Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3: Чисельні рішення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61927

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    «Закони математики — це не просто людські винаходи чи творіння. Вони просто «є; вони існують абсолютно незалежно від людського інтелекту». - Ешер (1898-1972)

    ПОКИ ЩО МИ БАЧИЛИ ДЕЯКІ СТАНДАРТНІ МЕТОДИ розв'язання диференціальних рівнянь першого та другого порядку. Однак нам довелося обмежитися особливими випадками, щоб отримати хороші аналітичні рішення початкових проблем вартості. Хоча це не єдині рівняння, для яких ми можемо отримати точні результати, є багато випадків, коли точні рішення неможливі. У таких випадках доводиться спиратися на методи наближення, включаючи числове рішення наявного рівняння.

    Використання чисельних методів для отримання наближеного розв'язку диференціальних рівнянь і систем диференціальних рівнянь відоме вже деякий час. Однак з появою потужних комп'ютерів і настільних комп'ютерів ми тепер можемо вирішити багато з цих проблем з відносною легкістю. Прості ідеї, що використовуються для розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку, можуть бути поширені на розв'язки більш складних систем рівнянь з частинними похідними, таких як масштабні задачі моделювання динаміки океану, погодні системи і навіть космологічні задачі, що випливають із загальної теорії відносності.

    • 3.1: Метод Ейлера
      У цьому розділі ми розглянемо найпростіший метод розв'язання рівнянь першого порядку, метод Ейлера. Незважаючи на те, що це не найефективніший метод, він дає нам уявлення про те, як відбувається, і його можна вдосконалити, запровадивши кращі методи, які, як правило, висвітлюються в тексті числового аналізу.
    • 3.2: Реалізація числових пакетів
      За допомогою Matlab можна отримати розв'язки та графіки розв'язків диференціальних рівнянь. Це можна зробити або символічно, використовуючи dsolve, або чисельно, використовуючи числові розв'язувачі, такі як ode45. У цьому розділі ми наведемо приклади їх використання для розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку. Закінчимо код для малювання полів напрямів, які корисні для перегляду загальної поведінки розв'язків рівнянь першого порядку без явного знаходження розв'язків.
    • 3.3: Методи Тейлора вищого порядку
      Метод Ейлера для розв'язання диференціальних рівнянь легко зрозуміти, але не ефективний в тому сенсі, що це те, що називається методом першого порядку. Похибка на кожному кроці, локальна похибка усічення, має порядок Δx, для x незалежної змінної. Накопичення локальних помилок усічення призводить до того, що називається глобальною помилкою. Для того, щоб узагальнити метод Ейлера, нам потрібно відновити його.
    • 3.4: Методи Рунге-Кутта
      У цьому розділі ми знайдемо наближення до розв'язків, які уникають необхідності обчислення похідних.
    • 3.5: Числові програми
      У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ ЗАСТОСОВУЄМО РІЗНІ ЧИСЛОВІ МЕТОДИ до кількох задач фізики після їх налаштування. Спочатку ми опишемо, як працювати з рівняннями другого порядку, такими як нелінійна маятникова задача. Ми побачимо, що існує трохи більше чисельного рішення диференціальних рівнянь, ніж просто запуску стандартних процедур. Досліджуючи ці проблеми, ми представимо інші методи та надамо код MATLAB, який вказує, як можна налаштувати систему.
    • 3.6: Проблеми