянь у частині b, щоб прийти до розв'язку, знайденого в прикладі 6.1.14.
4. Нехай\(k=5.00 \mathrm{~N} / \mathrm{m}\) і\(m=0.250 \mathrm{~kg}\). Припустимо, що маси спочатку знаходяться в стані спокою і побудуйте позиції як функцію часу, якщо спочатку i)\(x_{1}(0)=x_{2}(0)=10.0 \mathrm{~cm}\) і i)\(x_{1}(0)=-x_{2}(0)=10.0\)\(\mathrm{cm}\). Опишіть отриманий рух.
Розглянемо схему послідовності на малюнку\(2.4\) с\(L=1.00 \mathrm{H}, R=1.00 \times 10^{2}\)\(\Omega, C=1.00 \times 10^{-4} \mathrm{~F}\), і\(V_{0}=1.00 \times 10^{3} \mathrm{~V}\)
1. Встановіть задачу як систему двох диференціальних рівнянь першого порядку для заряду і струму.
2. Припустимо, що ніякого заряду немає і струм не тече в той час\(V_{0}\),\(t=0\) коли подається. Знайдіть струм і заряд на конденсаторі як функції часу.
3. Побудуйте свої рішення і опишіть, як система поводиться з плином часу.
Розглянемо послідовну схему на рис. 6.2.2.1 с\(L=1.00 \mathrm{H}, R_{1}=R_{2}=\)\(1.00 \times 10^{2} \Omega, C=1.00 \times 10^{-4} \mathrm{~F}\), і\(V_{0}=1.00 \times 10^{3} \mathrm{~V}\).
1. Встановлено задачу як систему диференціальних рівнянь першого порядку для зарядів і струмів у кожному контурі.
2. Припустимо, що ніякого заряду немає і струм не тече в той час\(V_{0}\),\(t=0\) коли подається. Знайдіть струм і заряд на конденсаторі як функції часу.
3. Побудуйте свої рішення і опишіть, як система поводиться з плином часу.
Спочатку резервуар на 100 галонів заповнюється чистою водою. За часом в ємність додають\(t=0\) воду з півкілограма солі на два галони з розрахунку 3 галони в хвилину, і добре перемішану суміш зливають з ємності з такою ж швидкістю.
1. Знайти кількість фунтів солі в ємності в залежності від часу.
2. Скільки хвилин потрібно для концентрації, щоб досягти 2 фунтів на галон?
3. До чого наближається концентрація в контейнері для великих значень часу? Чи згодна це з вашою інтуїцією?
Ви робите дві кварти сальси для вечірки. Рецепт вимагає п'яти чайних ложок соку лайма на літр, але ви випадково поклали п'ять столових ложок на літр. Ви все одно вирішили нагодувати своїх гостей сальсою. Припустимо, що гості беруть чверть склянки сальси на хвилину і що ви замінюєте те, що було прийнято, нарізаними помідорами та цибулею без будь-якого соку лайма. [1 кварт\(=4\) чашки і\(1 \mathrm{~Tb}=3 \mathrm{tsp} .]\)
1. Запишіть диференціальне рівняння та початкову умову кількості соку лайма як функції часу в цій задачі типу суміші.
2. Вирішити цю початкову задачу значення.
3. Скільки часу знадобиться, щоб сальса повернулася до запропонованої концентрації рецепта?
Розглянемо хімічну реакцію, що веде до системи в Рівняннях 6.2.4.3. Нехай константи швидкості будуть\(k_{1}=0.20 \mathrm{~ms}^{-1}, k_{2}=0.05 \mathrm{~ms}^{-1}\), і\(k_{3}=0.10 \mathrm{~ms}^{-1}\). Що говорять про поведінку системи власні значення матриці коефіцієнтів? Знайдіть рішення системи\([A](0)=A_{0}=1.0\)\(\mu \mathrm{mol},[B](0)=0\), припускаючи, і\([C](0)=0 .\) побудуйте рішення для\(t=0.0\) to\(50.0 \mathrm{~ms}\) і опишіть, що відбувається за цей час.
Знайдіть і класифікуйте будь-які точки рівноваги в задачі Ромео і Джульєтти для наступних випадків. Вирішіть системи та опишіть їх прихильності як функцію часу.
1. \(a=0, b=2, c=-1, d=0, R(0)=1, J(0)=1\).
2. \(a=0, b=2, c=1, d=0, R(0)=1, J(0)=1\).
3. \(a=-1, b=2, c=-1, d=0, R(0)=1, J(0)=1\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Рисунок для завдання 17.

Два резервуари містять суміш води та спирту з резервуаром А, що містить\(500 \mathrm{~L}\) та резервуар\(\mathrm{B}\) 1000 л. Спочатку концентрація спирту в\(\mathrm{o} \%\) резервуарі\(\mathrm{A}\)\(\operatorname{tank} \mathrm{B}\) є\(8 \mathrm{o} \%\). Розчин йде\(\operatorname{tank} \mathrm{A}\) в зі\(\mathrm{B}\) швидкістю 15 л/хв і розчин в резервуарі B повертається до А зі швидкістю, в\(5 \mathrm{~L} / \mathrm{min}\) той час як добре перемішаний розчин також залишає систему на 10 л/хв через вихід. Суміш води і спирту надходить\(\operatorname{tank} A\) зі швидкістю 10 л/хв з концентрацією\(10 \%\) через вхідний отвір. Якою буде концентрація спирту розчину в кожному резервуарі через 10 хв?
Розглянемо систему бака в Задачі 17. Додайте третину\(\operatorname{tank}(C)\) до\(\tan \mathrm{k} B\) з об'ємом\(300 \mathrm{~L}\). З'єднайте\(C\)\(8 \mathrm{~L} / \mathrm{min}\) з з\(\operatorname{tank} \mathrm{B}\) і\(2 \mathrm{~L} / \mathrm{min}\) течіть назад. Нехай іо\(\mathrm{L} / \mathrm{min}\) витікає з системи. Якщо початкова концентрація знаходиться\(10 \%\) в кожному резервуарі і суміш води і спирту надходить\(A\) в бак зі швидкістю 10 л/хв з концентрацією\(20 \%\) через вхідний отвір, якою буде концентрація спирту в кожному з резервуарів після годину?
Розглянемо епідемічну модель, що веде до системи в рівнянні 6.2.7.1. Вибирайте константи як\(a=2.0\) дні\(^{-1}, d=3.0\) дні\(^{-1}\), так і\(r=1.0\) дні\(^{-1}\). Які власні значення має матриця коефіцієнтів? Знайдіть рішення системи, припускаючи початкову популяцію 1000 і одну інфіковану особу. Побудуйте рішення\(t=0.0\) на два\(5.0\) дні і опишіть, що відбувається за цей час. Чи реалістична ця модель?