2.3: Прості гармонійні осцилятори
- Page ID
- 62095
НАСТУПНА ФІЗИЧНА ПРОБЛЕМА ІНТЕРЕСУ - це простий гармонійний рух. Такий рух виникає у багатьох місцях фізики і забезпечує загальне перше наближення до моделей коливального руху. Це початок основної нитки, що працює протягом усього цього курсу. Ви бачили простий гармонійний рух у вашому вступному класі фізики. Ми розглянемо SHM (або SHO в деяких текстах), подивившись на пружини, маятник (множина\(m\) маятника) та прості схеми.
2.3.1: Мас-пружинні системи
ПОЧИНАЄМО З ВИПАДКУ єдиного блоку на пружині, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Чиста сила в цьому випадку - це відновлювальна сила пружини, надана Законом Гука,
\(F_{s}=-k x\)
де\(k>0\) - постійна пружина. Тут\(x\) відбувається подовження, або зміщення пружини від рівноваги. Коли зміщення позитивне, сила пружини негативна, а коли зміщення негативне, сила пружини позитивна. Ми зобразили горизонтальну систему, що сидить на поверхні без тертя. Подібну модель можна передбачити і для вертикально орієнтованих пружин. Однак потрібно враховувати силу тяжіння, щоб визначити місце рівноваги. В іншому випадку коливальний рух про рівновагу моделюється однаково.
З другого закону Ньютона отримаємо рівняння руху маси на пружині:\(F=m \ddot{x}\)
\[m \ddot{x}+k x=0 \label{2.19} \]
Діливши на масу, це рівняння можна записати у вигляді
\[\ddot{x}+\omega^{2} x=0 \nonumber \]
де
\(\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\)
Це загальне диференціальне рівняння для простого гармонічного руху.
Пізніше ми виведемо розв'язки таких рівнянь методичним способом. Поки відзначимо, що два розв'язки цього рівняння задаються
\[ \begin{aligned} x(t) &=A \cos \omega t \\ x(t) &=A \sin \omega t \end{aligned} \label{2.21} \]
де\(\omega\) - кутова частота, вимірюється в рад/с, і\(A\) називається амплітудою коливань.
Кутова частота пов'язана з частотою по
\(\omega=2 \pi f\)
де\(f\) вимірюється в циклах в секунду, або Герцах. Крім того, це пов'язано з періодом коливань, часом, який потрібно масі, щоб пройти один цикл:
\(T=1 / f\)
2.3.2: Простий маятник
ПРОСТИЙ МАЯТНИК складається з точкової маси,\(m\) що висить на струні довжиною\(L\) від деякої опори. [Див\(\PageIndex{2}\). Малюнок.] Один тягне масу назад до деякого початкового кута\(\theta_{0}\), і звільняє її. Мета полягає в тому, щоб знайти кутове положення в залежності від часу.
Існує пара можливих похідних. Ми могли б або використовувати Другий закон руху Ньютона\(F=m a\), або його обертальний аналог з точки зору крутного моменту,\(\tau=I \alpha\). Ми будемо використовувати перший тільки для обмеження кількості необхідного фізичного фону.
На точкову масу діють дві сили. Перший - це гравітація. Це вказує вниз і має величину\(m g\), де\(g\) є стандартним символом прискорення за рахунок сили тяжіння. Інша сила - натяг в струні. На малюнку наведені\(\PageIndex{3}\) ці сили та їх сума. Величина суми легко знайти, як\(F=m g \sin \theta\) за допомогою додавання цих двох векторів.
Другий закон руху Ньютона говорить нам, що чиста сила - це маса, що перевищує прискорення. Отже, ми можемо написати
\(m \ddot{x} = -mg \sin \theta \)
Далі нам потрібно співвідносити\(x\) і\(\theta . x\) це пройдену відстань, яка є довжиною дуги, промальованої точковою масою. Довжина дуги пов'язана з кутом, за умови, що кут вимірюється в радіанах. А саме,\(x=r \theta\) для\(r=L\). Таким чином, ми можемо написати
\(m L \ddot{\theta}=-m g \sin \theta .\)
Лінійне та нелінійне рівняння маятника. Скасовуючи маси, це дає нам нелінійне рівняння маятника
\[L \ddot{\theta}+g \sin \theta=0 \nonumber \]
Рівняння для складного маятника приймає аналогічну форму. Почнемо з обертальної форми другого закону Ньютона\(\tau=I \alpha\). Відзначаючи, що крутний момент, обумовлений гравітацією, діє в положення центру маси\(\ell\), подається крутний момент
\[\ddot{\theta}+\omega^{2} \theta=0 \nonumber \]
по\(\tau=-m g \ell \sin \theta\). З тих пір\(\alpha=\ddot{\theta}\), у нас є\(I \ddot{\theta}=-m g \ell \sin \theta\). Потім для невеликих кутів\(\ddot{\theta}+\omega^{2} \theta=0\), де\(\omega=\dfrac{m g \ell}{I}\). Для простого маятника відпускаємо\(\ell=L\) і\(I=m L^{2}\), і отримуємо\(\omega=\sqrt{g / L} .\)
Відзначимо, що це рівняння має ту ж форму, що і система мас - пружина. Визначимо\(\omega=\sqrt{g / L}\) і отримаємо рівняння для простого гармонічного руху,
\(\ddot{\theta}+\omega^{2} \theta=0\)
Існує кілька варіантів рівняння\(\PageIndex{4}\), які будуть використані в цьому тексті. Перший з них - лінійний маятник. Це виходить, зробивши невелике наближення кута. Для малих кутів ми знаємо, що\(\sin \theta \approx \theta .\) Під цим наближенням рівняння\(\PageIndex{4}\) стає
\[L \ddot{\theta}+g \theta=0 . \nonumber \]
2.3.3: Ланцюги LRC
ІНША ТИПОВА ПРОБЛЕМА, ЧАСТО ЗУСТРІЧАЄТЬСЯ в класі фізики першого року, полягає в ланцюзі серії LRC. Ця схема зображена на малюнку\(\PageIndex{4}\). Резистор - це елемент схеми, що задовольняє Закон Ома. Конденсатор - це пристрій, який зберігає електричну енергію і індуктор, або котушка, зберігають магнітну енергію.
Фізика цієї проблеми випливає з Правил Кірхоффа для схем. А саме суму падінь електричного потенціалу встановлюють рівну підвищенням електричного потенціалу. Потенціал падіння по кожному елементу ланцюга задається
- Резистор:\(V=I R .\)
- Конденсатор:\(V=\dfrac{q}{C} .\)
- Індуктор:\(V=L \dfrac{d I}{d t} .\)
Крім того, нам потрібно визначити струм, як\(I=\dfrac{d q}{d t} .\) де\(q\) знаходиться заряд в ланцюзі. Склавши ці перепади потенціалів, ставимо їх рівним напрузі, що подається джерелом напруги,\(V(t)\). Таким чином, отримуємо
\(I R+\dfrac{q}{C}+L \dfrac{d I}{d t}=V(t)\)
Оскільки обидва\(q\) і\(I\) невідомі, ми можемо замінити струм за його вираженням в плані заряду для отримання
\(L \ddot{q}+R \dot{q}+\dfrac{1}{C} q=V(t)\)
Це рівняння другого порядку для\(q(t)\). Більш складні схеми можливі, дивлячись на паралельні з'єднання, або інші комбінації, резисторів, конденсаторів і індукторів. Це призведе до декількох рівнянь для кожного циклу в ланцюзі, що призведе до більших систем диференціальних рівнянь. Приклад установки іншої схеми наведено на малюнку\(\PageIndex{5}\). Це не проблема, яку можна висвітлити на першому курсі фізики. Можна налаштувати систему рівнянь другого порядку і приступити до їх розв'язання. Як вирішити такі проблеми ми побачимо в наступному розділі.
Нижче ми розглянемо особливі випадки, які виникають для рівняння ланцюга серії LRC. До них відносяться RC-схеми, розв'язані методами першого порядку та ланцюги LC, що призводять до коливальної поведінки.
2.3.4: RC-схеми
СПОЧАТКУ РОЗГЛЯНЕМО ВИПАДОК RC ланцюга, в якому немає індуктора. Також розглянемо, що відбувається, коли один заряджає конденсатор акумулятором постійного струму\(\left(V(t)=V_{0}\right)\) і при розряді зарядженого конденсатора\((V(t)=0)\) як показано на малюнках\(\PageIndex{6}\) і\(\PageIndex{9}\).
Зарядка конденсатора.
Для зарядки конденсатора ми маємо початкову задачу
\[R \dfrac{d q}{d t}+\dfrac{q}{C}=V_{0}, \quad q(0)=0 \nonumber \]
Це рівняння є прикладом лінійного рівняння першого порядку для\(q(t) .\) Однак ми також можемо переписати його та вирішити як роздільне рівняння, оскільки\(V_{0}\) є постійною. Перше ми будемо робити лише як ще один приклад пошуку інтегруючого фактора.
Спочатку запишемо рівняння в стандартному вигляді:
\[\dfrac{d q}{d t}+\dfrac{q}{R C}=\dfrac{V_{0}}{R} \nonumber \]
Інтеграційний фактор тоді
\(\mu(t)=e^{\int \dfrac{d t}{R C}}=e^{t / R C}\)
Таким чином,
\[\dfrac{d}{d t}\left(q e^{t / R C}\right)=\dfrac{V_{0}}{R} e^{t / R C} \nonumber \]
Інтегруючи, ми маємо
\[q e^{t / R C}=\dfrac{V_{0}}{R} \int e^{t / R C} d t=C V_{0} e^{t / R C}+K \nonumber \]
Зверніть увагу, що ми ввели константу інтеграції,\(K\). Тепер розділіть експоненту, щоб отримати загальне рішення:
\[q=C V_{0}+K e^{-t / R C} \nonumber \]
(Якби ми забули\(K\), ми б не отримали правильного рішення для диференціального рівняння.)
Далі використовуємо початкову умову, щоб отримати конкретний розчин. А саме, установка\(t=0\), у нас є що
\(0=q(0)=C V_{0}+K\)
Отже,\(K=-C V_{0}\). Вставивши це в розчин, ми маємо
\[q(t)=C V_{0}\left(1-e^{-t / R C}\right) \nonumber \]
Тепер ми можемо вивчити поведінку цього рішення. Для великих разів другий член йде в нуль. Таким чином, конденсатор заряджається, асимптотично, до кінцевого значення\(q_{0}=C V_{0} .\) Це те, що ми очікуємо, тому що струм більше не протікає,\(R\) і це просто дає зв'язок між різницею потенціалів через обкладинки конденсатора при заряді \(q_{0}\)встановлюється на плитах.
Введемо деякі значення для параметрів. Допустимо\(R = 2.00 k \omega \)\(C = 6.00\mathrm{mF}\),\(V_{0}=12 \mathrm{~V} .\) а сюжет рішення наведено на рис\(\PageIndex{7}\). Ми бачимо, що
заряд накопичується до вартості\(C V_{0}=0.072 \mathrm{C}\). Якщо використовувати менший
опір\(R=200 \Omega\), то ми бачимо на малюнку,\(\PageIndex{8}\) що конденсатор заряджається до тієї
ж величини, але набагато швидше.
Постійна часу,\(\tau=R C\).
Швидкість, з якою конденсатор заряджається, або розряджається, регулюється постійною часу,\(\tau=R C\). Це постійний фактор в експоненціальному. Чим він більший, тим повільніше розпадається експоненціальний термін. Якщо ми встановимо\(t = \tau\), ми виявимо, що
\(q(\tau)=C V_{0}\left(1-e^{-1}\right)=(1-0.3678794412 \ldots) q_{0} \approx 0.63 q_{0}\)
Таким чином, за часом\(t=\tau\) конденсатор зарядився майже до двох третин від свого кінцевого значення. Для першого набору параметрів,\(\tau=12 \mathrm{~s}\). Для другого набору,\(\tau=1.2 \mathrm{~s}\).
Малюнок\(\PageIndex{8}\): The charge as a function of time for a charging capacitor with \(R=200 \Omega\), \(C=6.00 \mathrm{mF}\), і\(V_{0}=12 \mathrm{~V}\)Розрядка конденсатора.
Тепер припустимо, що конденсатор заряджений зарядом\(\pm q_{0}\) на своїх обкладинках. Якщо ми від'єднаємо батарею і знову з'єднаємо дроти для завершення схеми, як показано на малюнку\(\PageIndex{9}\), то заряд потім зійде з пластин, розрядивши конденсатор. Відповідною формою задачі початкового значення стає
\[R \dfrac{d q}{d t}+\dfrac{q}{C}=0, \quad q(0)=q_{0} . \nonumber \]
Це рівняння простіше для вирішення. Переставляючи, у нас є
\[\dfrac{d q}{d t}=-\dfrac{q}{R C} \nonumber \]
Це проста задача експоненціального розпаду, яку можна вирішити за допомогою поділу змінних. Однак до теперішнього часу ви повинні знати, як відразу записати рішення подібних проблем виду\(y^{\prime}=k y\). Рішення є
\(q(t)=q_{0} e^{-t / \tau}, \quad \tau=R C\)
Ми бачимо, що заряд розпадається в геометричній прогресії. В принципі, конденсатор ніколи повністю не розряджається. Ось чому вам часто доручають розмістити шунт через розряджений конденсатор, щоб повністю його розрядити. На малюнку\(\PageIndex{10} we show the discharging of the two previous RC circuits. Once again, \(\tau=R C\) визначається поведінка. У\(t=\tau\) нас є
\(q(\tau)=q_{0} e^{-1}=(0.3678794412 \ldots) q_{0} \approx 0.37 q_{0}\)
Так, в цей час конденсатор має лише близько третини свого початкового значення.
2.3.5: Ланцюги LC
LC Осцилятори.
ІНШИЙ ПРОСТИЙ РЕЗУЛЬТАТ виходить від вивчення\(L C\) схем. Тепер ми підключимо заряджений конденсатор до індуктора, як показано на малюнку\(\PageIndex{11}\). В даному випадку розглядається початкова величина задачі
\[L \ddot{q}+\dfrac{1}{C} q=0, \quad q(0)=q_{0}, \dot{q}(0)=I(0)=0 \nonumber \]
Розділивши індуктивність, ми маємо
\[\ddot{q}+\dfrac{1}{L C} q=0 \nonumber \]
Це рівняння другого порядку, рівняння постійного коефіцієнта. Він має ту ж форму, що і для простого гармонійного руху маси на пружині або лінійному маятнику. Отже, очікуємо коливальну поведінку. Характерне рівняння
\(r^{2}+\dfrac{1}{L C}=0\)
Рішення є
\(r_{1,2}=\pm \dfrac{i}{\sqrt{L C}}\)
Таким чином, рішення\(\PageIndex{15}\) Рівняння має вигляд
\[ q(t)=c_{1} \cos (\omega t)+c_{2} \sin (\omega t), \quad \omega=(L C)^{-1 / 2} \nonumber \]
Вставка початкових умов дає
\[q(t)=q_{0} \cos (\omega t) \nonumber \]
Коливання, які виникають, зрозумілі. У міру виходу заряду з пластин мінливий струм індукує мінливе магнітне поле в індукторі. Накопичена електрична енергія в конденсаторі змінюється на накопичену магнітну енергію в індукторі. Однак процес триває до тих пір, поки пластини не заряджаються протилежною полярністю, а потім процес починається в зворотному напрямку. Потім заряджений конденсатор розряджається, і конденсатор в кінцевому підсумку повертається в початковий стан, і вся система повторює це знову і знову.
Частота цього простого гармонійного руху легко знайти. Це дається
\[f=\dfrac{\omega}{2 \pi}=\dfrac{1}{2 \pi} \dfrac{1}{\sqrt{L C}} \nonumber \]
Це називається частотою настройки через її роль в налаштуванні ланцюгів.
Знайти резонансну частоту для\(C=10 \mu \mathrm{F}\) і\(L=\)\(100 \mathrm{mH}\).
\(f=\dfrac{1}{2 \pi} \dfrac{1}{\sqrt{\left(10 \times 10^{-6}\right)\left(100 \times 10^{-3}\right)}}=160 \mathrm{~Hz}\)
Звичайно, це ідеальна ситуація. В ланцюзі завжди є опір, навіть якщо тільки невелика кількість від проводів. Отже, нам дійсно потрібно враховувати опір, або навіть додати резистор. Це призводить до трохи складнішої системи, в якій буде присутній демпфування.
2.3.6: Затухаючі коливання
Як МИ ВКАЗАЛИ, простий гармонійний рух - ідеальна ситуація. У реальних системах нам часто доводиться боротися з деякими втратами енергії в системі. Це призводить до загасання коливань. Стандартним прикладом є пружинно-масова демпферна система, як показано на малюнку,\(2.12 \mathrm{~A}\) маса прикріплена до пружини і додається демпфер, який може поглинати частину енергії коливань. демпфування моделюється з терміном, пропорційним швидкості.
Існують і інші моделі коливань, при яких втрати енергії можуть бути в пружині, в спосіб кріплення маятника до його опори, або в опорі протіканню струму в LC-ланцюзі. Найпростіші моделі опору - додавання члена, пропорційного першій похідній залежної змінної. Таким чином, наші три основні приклади з додаванням демпфування виглядають так:
\[m \ddot{x}+b \dot{x}+k x=0 . \nonumber \]
\[L \ddot{\theta}+b \dot{\theta}+g \theta=0 . \nonumber \]
\[L \ddot{q}+R \dot{q}+\dfrac{1}{C} q=0 . \nonumber \]
Це все приклади загального постійного рівняння коефіцієнта
\[a y^{\prime \prime}(x)+b y^{\prime}(x)+c y(x)=0 \nonumber \]
Ми бачили, що розв'язки виходять, дивлячись на характеристичне рівняння\(ar^2 + br + c = 0\). Це призводить до трьох різних форм поведінки залежно від дискримінанту в квадратичній формулі:
\[r=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \nonumber \]
Ми розглянемо на прикладі амортизованої пружини. Тоді у нас є
\[r=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 m k}}{2 m} \nonumber \]
Демпфіровані випадки осциляторів: Перегашений, критично затухаючий і недогашений.
Перегашений,\(b^{2}>4 m k\)
У цьому випадку отримуємо два реальних кореня. Оскільки це випадок I для рівнянь постійних коефіцієнтів, ми маємо, що
\(x(t)=c_{1} e^{r_{1} t}+c_{2} e^{r_{2} t}\)
Відзначимо, що\(b^{2}-4 m k<b^{2}\). Таким чином, коріння обидва негативні. Отже, обидва члени в розчині експоненціально розпадаються. Демпфування настільки сильне, що коливань в системі немає.
Критично затухає,\(b^{2}=4 m k\)
У цьому випадку отримуємо один справжній корінь. Це випадок II для рівнянь постійних коефіцієнтів, і рішення задається
\(x(t)=\left(c_{1}+c_{2} t\right) e^{r t}\)
де Ще\(r=-b / 2 m .\) раз розчин розпадається в геометричній прогресії. Демпфування просто досить сильне, щоб перешкоджати будь-яким коливанням. Якби він був слабшим, дискримінант був би негативним, і нам потрібен був би третій випадок.
Затухає,\(b^{2}<4 m k\)
У цьому випадку ми маємо складні сполучені коріння. Ми можемо написати\(\alpha=-b / 2 m\) і\(\beta=\sqrt{4 m k-b^{2}} / 2 m .\) тоді рішення є
\(x(t)=e^{\alpha t}\left(c_{1} \cos \beta t+c_{2} \sin \beta t\right)\)
Ці рішення проявляють коливання за рахунок тригонометричних функцій, але ми бачимо, що амплітуда може зменшуватися в часі через загальний коефіцієнт\(e^{\alpha t}\) коли\(\alpha<0 .\) Розглянемо випадок, що початкові умови дають\(c_{1}=A\) і\(c_{2}=0 .\) (Коли це?) Потім, рішення\(x(t)=A e^{\alpha t} \cos \beta t\), виглядає як сюжет на малюнку\(\PageIndex{13}.\)