6.8: Неоднорідні системи

Перш ніж покинути теорію систем лінійних, постійних систем коефіцієнтів, обговоримо неоднорідні системи. Ми хотіли б вирішити системи форми

\[\mathbf{x}^{\prime}=A(t) \mathbf{x}+\mathbf{f}(t) \nonumber \]

Будемо вважати, що ми знайшли фундаментальне матричне рішення однорідного рівняння. Крім того, ми будемо вважати, що\(A(t)\) і\(\mathbf{f}(t)\) є безперервними на якомусь загальному домені.

Як і у випадку з рівняннями другого порядку, ми можемо шукати розв'язки, які є сумою загального розв'язку однорідної задачі плюс окремий розв'язок неоднорідної задачі. А саме, ми можемо записати загальне рішення як

\[\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \mathbf{C}+\mathbf{x}_{p}(t)\nonumber \]

де\(C\) довільний константний вектор,\(\Phi(t)\) є фундаментальним матричним рішенням\(\mathbf{x}^{\prime}=A(t) \mathbf{x}\), і

\[\mathbf{x}_{p}^{\prime}=A(t) \mathbf{x}_{p}+\mathbf{f}(t)\nonumber \]

Таке уявлення легко перевіряється.

Нам потрібно знайти конкретне рішення,\(\mathbf{x}_{p}(t)\). Ми можемо це зробити, застосувавши Метод варіації параметрів для систем. Розглядається розв'язок у вигляді розв'язку однорідної задачі, але постійний вектор замінюється невідомими функціями параметрів. А саме, припускаємо, що

\[\mathbf{x}_{p}(t)=\Phi(t) \mathbf{c}(t)\nonumber \]

Диференціюючи, ми маємо це

\[\mathbf{x}_{p}^{\prime}=\Phi_{\mathbf{c}}^{\prime} \mathbf{c} \Phi \mathbf{c}^{\prime}=A \Phi \mathbf{c}+\Phi \mathbf{c}^{\prime} \nonumber \]

Або

\[\mathbf{x}_{p}^{\prime}-A \mathbf{x}_{p}=\Phi \mathbf{c}^{\prime}\nonumber \]

Але лівою стороною є\(\mathbf{f . ~ S o , ~ w e ~ h a v e ~ t h a t , ~}\)

\[\Phi \mathbf{c}^{\prime}=\mathbf{f}\nonumber \]

або, так як\(\Phi\) є оборотним (чому?) ,

\[\mathbf{c}^{\prime}=\Phi^{-1} \mathbf{f}\nonumber \]

В принципі, це може бути інтегровано, щоб дати c. тому конкретне рішення може бути записано як

\[\mathbf{x}_{p}(t)=\Phi(t) \int^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \nonumber \]

Це варіація формули параметрів.

Загальний розв'язок рівняння\(\PageIndex{2}\) знайдено як

\[\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \mathbf{C}+\Phi(t) \int^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \nonumber \]

За допомогою загального розв'язку можна знайти конкретний розв'язок задачі початкового значення, що складається з Рівняння\(\PageIndex{2}\) та початкової умови.\(\mathbf{x}\left(t_{0}\right)=\mathbf{x}_{0} .\) Ця умова виконується для розв'язку виду

\[\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \mathbf{C}+\Phi(t) \int_{t_{0}}^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \nonumber \]

за умови

\[\mathbf{x}_{0}=\mathbf{x}\left(t_{0}\right)=\Phi\left(t_{0}\right) \mathbf{C}. \nonumber \]

Це можна вирішити для\(\mathrm{C}\) як в останньому розділі. Вставивши рішення назад в загальне рішення Рівняння\(\PageIndex{4}\), ми маємо

\[\mathbf{x}(t)=\Phi(t) \Phi^{-1}\left(t_{0}\right) \mathbf{x}_{0}+\Phi(t) \int_{t_{0}}^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \nonumber \]

Це рішення можна записати трохи акуратніше з точки зору основного матричного рішення,\(\Psi(t)=\Phi(t) \Phi^{-1}\left(t_{0}\right)\):

\[\mathbf{x}(t)=\Psi(t) \mathbf{x}_{0}+\Psi(t) \int_{t_{0}}^{t} \Psi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \nonumber \]

Нарешті, ще одне спрощення відбувається, коли\(A\) є постійною матрицею, які є єдиними типами проблем, які ми вирішили в цьому розділі. У цьому випадку, у нас є що\(\Psi^{-1}(t)=\Psi(-t) .\) Отже, обчислення\(\Psi^{-1}(t)\) відносно легко.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

\(x^{\prime \prime}+x=2 \cos t, x(0)=4, x^{\prime}(0)=0 .\)Цей приклад можна вирішити за допомогою методу невизначеного коефіцієнта. Однак ми будемо використовувати матричний метод, описаний в цьому розділі.

Спочатку запишемо задачу в матричному вигляді. Система може бути написана як

\[ \begin{gathered} x^{\prime}=y \\ y^{\prime}=-x+2 \cos t \end{gathered} \label{6.106} \]

Таким чином, ми маємо неоднорідну систему виду

\[\mathbf{x}^{\prime}=A \mathbf{x}+\mathbf{f}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \cos t \end{array}\right) \nonumber \]

Далі потрібна фундаментальна матриця розв'язків однорідної задачі. У нас це

\[A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) \nonumber \]

власні значення цієї матриці є\(\lambda=\pm i .\) власним вектором,\(\lambda=i\) асоційованим з легко знайти як\(\left(\begin{array}{c}1 \\ i\end{array}\right)\). Це призводить до комплексного рішення

\[\left(\begin{array}{l} 1 \\ i \end{array}\right) e^{i t}=\left(\begin{array}{c} \cos t+i \sin t \\ i \cos t-\sin t \end{array}\right)\nonumber \]

З цього рішення можна побудувати фундаментальну матрицю розв'язку.

\[\Phi(t)=\left(\begin{array}{cc} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{array}\right)\nonumber \]

Отже, загальним рішенням однорідної проблеми є

\[\mathbf{x}_{h}=\Phi(t) \mathbf{C}=\left(\begin{array}{c} c_{1} \cos t+c_{2} \sin t \\ -c_{1} \sin t+c_{2} \cos t \end{array}\right)\nonumber \]

Далі шукаємо конкретне рішення неоднорідної задачі. З Рівняння\(\PageIndex{4}\) ми бачимо, що нам потрібно\(\Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s)\). Таким чином, ми маємо

\[ \begin{aligned} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) &=\left(\begin{array}{cc} \cos s & -\sin s \\ \sin s & \cos s \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \cos s \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} -2 \sin s \cos s \\ 2 \cos ^{2} s \end{array}\right) \end{aligned} \label{6.107} \]

Тепер обчислюємо

\[ \begin{aligned} \Phi(t) \int_{t_{0}}^{t} \Phi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s &=\left(\begin{array}{cc} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{array}\right) \int_{t_{0}}^{t}\left(\begin{array}{c} -2 \sin s \cos s \\ 2 \cos ^{2} s \end{array}\right) d s \\ &=\left(\begin{array}{cc} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} -\sin ^{2} t \\ t+\dfrac{1}{2} \sin (2 t) \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} t \sin t \\ \sin t+t \cos t \end{array}\right) \end{aligned} \label{6.108} \]

тому загальним рішенням є

\[\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} c_{1} \cos t+c_{2} \sin t \\ -c_{1} \sin t+c_{2} \cos t \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} t \sin t \\ \sin t+t \cos t \end{array}\right)\nonumber \]

Рішення початкової задачі значення є

\[\mathbf{x}=\left(\begin{array}{cc} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} t \sin t \\ \sin t+t \cos t \end{array}\right)\nonumber \]

Або

\[\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \cos t+t \sin t \\ -3 \sin t+t \cos t \end{array}\right)\nonumber \]