Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.2.2: Схеми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61981

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    В ОСТАННЬОМУ РОЗДІЛІ МИ ДОСЛІДЖУВАЛИ ПРОСТІ СЕРІЇ LRC ЛАНЦЮГІВ. Більш складні схеми можливі, дивлячись на паралельні з'єднання, або інші комбінації, резисторів, конденсаторів і індукторів. Це призводить до декількох рівнянь для кожного циклу в ланцюзі, що призводить до більших систем диференціальних рівнянь. Приклад установки іншої схеми наведено на малюнку\(\PageIndex{1}\). Це не проблема, яку можна висвітлити на першому курсі фізики.

    Є дві петлі, зазначені на малюнку\(\PageIndex{2}\) як пройдені за годинниковою стрілкою. Для кожного циклу нам потрібно застосувати правило Kirchoff's Loop Rule. Існує три орієнтованих струми, маркованих\(I_{i}, i=1,2,3\). Відповідний кожному струму змінюється заряд,\(q_{i}\) такий, що

    \[I_{i}=\dfrac{d q_{i}}{d t}, \quad i=1,2,3 \nonumber \]

    У нас є для петлі один

    \[I_1 R_1 + \dfrac{q_2}{C} = V(t) \nonumber \]

    і для петлі два

    \[I_{3} R_{2}+L \dfrac{d I_{3}}{d t}=\dfrac{q_{2}}{C} . \nonumber \]

    clipboard_e46f17e78e1438193ede65e7dd4bdd05a.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Схема з двома контурами, що містить кілька різних елементів схеми.
    clipboard_e98defe280da169464f2542d6043565a1.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Попередня паралельна схема з напрямками, зазначеними для проходження петель в Законі Кірхофа.

    Є три невідомі функції для заряду. Як тільки ми дізнаємося функції заряду, диференціація дасть три струми. Однак у нас є лише два рівняння. Нам потрібно третє рівняння. Це рівняння знайдено з правила Кірхоффа «Точка» (Junction).

    Розглянемо точки А і Б на рис\(\PageIndex{2}\). Будь-який заряд (струм), що входить в ці переходи, повинен бути таким же, як і загальний заряд (струм), що виходить з спаїв. Для точки у\(A\) нас є

    \[I_{1}=I_{2}+I_{3} \nonumber \]

    Або

    \[\dot{q}_{1}=\dot{q}_{2}+\dot{q}_{3} \nonumber \]

    Рівняння\(\PageIndex{1}, \PageIndex{2}\), і\(\PageIndex{4}\) утворюють зв'язану систему диференціальних рівнянь для цієї задачі. Тут беруть участь як похідні першого, так і другого порядку. Ми можемо написати всю систему з точки зору нарахувань як

    \[ \begin{array}{r} R_{1} \dot{q}_{1}+\dfrac{q_{2}}{C}=V(t) \\ R_{2} \dot{q}_{3}+L \ddot{q}_{3}=\dfrac{q_{2}}{C} \\ \dot{q}_{1}=\dot{q}_{2}+\dot{q}_{3} . \end{array} \label{6.49} \]

    Питання полягає в тому, чи ми можемо записати це як систему диференціальних рівнянь першого порядку. Оскільки існує лише одна похідна другого порядку, ми можемо ввести нову змінну\(q_{4}=\dot{q}_{3}\). Перше рівняння можна вирішити для\(\dot{q}_{1}\). Третє рівняння може бути вирішене\(\dot{q}_{2}\) з відповідними замінами на інші члени. \(\dot{q}_{3}\)отримано з визначення\(q_{4}\) і друге рівняння може бути вирішено для\(\ddot{q}_{3}\) і підстановки, зроблені для отримання системи

    \[\begin{aligned} \dot{q}_{1} &=\dfrac{V}{R_{1}}-\dfrac{q_{2}}{R_{1} C} \\ \dot{q}_{2} &=\dfrac{V}{R_{1}}-\dfrac{q_{2}}{R_{1} C}-q_{4} \\ \dot{q}_{3} &=q_{4} \\ \dot{q}_{4} &=\dfrac{q_{2}}{L C}-\dfrac{R_{2}}{L} q_{4} . \end{aligned} \nonumber \]

    Отже, ми маємо неоднорідну систему диференціальних рівнянь першого порядку.