6.2.6: Любовні стосунки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61979

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Наступна програма - це та, яка була введена в 1988 році Строгацем як симпатична система, що передбачає відносини. \({ }^{1}\)Один розглядає, що відбувається з прихильностями, які двоє людей мають один до одного з часом. Давайте\(R\) позначимо прихильність, яку Ромео має до Джульєтти, і\(J\) бути прихильністю, яку Джульєтта має до Ромео. Позитивні значення вказують на любов, а негативні значення вказують на неприязнь. ¹

Однією з можливих моделей є

\[ \begin{aligned} &\dfrac{d R}{d t}=b J \\ &\dfrac{d J}{d t}=c R \end{aligned} \label{6.56} \]

з\(b>0\) і\(c<0\). У цьому випадку Ромео любить Джульєтту тим більше вона йому подобається. Але Джульєтта відступає, коли знаходить, що його любов до неї зростає.

Типова система, що стосується комбінованих змін прихильності, може бути змодельована як

\[ \begin{aligned} &\dfrac{d R}{d t}=a R+b J \\ &\dfrac{d J}{d t}=c R+d J \end{aligned} \label{6.57} \]

Можливі кілька сценаріїв для різних варіантів констант. Наприклад, якщо\(a>0\) і\(b>0\), Ромео все більше збуджується любов'ю Джульєтти до нього. Якщо\(c>0\) і\(d<0\), Джульєтта обережно ставиться до своїх стосунків з Ромео. За конкретними значеннями параметрів і вихідних умов можна досліджувати цей збіг надмірно завзятого коханця з обережним коханцем.

¹ Steven H. Strogatz представив цю задачу як цікавий приклад систем диференціальних рівнянь у журналі Mathematics Magazine, Том 61, № 1 (лют 1988 р.), стор. 35. Він також описує це у своїй книзі «Нелінійна динаміка і хаос» (1994).