4: Рішення серії
- Page ID
- 61832
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
«У більшості наук одне покоління розриває те, що побудував інший, а те, що створив інше, скасує. Тільки в математиці кожне покоління додає нову історію до старої структури». - Герман Ханкель (1839-1873)
- 4.1: Вступ до серії Power
- Як ЗАЗНАЧАЛОСЯ КІЛЬКА РАЗІВ, не всі диференціальні рівняння мають точні розв'язки. Отже, нам потрібно вдатися до пошуку приблизних рішень, або рішень по сусідству з початковим значенням. Перш ніж описувати ці методи, потрібно згадати силові ряди.
- 4.2: Метод серії живлення
- В ОСТАННЬОМУ ПРИКЛАДІ МИ ЗМОГЛИ використати початкову умову для отримання послідовного розв'язку заданого диференціального рівняння. Навіть якщо ми вказали більш загальні початкові умови, чи існують інші способи отримання послідовних розв'язків? Чи можемо ми знайти загальне рішення у вигляді силових рядів?
- 4.3: Одиночні точки
- Метод степеневих рядів не завжди дає нам повне загальне рішення диференціального рівняння. Проблеми можуть виникнути, коли диференціальне рівняння має сингулярні точки. Найпростішими рівняннями, що мають сингулярні точки, є рівняння Коші-Ейлера.
- 4.5: Многочлени Лежандра
- Поліноми Лежандра є одним з безлічі класичних ортогональних многочленів. Ці многочлени задовольняють лінійному диференціальному рівнянню другого порядку. Це диференціальне рівняння природно виникає при розв'язанні початкових крайових задач у трьох вимірах, які мають деяку сферичну симетрію.
- 4.6: Функції Бесселя
- ФУНКЦІЇ БЕССЕЛЯ ВИНИКАЮТЬ У БАГАТЬОХ ПРОБЛЕМАХ фізики, що володіють циліндричною симетрією, такими як коливання кругових барабанних головок і радіальні режими в оптичних волокні. Вони також надають нам інший ортогональний набір базових функцій.
- 4.7: Гамма-функція
- ФУНКЦІЄЮ, ЯКА ЧАСТО ЗУСТРІЧАЄТЬСЯ ПРИ ДОСЛІДЖЕННІ СПЕЦІАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ, є Гамма-функція. Нам знадобиться функція Gamma в наступному розділі, присвяченому ряду Фур'є-Бесселя.
- 4.8: Гіпергеометричні функції
- Гіпергеометричні функції - це, мабуть, найкорисніший, але найменш зрозумілий клас функцій. Вони, як правило, не роблять його в навчальній програмі бакалаврату і рідко в навчальній програмі для випускників. Більшість функцій, які ви знаєте, можуть бути виражені за допомогою гіпергеометричних функцій.