6.2.5: Моделі хижаків

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62018

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

ІНША ЗАГАЛЬНА МОДЕЛЬ ПОПУЛЯЦІЇ полягає в тому, що описує співіснування видів. Наприклад, ми могли б розглянути популяцію кроликів і лисиць. Залишені собі кролики, як правило, розмножуються, таким чином

\[\dfrac{d R}{d t}=a R \nonumber \]

При\(a>0 .\) такій моделі популяція кроликів зростала б експоненціально. Аналогічно, популяція лисиць розпалася б без кроликів, щоб харчуватися. Отже, ми маємо це

\[\dfrac{d F}{d t}=-b F\nonumber \]

для\(b>0\).

Тепер, якщо ми об'єднаємо ці популяції на безлюдному острові, вони б взаємодіяли. Чим більше лисиць, тим популяція кроликів зменшувалася б. Однак чим більше кроликів, тим лисиць буде багато їсти, і популяція буде процвітати. Таким чином, ми могли б моделювати конкуруючі популяції як

\[ \begin{gathered} \dfrac{d R}{d t}=a R-c F \\ \dfrac{d F}{d t}=-b F+d R \end{gathered} \label{6.55} \]

де всі константи є додатними числами. Вивчення цієї зв'язаної системи призвело б до вивчення динаміки цих популяцій. Нелінійний варіант цієї системи, модель Лотки-Вольтерри, буде розглянуто в наступному розділі.