6.2.3: Проблеми з сумішшю
- Page ID
- 61960
Існує багато типів проблем із сумішшю. Такі задачі є стандартними для першого курсу диференціальних рівнянь як приклади диференціальних рівнянь першого порядку. Зазвичай ці приклади складаються з резервуара з розсолом, води, що містить певну кількість солі з чистою водою, що надходить і суміш, що виходить, або потік забруднювача в озеро або з нього. Такі проблеми ми вперше побачили в розділі\(1 .\)
Загалом, швидкість потоку певної концентрації суміші, що надходить в регіон, і суміші, що виходить з регіону. Мета полягає в тому, щоб визначити, скільки речей знаходиться в регіоні в даний момент часу. Це регулюється рівнянням
\[\text{Rate of change of substance} = \text{Rate In} - \text{Rate Out}. \nonumber \]
Це можна узагальнити до випадку двох з'єднаних між собою резервуарів. Ми наведемо приклад, але спочатку ми розглянемо проблему з єдиним танком з глави\(1 .\)
50-галонний резервуар чистої води має суміш розсолу з концентрацією 2 фунтів на галон, що надходить зі швидкістю 5 галонів на хвилину. [Див\(\PageIndex{1}\). Малюнок.] При цьому добре перемішане вміст стікає з розрахунку 5 галонів в хвилину. Знайти кількість солі в ємності за часом.\(t .\) У всіх подібних проблемах можна припустити, що розчин добре перемішується в кожну мить часу.
Нехай\(x(t)\) буде кількість солі за часом\(t\). Тоді швидкість, з якою збільшується сіль в баку, обумовлена кількістю солі, що надходить в бак менше, ніж виходить з бака. Щоб з'ясувати ці ставки, одна примітка, яка\(d x / d t\) має одиниці фунтів на хвилину. Кількість солі, що надходить в хвилину, задається продуктом, що входить в концентрацію разів на швидкість, з якою надходить розсіл. Це дає правильні одиниці:
\[\left(2 \dfrac{\text { pounds }}{\text { gal }}\right)\left(5 \dfrac{\text { gal }}{\text { min }}\right)=10 \dfrac{\text { pounds }}{\text { min }}. \nonumber \]
Аналогічним чином можна визначити ставку, як
\[\left(\dfrac{x \text { pounds }}{50 \text { gal }}\right)\left(5 \dfrac{\text { gal }}{\text { min }}\right)=\dfrac{x}{10} \dfrac{\text { pounds }}{\text { min }} \nonumber \]
Таким чином, ми маємо
\[\dfrac{d x}{d t}=10-\dfrac{x}{10} \nonumber \]
Це рівняння легко вирішується за допомогою методів для рівнянь першого порядку.
Один має два резервуари, з'єднані між собою, марковані\(\operatorname{tank} X\) і\(\operatorname{tank} Y\), як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).
Нехай бак X спочатку має 100 галонів розсолу, виготовленого з 100 фунтів солі. Tank Y спочатку має 100 галонів чистої води. Чиста вода перекачується в бак зі\(X\) швидкістю\(2.0\) галонів в хвилину. Частина суміші розсолу і чистої води надходить в резервуар\(Y\) зі швидкістю 3 галонів в хвилину. Щоб рівень резервуара був однаковим, один галон\(Y\) суміші надходить назад\(\tan \mathrm{k} X\) у зі швидкістю один галон на хвилину і 2.0 галонів на хвилину стікає. Знайти кількість солі в будь-який момент часу в ємностях. Що відбувається протягом тривалого періоду часу?
У цій задачі ми встановили два рівняння. \(x(t)\)Дозволяти кількість солі в\(\operatorname{tank} X\) і\(y(t)\) кількість солі в ємності\(Y\). Знову ж таки, ми уважно дивимося на швидкості в і з кожного резервуара, щоб налаштувати систему диференціальних рівнянь. Отримуємо систему
\[ \begin{aligned} \dfrac{d x}{d t} &=\dfrac{y}{100}-\dfrac{3 x}{100} \\ \dfrac{d y}{d t} &=\dfrac{3 x}{100}-\dfrac{3 y}{100} \end{aligned} \label{6.50} \]
Це лінійна однорідна система постійних коефіцієнтів двох рівнянь першого порядку, яку ми знаємо, як вирішувати. Матрична форма системи задається
\[\dot{\mathbf{x}}=\left(\begin{array}{cc} -\dfrac{3}{100} & \dfrac{1}{100} \\ \dfrac{3}{100} & -\dfrac{3}{100} \end{array}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c} 100 \\ 0 \end{array}\right)\nonumber \]
Для задачі задаються власні значення,\(\lambda=-3 \pm \sqrt{3}\) а власні вектори -
\[\left(\begin{array}{c} 1 \\ \pm \sqrt{3} \end{array}\right) \nonumber \]
Оскільки власні значення є дійсними і різними, загальне рішення легко записується:
\[\mathbf{x}(t)=c_{1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \end{array}\right) e^{(-3+\sqrt{3}) t}+c_{2}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -\sqrt{3} \end{array}\right) e^{(-3-\sqrt{3}) t} \nonumber \]
Нарешті, нам потрібно задовольнити початкові умови. Отже,
\[\mathbf{x}(0)=c_{1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -\sqrt{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 100 \\ 0 \end{array}\right),\nonumber \]
або
\[c_{1}+c_{2}=100, \quad\left(c_{1}-c_{2}\right) \sqrt{3}=0.\nonumber \]
Отже,\(c_{2}=c_{1}=50\). Остаточним рішенням є
\[\mathbf{x}(t)=50\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{3} \end{array}\right) e^{(-3+\sqrt{3}) t}+\left(\begin{array}{c} 1 \\ -\sqrt{3} \end{array}\right) e^{(-3-\sqrt{3}) t}\right),\nonumber \]
або
\[ \begin{aligned} &x(t)=50\left(e^{(-3+\sqrt{3}) t}+e^{(-3-\sqrt{3}) t}\right) \\ &y(t)=50 \sqrt{3}\left(e^{(-3+\sqrt{3}) t}-e^{(-3-\sqrt{3}) t}\right) . \end{aligned} \label{6.51} \]