2.6: Проблеми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62112

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Знайти всі розв'язки диференціальних рівнянь другого порядку. Коли задано початкову умову, знайдіть конкретне рішення, яке задовольняє цій умові.
1. \(y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+20 y=0\)
2. \(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+4 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1\).
3. \(8 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0\).
4. \(x^{\prime \prime}-x^{\prime}-6 x=0\)для\(x=x(t)\).
Переконайтеся, що дана функція є розв'язком, і скористайтеся Reduction of Order, щоб знайти друге лінійно незалежне рішення.
1. \(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-4 y=0, \quad y_{1}(x)=x^{4}\).
2. \(x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+4 x^{3} y=0, \quad y_{1}(x)=\sin \left(x^{2}\right)\).
3. \(\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0, \quad y_{1}(x)=x\). [Примітка: Це один з розв'язків диференціального рівняння Лежандра у прикладі 4.4.]
4. \((x-1) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0, \quad y_{1}(x)=e^{x} .\)
Довести, що\(y_{1}(x)=\sinh x\) і\(y_{2}(x)=3 \sinh x-2 \cosh x\) є лінійно незалежними\(y^{\prime \prime}-y=0 .\) розв'язками Write\(y_{3}(x)=\cosh x\) як лінійної комбінації\(y_{1}\) і\(y_{2}\).
Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння\(x^{\prime \prime}-3 x^{\prime}+2 x=6 e^{3 t}\).
1. Знайти загальний розв'язок однорідного рівняння.
2. Знайти конкретне рішення за допомогою методу невизначеного коефіцієнта шляхом вгадування\(x_{p}(t)=A e^{3 t}\).
3. Використовуйте свої відповіді в попередніх частинок, щоб записати загальне рішення цієї проблеми.
Знайти загальний розв'язок заданого рівняння за заданим методом.
1. \(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=10\), Невизначені коефіцієнти.
2. \(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=5+10 \sin 2 x\), Невизначені коефіцієнти.
3. \(y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=3 e^{x}\), Зменшення порядку.
4. \(y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-6 y=3 e^{x}\), Зменшення порядку.
5. \(y^{\prime \prime}+y=\sec ^{3} x\), Зменшення порядку.
6. \(y^{\prime \prime}+y^{\prime}=3 x^{2}\), Зміна параметрів.
7. \(y^{\prime \prime}-y=e^{x}+1\), Зміна параметрів.
Використовуйте Метод варіації параметрів, щоб визначити загальне рішення для наступних задач.
1. \(y^{\prime \prime}+y=\tan x\).
2. \(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=6 x e^{2 x}\).
3. \(y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\dfrac{e^{2 x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}\).
4. \(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\cos \left(e^{x}\right)\).
Замість того, щоб припускати, що\(c_{1}^{\prime} y_{1}+c_{2}^{\prime} y_{2}=0\) при виведенні рішення використовується Variation of Parameters, припустимо, що\(c_{1}^{\prime} y_{1}+c_{2}^{\prime} y_{2}=h(x)\) для довільної функції\(h(x)\) і показати, що один отримує той самий конкретний розв'язок.
Знайти всі розв'язки диференціальних рівнянь другого порядку для\(x>\) 0. Коли задано початкову умову, знайдіть конкретне рішення, яке задовольняє цій умові.
1. \(x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+2 y=0\).
2. \(x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+3 y=0, \quad y(1)=1, y^{\prime}(1)=0\).
3. \(x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+4 y=0\).
4. \(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+3 y=0, \quad y(1)=3, y^{\prime}(1)=0\).
5. \(x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=0\).
Інший підхід до розв'язання рівнянь Коші-Ейлера полягає в перетворенні рівняння в рівняння з постійними коефіцієнтами.
1. \[\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=\dfrac{1}{x^{2}}\left(\dfrac{d^{2} v}{d t^{2}}-\dfrac{d v}{d t}\right) \nonumber \]
2. Використовуйте наведене вище перетворення для вирішення наступних рівнянь:
  1. \(x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=0\).
  2. \(2 x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+y=0\).
  3. \(4 x^{2} y^{\prime \prime}+y=0\).
  4. \(x^{3} y^{\prime \prime \prime}+x y^{\prime}-y=0\).
Розв'яжіть наступні неоднорідні рівняння Коші-Ейлера для\(x>0\).
1. \(x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=3 x^{2}\).
2. \(2 x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+y=x^{2}+x\).
3. \(x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+4 y=2 x^{3}\).
4. \(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+3 y=5 x^{2}, \quad y(1)=3, y^{\prime}(1)=0\).
Пружина, закріплена на її верхньому кінці, розтягується на шість дюймів вагою 1o-фунт, прикріпленим на її нижньому кінці. Система пружинної маси підвішена у в'язкому середовищі так, що система піддається демпфуючій силі\(5 \dfrac{d x}{d t}\) фунтів. опишіть рух системи, якщо вага витягується вниз на додаткові 4 дюйми і відпускається. Що буде, якщо змінити коефіцієнт "5" на "4 «? [Можливо, вам доведеться проконсультуватися зі своїм вступним текстом фізики. Наприклад, вага і маса пов'язані тим\(W=m g\), де маса знаходиться в слимаках і\(g=32 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\).]
Розглянемо ланцюг LRC з\(L=1.00 \mathrm{H}, R=1.00 \times 10^{2} \Omega, C=\)\(1.00 \times 10^{-4} \mathrm{f}\), і\(V=1.00 \times 10^{3}\) V. Припустимо, що ніякого заряду немає і струм не протікає в той час,\(t=0\) коли батарея напруги\(V\) вставлена. Знайдіть струм і заряд на конденсаторі як функції часу. Опишіть, як система поводиться з плином часу.
Розглянемо проблему вимушених коливань, як описано в розділі\(2.4.2.\)
1. Побудуйте розв'язки в Рівнянні\((2.4.35)\) для наступних випадків: Нехай\(c_{1}=0.5, c_{2}=0, F_{0}=1.0 \mathrm{~N}\), і\(m=1.0 \mathrm{~kg}\) для\(t \in[0,100] .\)
  1. \(\omega_{0}=2.0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=0.1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
  2. \(\omega_{0}=2.0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=0.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
  3. \(\omega_{0}=2.0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=1.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
  4. \(\omega_{0}=2.0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=2.2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
  5. \(\omega_{0}=1.0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=1.2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
  6. \(\omega_{0}=1.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \omega=1.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
2. Переконайтеся, що рішення в Рівнянні\((2.4.36)\) є таким же, як і рішення в Рівнянні\((2.4.35)\) для\(F_{0}=2.0 \mathrm{~N}, m=10.0 \mathrm{~kg}, \omega_{0}=1.5\)\(\mathrm{rad} / \mathrm{s}\), і\(\omega=1.25 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\), шляхом побудови обох розв'язків для\(t \in\)\([0,100]\).
Певна модель руху легкого пластикового кулі, кинутого в повітря, дається

\(m x^{\prime \prime}+c x^{\prime}+m g=0, \quad x(0)=0, \quad x^{\prime}(0)=v_{0}\)

Ось маса кулі,\(m\)\(g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) є прискорення за рахунок сили тяжіння і\(c\) є мірою демпфування. Оскільки\(x\) терміна немає, ми можемо записати це як рівняння першого порядку для швидкості\(v(t)=x^{\prime}(t)\):

\(m v^{\prime}+c v+m g=0\)

Знайдіть загальний розв'язок швидкості\(v(t)\) лінійного диференціального рівняння першого порядку вище.
Використовуйте рішення частини а, щоб знайти загальне рішення для позиції\(x(t)\).
Знайти вираз, щоб визначити, скільки часу потрібно, щоб м'яч досяг його максимальної висоти?
Припустимо, що\(c / m=5 \mathrm{~s}^{-1}\). Для\(v_{0}=5,10,15,20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\), побудувати рішення, в\(x(t)\) порівнянні з часом, за допомогою комп'ютерного програмного забезпечення.
З ваших змов і вираження частково\(c\) визначте час підйому. Чи згодні ці відповіді?
Що ви можете сказати про час, необхідний для падіння м'яча в порівнянні з часом підйому?

Знайти розв'язок кожної задачі початкового значення, використовуючи відповідне початкове значення функції Гріна.
1. \(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=20 e^{-2 x}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=6\)
2. \(y^{\prime \prime}+y=2 \sin 3 x, \quad y(0)=5, \quad y^{\prime}(0)=0\).
3. \(y^{\prime \prime}+y=1+2 \cos x, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0\).
4. \(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=3 x^{2}-x, \quad y(1)=\pi, \quad y^{\prime}(1)=0\).
Використовуйте початкове значення функції Гріна для\(x^{\prime \prime}+x=f(t), x(0)=4\)\(x^{\prime}(0)=0\),, для вирішення наступних завдань.
1. \(x^{\prime \prime}+x=5 t^{2}\).
2. \(x^{\prime \prime}+x=2 \tan t\).
Для проблеми\(y^{\prime \prime}-k^{2} y=f(x), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\),
1. Знайдіть початкове значення функції Гріна.
2. Використовуйте функцію Гріна для вирішення\(y^{\prime \prime}-y=e^{-x}\).
3. Використовуйте функцію Гріна для вирішення\(y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x}\).
Знайдіть і використовуйте початкове значення функції Гріна для вирішення

\(x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-15 y=x^{4} e^{x}, \quad y(1)=1, y^{\prime}(1)=0\)