5: Лаплас перетворюється
- Page ID
- 62114
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
«Ми могли б, звичайно, використовувати будь-які позначення, які ми хочемо; не сміятися над нотаціями; придумувати їх, вони потужні. Насправді математика - це значною мірою винахід кращих позначень». - Річард Фейнман (1918-1988)
- 5.1: Перетворення Лапласа
- До цього моменту ми досліджували лише експоненціальні перетворення Фур'є як один з типів інтегральних перетворень. Перетворення Фур'є є корисним для нескінченних областей. Однак студенти часто знайомляться з іншим інтегральним перетворенням, званим перетворенням Лапласа, у своєму вступному класі диференціальних рівнянь. Ці перетворення визначені в напівнескінченних областях і корисні для розв'язання початкових задач для звичайних диференціальних рівнянь.
- 5.2: Властивості та приклади перетворень Лапласа
- ТИПОВО, ЩО ОДИН ВИКОРИСТОВУЄ перетворення Лапласа, посилаючись на Таблицю пар перетворення. Зразок таких пар наведено в таблиці 5.2.1. Поєднуючи деякі з цих простих перетворень Лапласа з властивостями перетворення Лапласа, як показано в таблиці 5.2.2, ми можемо мати справу з багатьма додатками перетворення Лапласа.
- 5.3: Розв'язування ОДУ за допомогою перетворень Лапласа
- ОДНИМ ІЗ ТИПОВИХ ЗАСТОСУВАНЬ ПЕРЕТВОРЕНЬ ЛАПЛАСА є розв'язання неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь з постійним коефіцієнтом. У наступних прикладах ми покажемо, як це працює.
- 5.4: Ступінчасті та імпульсні функції
- ЧАСТО ЗАДАЧІ ПОЧАТКОВОГО ЗНАЧЕННЯ, З ЯКИМИ СТИКАЄТЬСЯ В курсах диференціальних рівнянь, можуть бути вирішені за допомогою або методу невизначеного коефіцієнта або методу варіації параметрів. Однак використання останнього може бути брудним і передбачає певну майстерність інтеграції. Багато схем можуть бути змодельовані за допомогою систем диференціальних рівнянь, використовуючи Правила Кірхоффа.
- 5.5: Теорема згортки
- Нарешті, розглянемо згортку двох функцій. Часто ми стикаємося з тим, що маємо добуток двох трансформацій Лапласа, які ми знаємо, і ми шукаємо зворотне перетворення продукту.
- 5.6: Системи ОДУ
- ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПАСА ТАКОЖ КОРИСНІ для розв'язування систем диференціальних рівнянь. Ми вивчимо лінійні системи диференціального рівняння в главі 6. А поки ми просто розглянемо прості приклади застосування трансформацій Лапласа.