1.5: Проблеми

1. Знайти всі розв'язки диференціальних рівнянь першого порядку. Коли задано початкову умову, знайдіть конкретне рішення, яке задовольняє цій умові.
   1. \(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{e^{x}}{2 y}\)
   2. \(\dfrac{d y}{d t}=y^{2}\left(1+t^{2}\right), y(0)=1\).
   3. \(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{\sqrt{1-y^{2}}}{x}\).
   4. \(x y^{\prime}=y(1-2 y), \quad y(1)=2\).
   5. \(y^{\prime}-(\sin x) y=\sin x\).
   6. \(x y^{\prime}-2 y=x^{2}, y(1)=1\).
   7. \(\dfrac{d s}{d t}+2 s=s t^{2}, \quad, s(0)=1\).
   8. \(x^{\prime}-2 x=t e^{2 t}\).
   9. \(\dfrac{d y}{d x}+y=\sin x, y(0)=0\).
   10. \(\dfrac{d y}{d x}-\dfrac{3}{x} y=x^{3}, y(1)=4\).
2. Для наступного визначте, чи є диференціальне рівняння точним. Якщо це не точно, знайдіть інтегруючий фактор. Інтегруйте рівняння для отримання розв'язків.
   1. \(\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right) d x+\left(6 x^{2} y+4 y^{3}\right) d y=0\)
   2. \(\left(x+y^{2}\right) d x-2 x y d y=0\).
   3. \((\sin x y+x y \cos x y) d x+x^{2} \cos x y d y=0\).
   4. \(\left(x^{2}+y\right) d x-x d y=0\).
   5. \(\left(2 x y^{2}-3 y^{3}\right) d x+\left(7-3 x y^{2}\right) d y=0\).
3. Розглянемо диференціальне рівняння

\(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x}{y}-\dfrac{x}{1+y}\)

5. Знайдіть сімейство I-параметрів розв'язків (загальне рішення) цього рівняння.
6. Знайти рішення цього рівняння, що задовольняє початковій умові\(y(0)=1\). Це член сімейства i-параметрів?

4. М'яч кидається вгору з початковою швидкістю\(49 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) від\(539 \mathrm{~m}\) високої. Наскільки високо м'яч отримати і як довго робить в прийняти, перш ніж він потрапляє в землю? [Використовуйте результати простої проблеми вільного падіння,\(\left.y^{\prime \prime}=-g .\right]\)
5. Розглянемо випадок вільного падіння з демпфуючою силою, пропорційною швидкості,\(f_{D}=\pm k v\) с\(k=0.1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}\).
   1. Використовуючи правильний знак, розгляньте\(50 \mathrm{~kg}\) масу, що падає з відпочинку на висоті кімнати. Знайти швидкість як функцію часу. Чи досягає маса кінцевої швидкості?
   2. Нехай маса буде викинута вгору від землі з початковою швидкістю\(50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Знайдіть швидкість як функцію часу, коли вона рухається вгору, а потім падає на землю. Наскільки високо виходить маса? Яка його швидкість при поверненні на землю?
6. Шматок супутника падає на землю з висоти\(10,000 \mathrm{~m}\). Ігноруючи опір повітря, знайдіть висоту як функцію часу. [Підказка: Для вільного падіння з великих відстаней.

\(\ddot{h}=-\dfrac{G M}{(R+h)^{2}}\)

Множивши обидві сторони на\(\dot{h}\), показати, що

\(\dfrac{d}{d t}\left(\dfrac{1}{2} \dot{h}^{2}\right)=\dfrac{d}{d t}\left(\dfrac{G M}{R+h}\right)\)

Інтегруйте та вирішуйте для\(\dot{h}\). Подальша інтеграція дає\(h(t).]\)

7. Проблема зростання і розпаду констатується наступним чином: Швидкість зміни величини пропорційна величині. Диференціальне рівняння для такої задачі

\(\dfrac{d y}{d t}=\pm k y\)

Рішенням цієї проблеми зростання і розпаду є\(y(t)=y_{0} e^{\pm k t}\). Використовуйте цей розчин, щоб відповісти на наступні питання, якщо сорок відсотків радіоактивної речовини зникає через 100 років.

1. Що таке період напіввиведення речовини?
2. Через скільки років\(90 \%\) пропаде?

8. Уран 237 має період напіввиведення\(6.78\) днів. Якщо зараз є\(10.0\) грамів У-237, то скільки залишиться через два тижні?
9. Клітини конкретної культури бактерій діляться кожні три з половиною години. Якщо спочатку є 250 клітин, скільки буде через десять годин?
10. Чисельність населення міста збільшилася вдвічі за 25 років. Скільки років знадобиться населенню, щоб потроїтися?
11. Визначте тип диференціального рівняння. Знайдіть загальне рішення і побудуйте кілька конкретних рішень. Крім того, знайдіть сингулярний розв'язок, якщо такий існує.
    1. \(y=x y^{\prime}+\dfrac{1}{y^{\prime}}\).
    2. \(y=2 x y^{\prime}+\ln y^{\prime}\).
    3. \(y^{\prime}+2 x y=2 x y^{2}\).
    4. \(y^{\prime}+2 x y=y^{2} e^{x^{2}}\).
12. Знайти загальний розв'язок рівняння Ріккаті, заданого конкретним розв'язком (Функція\(F(x, y)\) вважається однорідною ступеня,\(k\) якщо\(F(t x, t y)=t^{k} F(x, y)\).)
    1. \(x y^{\prime}-y^{2}+(2 x+1) y=x^{2}+2 x, y_{1}(x)=x\).
    2. \(y^{\prime} e^{-x}+y^{2}-2 y e^{x}=1-e^{2 x}, y_{1}(x)=e^{x}\).
13. Задача про початкове значення

\(\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y^{2}+x y}{x^{2}}, \quad y(1)=1\)

не потрапляє в клас проблем, розглянутих в цьому розділі. Функція з правого боку є однорідною функцією ступеня нуля. Однак, якщо підставити\(y(x)=x z(x)\) в диференціальне рівняння, виходить рівняння, для\(z(x)\) якого можна вирішити. Використовуйте цю підстановку, щоб вирішити початкову задачу значення для\(y(x)\).

14. Якщо\(M(x, y)\) і\(N(x, y)\) є однорідними функціями одного ступеня, то\(M / N\) можна записати як функцію\(y / x\). Це говорить про те, що заміна\(y(x)=x z(x)\) в\(M(x, y) d x+N(x, y) d y\) може спростити рівняння. Для наступних проблем використовуйте цей метод, щоб знайти сімейство рішень.
    1. \(\left(x^{2}-x y+y^{2}\right) d x-x y d y=0\)
    2. \(x y d x-\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0\).
    3. \(\left(x^{2}+2 x y-4 y^{2}\right) d x-\left(x^{2}-8 x y-4 y^{2}\right) d y=0\).
15. Знайти сімейство ортогональних кривих до заданого сімейства кривих.
    1. \(y=a x\)
    2. \(y=a x^{2}\).
    3. \(x^{2}+y^{2}=2 a x\).
16. Температура всередині вашого будинку є\(70^{\circ} \mathrm{F}\) і вона\(30^{\circ} \mathrm{F}\) зовні. В\(1:\) оо ранку піч виходить з ладу. О 3:00 температура в будинку опустилася до\(50^{\circ} \mathrm{F}\). Припускаючи, що зовнішня температура постійна і що застосовується закон охолодження Ньютона, визначте, коли температура всередині вашого будинку досягає\(40^{\circ} \mathrm{F}\).
17. Тіло виявлено під час розслідування вбивства о 8:o вечора і температура тіла є\(70^{\circ} \mathrm{F}\). Через дві години температура тіла знизилася до\(60^{\circ} \mathrm{F}\) в приміщенні, яке знаходиться на\(50^{\circ} \mathrm{F}\). Припускаючи, що діє Закон Ньютона про охолодження і температура тіла людини була\(98.6^{\circ} \mathrm{F}\) на момент смерті, визначте, коли сталося вбивство.
18. Закон охолодження Ньютона стверджує, що швидкість тепловтрат об'єкта пропорційна температурному градієнту, або

\(\dfrac{d Q}{d t}=h A \Delta T\)

де\(Q\) теплова енергія,\(h\) - коефіцієнт тепловіддачі,\(A\) - площа поверхні тіла, і\(\Delta T=T-T_{a}\). Якщо\(Q=C T\), де\(C\) знаходиться теплоємність, то відновлюємо Рівняння\(1.3.7\) с\(k=h A / C\).

Однак є модифікації, які включають конвекцію або випромінювання. Вирішіть наступні моделі та порівняйте поведінку рішення.

1. Ньютон\(T^{\prime}=-k\left(T-T_{a}\right)\)
2. Дулонг-Петі\(T^{\prime}=-k\left(T-T_{a}\right)^{5 / 4}\)
3. Ньютон-Стефан\(T^{\prime}=-k\left(T-T_{a}\right)-\epsilon \sigma\left(T^{4}-T_{a}^{4}\right) \approx-k\left(T-T_{a}\right)-\)\(b\left(T-T_{a}\right)^{2}\).

19. Спочатку резервуар на 200 галонів заповнюється чистою водою. У той час\(t=0\) в ємність додають концентрацію солі з 3 фунтами солі на галон зі швидкістю 4 галони в хвилину, і добре перемішану суміш зливають з ємності з тією ж швидкістю.
    1. Знайти кількість фунтів солі в ємності в залежності від часу.
    2. Скільки хвилин потрібно для концентрації, щоб досягти 2 фунтів на галон?
    3. До чого підходить концентрація в контейнері для великих значень часу? Чи згодна це з вашою інтуїцією?
    4. Якщо припустити, що бак вміщує набагато більше 200 галонів, і все те ж саме, за винятком того, що суміш зливається зі швидкістю 3 галонів в хвилину, що б стали відповіді на частини a і b?
20. Ви робите два галони чилі для вечірки. Рецепт вимагає двох чайних ложок гострого соусу на галон, але ви випадково поклали дві столові ложки на галон. Ви все одно вирішили нагодувати своїх гостей чилі. Припустимо, що гості беруть I чашку/хв чилі, і ви замінюєте те, що було прийнято квасолею і помідорами без будь-якого гострого соусу. [1 гал\(=16\) чашки і\(1 \mathrm{~Tb}=3\) ч. л.]
    1. Запишіть диференціальне рівняння та початкову умову кількості гострого соусу як функцію часу в цій задачі типу суміші.
    2. Вирішити цю початкову задачу значення.
    3. Скільки часу знадобиться, щоб повернути чилі до запропонованої концентрації рецепта?