1.3: Додатки
- Page ID
- 62061
У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ РОЗГЛЯНЕМО ДЕЯКІ прості програми, які моделюються диференціальними рівняннями першого порядку. Почнемо з простих експоненціальних моделей зростання і розпаду.
Зростання і занепад
ДЕЯКІ З НАЙПРОСТІШИХ МОДЕЛЕЙ - ЦЕ ТІ, ЩО ПЕРЕДБАЧАЮТЬ зростання або гниття. Наприклад, модель популяції може бути отримана при простих припущеннях. Нехай\(P(t)\) буде населення на час\(t\). Ми хочемо знайти вираз для швидкості зміни населення,\(\dfrac{d P}{d t}\). Припускаючи, що міграції населення не відбувається, єдиний спосіб зміни популяції - це додавання або віднімання індивідів у популяції. Рівняння прийме форму
\(\dfrac{d P}{d t}=\text { Rate In }-\text { Rate Out. }\)
Rate In може бути обумовлений кількістю народжень за одиницю часу та Rate Out за кількістю смертей за одиницю часу. Найпростіші форми для цих ставок були б надані
\(\text { Rate In }=b P \text { and the Rate Out }=m P .\)
Тут ми позначили народжуваність як\(b\) і смертність як\(m\). Це дає загальну швидкість зміни населення як
\[\dfrac{d P}{d t}=b P-m P \equiv k P \label{1.27} \]
\(\PageIndex{1}\)Рівняння - роздільне рівняння. Поділ слід, як ми бачили раніше в розділі. Переставляючи рівняння, його диференціальна форма
\(\dfrac{d P}{P}=k d t\)
Інтегруючи, ми маємо
\[ \begin{aligned} &\int \dfrac{d P}{P}=\int k d t \\ &\ln |P|=k t+C \end{aligned} \label{1.28} \]
Далі ми вирішуємо для\(P(t)\) через піднесення до степеня, Інтеграція, у нас є
\[ \begin{aligned} |P(t)| &=e^{k t+C} \\ P(t) &=\pm e^{k t+C} \\ &=\pm e^{C} e^{k t} \\ &=A e^{k t} . \end{aligned}\label{1.29} \]
Якщо говорити загалом, то проблема початкового значення\(d P / d t=k P, P\left(t_{0}\right)=P_{0}\) має рішення\(P(t) P_0 e^{k(t-t_0)}\).
Тут ми перейменували довільну константу\(\pm e^{C}\), як\(A .\)
Якщо популяції при\(t=0\) є\(P_{0}\), тобто\(P(0)=P_{0}\), то рішення дає\(P(0)=A e^{0}=A=P_{0} .\) Отже, рішення початкової задачі значення є
\(P(t)=P_{0} e^{k t}\)
Зростання населення Мальтузіанців.
\(\PageIndex{1}\)Рівняння знайомої експоненціальної моделі приросту населення:
\(\dfrac{d P}{d t}=k P\)
Це легко вирішується, і людина отримує експоненціальне зростання\((k>0)\) або гниття\((k<0)\).
Ця мальтузіанська модель зростання була названа на честь Томаса Роберта Мальтуса\((1766-1834)\), священнослужителя, який використовував цю модель, щоб попередити про майбутню загибель людського роду, якщо її репродуктивна практика продовжуватиметься.
Розглянемо популяцію бактерій вагою\(20 \mathrm{~g}\). Якщо населення подвоюється кожні 20 хвилин, то яка популяція через 30 хвилин? [Примітка: Легше зважити цю популяцію, ніж рахувати її.]
Один дивиться на дану інформацію, перш ніж намагатися відповісти на питання. По-перше, ми маємо початкову умову\(P_{0}=20 \mathrm{~g}\). Так як населення подвоюється кожні 20 хвилин, то\(P(20)=2 P_{0}=40\). Тут ми маємо взяти одиниці часу як хвилини. Потім нас просять знайти\(P(30)\).
Нам не потрібно вирішувати диференціальне рівняння. Будемо вважати просту модель зростання. Використовуючи загальне рішення\(P(t)=20 e^{k t}\), ми маємо
\(P(20)=20 e^{20 k}=40\)
або
\(e^{20 k}=2\)
Ми можемо вирішити це для того\(k\),
\(20 k=\ln 2, \quad \Rightarrow k=\dfrac{\ln 2}{20} \approx 0.035\)
Це дає приблизне рішення,\(P(t) \approx 20 e^{.035 t} .\) тепер ми можемо відповісти на початкове питання. А саме,\(P(30) \approx 57 .\)
Звичайно, ми могли б отримати точне рішення. За допомогою деяких нескладних маніпуляцій ми маємо
\[ \begin{aligned} P(t) &=20 e^{k t} \\ &=20 e^{\left(\dfrac{\ln 2}{20}\right) t} \\ &=20\left(e^{\ln 2}\right)^{\dfrac{t}{20}} \\ &=20\left(2^{\dfrac{t}{20}}\right) \end{aligned} \label{1.30} \]
Ця відповідь приймає загальну форму для подвоєння населення\(P(t)=\)\(P_{0} 2^{\dfrac{t}{\tau}}\), де\(\tau\) - ставка подвоєння.
Ще однією стандартною проблемою зростання-розпаду є радіоактивний розпад. Певні ізотопи нестабільні і ядро розпадається, що призводить до ядерного розпаду. Продукти розпаду також можуть бути нестабільними і піддаватися подальшому ядерному розпаду. Як приклад, Уран-238 (U-238) розпадається на торій-234 (проблеми радіоактивного розпаду Th.234). Торій-234 нестійкий і розпадається на протактиній (Па-234). Це, в свою чергу, розпадається в багатьох етапах, поки не буде вироблено свинець (Pb-206), як показано в табл\(\PageIndex{1}\). Цей ізотоп свинцю стабільний і процес розпаду припиняється. Хоча це одна з форм радіоактивного розпаду, є й інші типи. Наприклад, Радон 222 (Rn-222) віддає альфа-частинку (ядро гелію), залишаючи полоній (Po-218).
| Ізотоп | Період напіврозпаду |
|---|---|
| \(U^{238}\) | \(4.468 x 10^{9}\)років |
| \(T h^{234}\) | \(24.1\)днів |
| \(P a^{234 m}\) | \(1.17\)хвилин |
| \(U^{234}\) | \(2.47 x 10^{5}\)років |
| \(T h^{230}\) | \(8.0 x 10^{4}\)років |
| \(R a^{226}\) | 1602 років |
| \(R n^{222}\) | \(3.823\)днів |
| \(P o^{218}\) | \(3.05\)хвилин |
| \(P b^{214}\) | \(26.8\)хвилин |
| \(B i^{214}\) | \(19.7\)хвилин |
| \(P o^{214}\) | 164 мікросек |
| \(P b^{210}\) | 21 років |
| \(B i^{210}\) | \(5.01\)днів |
| \(P o^{210}\) | \(138.4\)днів |
| \(P b^{206}\) | стабільний |
З огляду на певну кількість радіоактивного матеріалу, він не весь розпадається за один раз. Міра схильності ядра до розпаду називається періодом напіврозпаду. Це час, необхідний для того, щоб половина матеріалу розпалася. Це схоже на останній приклад і можна зрозуміти на простому прикладі.
Якщо\(150.0 \mathrm{~g}\) Торій-234 розпадається до\(137.6 \mathrm{~g}\) Thorium234 за три дні, який його період напіврозпаду?
Це ще один простий процес гниття. Якщо\(Q(t)\) являє собою кількість нестійкого матеріалу, то\(Q(t)\) задовольняє рівняння швидкості
\(\dfrac{d Q}{d t}=k Q\)
з\(k<0 .\) Рішенням початкової задачі значення, як ми вже переконалися, є\(Q(t)=Q_{0} e^{k t}\).
Тепер, нехай період напіврозпаду буде дано\(\tau\). Потім,\(Q(\tau)=\dfrac{1}{2} Q_{0}\). Вставляючи цей факт в рішення, ми маємо
\[ \begin{aligned} Q(\tau) &=Q_{0} e^{k \tau} \\ \dfrac{1}{2} Q_{0} &=Q_{0} e^{k \tau} \\ \dfrac{1}{2} &=e^{k \tau} \end{aligned} \label{1.31} \]
Відзначивши це\(Q(t)=Q_{0}\left(e^{k}\right)^{t}\), ми вирішуємо Рівняння\(\PageIndex{5}\) для
\(e^{k}=2^{-1 / \tau}\)
Потім, рішення можна записати в загальному вигляді
\(Q(t)=Q_{0} 2^{-\dfrac{t}{\tau}}\)
Зверніть увагу, що константа розпаду є\(k=-\dfrac{\ln 2}{\tau}<0\).
Повертаючись до проблеми, нам дають
\(Q(3)=1502^{-\dfrac{3}{\tau}}=137.6\)
Вирішуючи\(\tau\),
\[ \begin{aligned} 2^{-\dfrac{3}{\tau}} &=\dfrac{136.7}{150} \\ -3 \ln 2 &=\ln .9173 \tau \\ \tau &=-\dfrac{3 \ln 2}{\ln .9173}=24.09 \end{aligned} \nonumber \]
Тому період напіввиведення становить близько\(24.1\) днів.
Закон Ньютона про охолодження
ЯКЩО ВИ ВІЗЬМЕТЕ СВОЮ ГАРЯЧУ ЧАШКУ ЧАЮ, і дайте йому посидіти в холодній кімнаті, чай охолоне і досягне кімнатної температури через певний проміжок часу. Закон охолодження приписується Ісааку Ньютону (1642-1727), який, мабуть, першим заявив результати про те, як охолоджуються тіла. \({ }^{1}\)Основна ідея полягає в тому, що тіло притемпературі спочатку\(T(t)\) знаходиться при температурі.\(T(0)=T_{0} .\) Його поміщають в навколишнє середовище при температурі навколишнього середовища\(T_{a}\). Наведено просту модель, що швидкість зміни температури тіла пропорційна різниці між температурою тіла і його оточенням. Таким чином, ми маємо
\(\dfrac{dT}{dt} \propto T -T_a\)
Пропорційність знімається введенням константи охолодження.
\[\dfrac{d T}{d t}=-k\left(T-T_{a}\right) \label{1.33} \]
де\(k>0\).
- 1
-
Закон охолодження Ньютона 1701 - це наближення до того, як тіла охолоджуються при невеликих перепадах температур\(\left(T-T_{a} \ll T\right)\) і не враховує всі процеси охолодження. Один рахунок дається C. T. O'Sullivan, Am. Фіз (1990) с. 956-960.
Це диференціальне рівняння можна вирішити, зазначивши, що рівняння можна записати у вигляді
\(\dfrac{d}{d t}\left(T-T_{a}\right)=-k\left(T-T_{a}\right)\)
Тепер це форма експоненціального розпаду функції\(T(t)-T_{a}\). Рішення легко знайти як
\(T(t)-T_{a}=\left(T_{0}-T_{a}\right) e^{-k t}\)
Або
\(T(t)=T_{a}+\left(T_{0}-T_{a}\right) e^{-k t}\)
Чашка чаю при\(90^{\circ} \mathrm{C}\)\(85^{\circ} \mathrm{C}\) охолодженні до десяти хвилин. Якщо температура в приміщенні є\(22^{\circ} \mathrm{C}\), яка її температура через 30 хвилин?
Використовуючи загальне рішення з\(T_{0}=90^{\circ} \mathrm{C}\),
\(T(t)=22+(90-22) e^{-k}=22+68 e^{-k t}\)
потім знаходимо,\(k\) використовуючи дану інформацію,\(T(10)=85^{\circ} \mathrm{C}\). У нас є
\[ \begin{aligned} 85 &=T(10) \\ &=22+68 e^{-10 k} \\ 63 &=68 e^{-10 k} \\ e^{-10 k} &=\dfrac{63}{68} \approx 0.926 \\ -10 k &=\ln 0.926 \\ k &=-\dfrac{\ln 0.926}{10}=0.00764 \end{aligned}\end{equation}\label{1.34} \]
Це дає рівняння для цієї моделі як
([Т (т) =22+68 е^ {-0,00764 т}\)
Тепер ми можемо відповісти на питання. Що таке\(T(30) ?\)
\(T(30)=22+68 e^{-0.00764(30)}=76^{\circ} \mathrm{C}\)
Швидкість терміналу
ТЕПЕР ПОВЕРНЕМОСЯ ДО ВІЛЬНОГО ПАДІННЯ. Що робити, якщо є опір повітря? Спочатку потрібно змоделювати опір повітря. Коли об'єкт падає все швидше і швидше, сила перетягування стає більшою. Отже, ця резистивна сила є функцією швидкості. Є пара стандартних моделей, які люди використовують для перевірки цього. Ідея полягає в тому, щоб написати\(F=m a\) в формі
\[m \ddot{y}=-m g+f(v) \nonumber \]
де\(f(v)\) дає резистивну силу і\(m g\) є вагою. Нагадаємо, що це стосується вільного падіння поблизу поверхні Землі. Також, щоб він був резистивним,\(f(v)\) повинен протистояти руху. Якщо тіло падає, то\(f(v)\) має бути позитивним. Якщо вона піднімається, то\(f(v)\) доведеться негативно вказувати на опозицію руху.
Одне загальне визначення походить від сили опору на об'єкт, що рухається через рідину. Цю силу дає
\[f(v)=\dfrac{1}{2} C A \rho v^{2} \nonumber \]
де\(C\) - коефіцієнт опору,\(A\) - площа поперечного\(\rho\) перерізу і щільність рідини. Для ламінарного потоку коефіцієнт опору постійний.
Якщо ви не захоплюєтеся аеродинамікою, вам не потрібно вникати в деталі констант. Отже, найкраще поглинати всі константи в одну, щоб спростити обчислення. Отже, напишемо\(f(v)=b v^{2}\). Диференціальне рівняння, включаючи перетягування, може бути перезаписано як
\[\dot{v}=k v^{2}-g \nonumber \]
де\(k=b / m\). Зверніть увагу, що це рівняння першого порядку для\(v(t)\). Це теж відокремлюється! Формально ми можемо розділити змінні та інтегрувати з часом, щоб отримати
\[t+K=\int^{v} \dfrac{d z}{k z^{2}-g} \nonumber \]
Це перше використання розкладання часткових дробів. Цей метод ми розглянемо далі в розділі про перетворення Лапласа.
(Примітка: Ми використовували константу інтеграції\(K\) оскільки\(C\) є коефіцієнтом опору в цій задачі.) Якщо ми можемо зробити інтеграл, то у нас є рішення для v. Насправді, ми можемо зробити цей інтеграл. Потрібно згадати ще один поширений метод інтеграції, який ми поки не розглядали. Ви пам'ятаєте розкладання часткового дробу? Він передбачає факторинг знаменника в інтеграл. У найпростішому випадку в знаменнику є два лінійних множника і переписується інтеграл:
\[\int \dfrac{d x}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{1}{b-a} \int\left[\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x-b}\right] d x \nonumber \]
Новий інтеграл тепер має два терміни, які можуть бути легко інтегровані.
Для того, щоб перерахувати знаменник в поточній задачі, ми спочатку повинні переписати константи. Ми дозволяємо\(\alpha^{2}=g / k\) і пишемо integrand як
\[\dfrac{1}{k z^{2}-g}=\dfrac{1}{k} \dfrac{1}{z^{2}-\alpha^{2}} \nonumber \]
Тепер використовуємо розкладання часткового дробу для отримання
\[\dfrac{1}{k z^{2}-g}=\dfrac{1}{2 \alpha k}\left[\dfrac{1}{z-\alpha}-\dfrac{1}{z+\alpha}\right] \nonumber \]
Тепер integrand може бути легко інтегрований даючи
\[t+K=\dfrac{1}{2 \alpha k} \ln \left|\dfrac{v-\alpha}{v+\alpha}\right| \nonumber \]
Рішення для\(v\), у нас є
\[v(t)=\dfrac{1-B e^{2 \alpha k t}}{1+B e^{2 \alpha k t}} \alpha \nonumber \]
де\(B \equiv e^{K} . B\) можна визначити за допомогою початкової швидкості.
Існують і інші форми рішення з точки зору функції tanh, які читач може визначити як вправу. Одним з важливих висновків є те, що для великих разів співвідношення в розчині наближається\(-1 .\) Таким чином,\(v \rightarrow-\alpha=\)\(-\sqrt{\dfrac{g}{k}}\) як\(t \rightarrow \infty\). Це означає, що падаючий об'єкт досягне постійної кінцевої швидкості.
Як простий розрахунок, ми можемо визначити кінцеву швидкість. Ми візьмемо\(80 \mathrm{~kg}\) парашутиста з площею поперечного перерізу близько\(0.093 \mathrm{~m}^{2}\). (Парашутист падає головою першим.) Припустимо, що щільність повітря постійна,\(1.2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\) а коефіцієнт опору дорівнює\(C=2.0\). Спочатку відзначимо, що
\(v_{\text {terminal }}=-\sqrt{\dfrac{g}{k}}=-\sqrt{\dfrac{2 m g}{C A \rho}}\)
Отже,
\(v_{\text {terminal }}=-\sqrt{\dfrac{2(70)(9.8)}{(2.0)(0.093)(1.2)}}=-78 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)
Йдеться про те\(175 \mathrm{mph}\), що трохи вище фактичної кінцевої швидкості небодайвера з повністю витягнутими руками і ногами. Потрібно було б більш точне визначення\(C\) і\(A\) для більш реалістичної відповіді. Також по ходу змінюється щільність повітря.
Проблеми з сумішами
ЗАДАЧІ СУМІШІ ЧАСТО ЗУСТРІЧАЮТЬСЯ В ПЕРШОМУ КУРСІ Про диференціальні рівняння як приклади диференціальних рівнянь першого У таких задачах ми розглядаємо резервуар з розсолом, воду, що містить певну кількість солі з надходить чистою водою і сумішшю, що виходить, або потік забруднюючої речовини в озеро або з нього. Мета полягає в тому, щоб передбачити кількість солі, або забруднюючої речовини, в якийсь більш пізній час.
Загалом, швидкість потоку певної концентрації суміші, що надходить в регіон, і суміші, що виходить з регіону. Мета полягає в тому, щоб визначити, скільки речей знаходиться в регіоні в даний момент часу. Це регулюється рівнянням
Швидкість зміни речовини\(=\) Rate In\(-\) Rate Out.
Ставки наводяться не часто. Як правило, дається інформація про концентрацію та витрати в системі та поза нею. Якщо звернути увагу на розмірність і замальовувати ситуацію, то можна записати це рівняння швидкості як диференціальне рівняння першого порядку. Розглянемо простий приклад.
50-галонний резервуар чистої води має суміш розсолу з концентрацією 2 фунтів на галон, що надходить зі швидкістю 5 галонів на хвилину. [Див\(\PageIndex{1}\). Малюнок.] При цьому добре перемішане вміст стікає з розрахунку 5 галонів в хвилину. Знайти кількість солі в ємності за часом.\(t .\) У всіх подібних проблемах можна припустити, що розчин добре перемішується в кожну мить часу.
Нехай\(x(t)\) буде кількість солі за часом\(t\). Тоді швидкість, з якою збільшується сіль в баку, обумовлена кількістю солі, що надходить в бак менше, ніж виходить з бака. Щоб з'ясувати ці ставки, одна примітка, яка\(d x / d t\) має одиниці фунтів на хвилину. Кількість солі, що надходить в хвилину, задається продуктом, що входить в концентрацію разів на швидкість, з якою надходить розсіл. Це дає правильні одиниці:
\(\left(2 \dfrac{\text { pounds }}{\text { gal }}\right)\left(5 \dfrac{\text { gal }}{\text { min }}\right)=10 \dfrac{\text { pounds }}{\text { min }} .\)
Аналогічним чином можна визначити ставку, як
\(\left(\dfrac{x \text { pounds }}{50 \text { gal }}\right)\left(5 \dfrac{\text { gal }}{\text { min }}\right)=\dfrac{x}{10} \dfrac{\text { pounds }}{\text { min }} .\)
Таким чином, ми маємо
\(\dfrac{d x}{d t}=10-\dfrac{x}{10}\)
Це рівняння розв'язується методами для лінійних рівнянь першого порядку. Інтеграційним фактором є\(\mu=e^{x / 10}\), що призводить до загального рішення
\(x(t)=100+A e^{-t / 10}\)
Використовуючи початкову умову, можна знайти конкретне рішення
\(x(t)=100\left(1-e^{-t / 10}\right)\)
Часто людина цікавиться довгою поведінкою системи. У цьому випадку ми маємо це\(\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=100 \mathrm{lb}\). Це має сенс, тому що 2 фунтів на галон ввести протягом цього часу, щоб врешті-решт залишити всі 50 галонів з цією концентрацією. Таким чином,
\(50 \mathrm{gal} \times 2 \dfrac{\mathrm{lb}}{50 \mathrm{gal}}=100 \mathrm{lb}\)
Ортогональні траєкторії кривих
Є БАГАТО ПРОБЛЕМ З ГЕОМЕТРІЇ, які призвели до вивчення диференціальних рівнянь. Однією з таких проблем є побудова ортогональних траєкторій. Дайте сімейство кривих\(y_{1}(x ; a)\), ми шукаємо інше сімейство кривих\(y_{2}(x ; c)\) таким чином, щоб друге сімейство кривих перпендикулярно заданому сімейству. Це означає, що дотичні двох пересічних кривих в точці перетину перпендикулярні один одному. Нахили дотичних ліній задаються похідними\(y_{1}^{\prime}(x)\) і\(y_{2}^{\prime}(x)\). Нагадаємо з елементарної геометрії, що ухили двох перпендикулярних ліній пов'язані між собою
\(y_{2}^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{y_{1}^{\prime}(x)}\)
Знайдіть сімейство ортогональних траєкторій до сімейства парабол\(y_{1}(x ; a)=a x^{2}\).
Зауважимо, що нова колекція кривих повинна задовольняти рівнянню.
\[y_{2}^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{y_{1}^{\prime}(x)}=-\dfrac{1}{2 a x} \nonumber \]
Перш ніж вирішувати для\(y_{2}(x)\), нам потрібно усунути параметр\(a\). З дати функції, у нас є що\(a=\dfrac{y}{x^{2}}\). Вставивши це в рівняння для\(y_{2}^{\prime}\), ми маємо
\[y^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{2 a x}=-\dfrac{x}{2 y}\nonumber \]
Таким чином, щоб знайти\(y_{2}(x)\), ми повинні вирішити диференціальне рівняння
\[2 y y^{\prime}+x=0\nonumber \]
Відзначивши, що\(\left(y^{2}\right)^{\prime}=2 y y^{\prime}\) і\(\left(\dfrac{1}{2} x^{2}\right)^{\prime}=x_{\prime \prime}\) це (точне) рівняння можна записати як
\[\dfrac{d}{d x}\left(y^{2}+\dfrac{1}{2} x^{2}\right)=0\nonumber \]
Інтегруючи, ми знаходимо сімейство рішень,
\[y^{2}+\dfrac{1}{2} x^{2}=k \nonumber \]
На малюнку\(\PageIndex{2}\) ми будуємо обидві сім'ї ортогональних кривих.
Криві переслідування*
ІНША ПРОГРАМА, ЯКА ЦІКАВА, - ЗНАЙТИ шлях, який тіло простежує, коли воно рухається до фіксованої точки або іншого рухомого тіла. Такі прокляття відомі як криві переслідування. Вони могли моделювати літальні апарати або підводні човни, що слідують за цілями, або хижаків, що слідують Продемонструємо це на прикладі.
Яструб в точці\((x, y)\) бачить горобця, який рухається зі швидкістю\(v\) по прямій лінії. Яструб летить до горобця з постійною швидкістю,\(w\) але завжди в напрямку вздовж прямої видимості між їх позиціями. Якщо яструб починається в\((a, 0)\) точці\(t=0\), коли горобець знаходиться\((0,0)\), то який шлях повинен пройти яструб? Чи зловить яструб горобця? Ситуація показана на малюнку 1.6. Підбираємо шлях горобця, який повинен бути вздовж\(y\) -осі. Тому горобець знаходиться в положенні\((0, v t)\).
Для початку нам знадобиться рівняння прямої видимості між точками\((x, y)\) і\((0, v t)\). З огляду на, що нахил лінії такий же, як нахил дотичної до доріжки\(y=y(x)\), ми маємо
\(y^{\prime}=\dfrac{y-v t}{x}\)
Яструб рухається з постійною швидкістю, w Оскільки швидкість пов'язана з часом через відстань, яку їде яструб. Нам потрібно знайти довжину дуги шляху між\((a, 0)\) і\((x, y)\). Це дається
\(L=\int d s=\int_{x}^{a} \sqrt{1+\left[y^{\prime}(x)\right]^{2}} d x .\)
Відстань пов'язана зі швидкістю\(w\), і часом\(t\), по\(L=w t\). Усуваючи час використання\(y^{\prime}=\dfrac{y-v t}{x}\), ми маємо
\(\int_{x}^{a} \sqrt{1+\left[y^{\prime}(x)\right]^{2}} d x=\dfrac{w}{v}\left(y-x y^{\prime}\right)\)
Крім того, ми можемо диференціювати цей результат\(x\) щодо позбавлення від інтегралу,
\(\sqrt{1+\left[y^{\prime}(x)\right]^{2}}=\dfrac{w}{v} x y^{\prime \prime}\)
Незважаючи на те, що це диференціальне рівняння другого порядку для\(y(x)\), це роздільне рівняння першого порядку у функції швидкості\(z(x)=y^{\prime}(x)\). А саме,
\(\dfrac{w}{v} x z^{\prime}=\sqrt{1+z^{2}}\)
Відокремлюючи змінні, знаходимо
\(\dfrac{w}{v} \int \dfrac{d z}{\sqrt{1+z^{2}}}=\int \dfrac{d x}{x}\)
Інтеграли можна обчислити стандартними методами з числення. Ми можемо легко інтегрувати праву сторону,
\(\int \dfrac{d x}{x}=\ln |x|+c_{1} .\)
Ліва сторона займає трохи додаткової роботи, або дивлячись значення вгору в таблицях або за допомогою пакета CAS. Нагадаємо, тригонометрична заміна по порядку. [Див. Додаток.] Ми дозволяємо\(z=\tan \theta .\) Тоді\(d z=\sec ^{2} \theta d \theta\). Методи протікають наступним чином:
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{d z}{\sqrt{1+z^{2}}}&=\int \dfrac{\sec ^{2} \theta}{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}} d \theta \\\ &=\int \sec \theta d \theta \\ &=\ln (\tan \theta+\sec \theta)+c_{2} \\ &=\ln \left(z+\sqrt{1+z^{2}}\right)+c_{2} \end{aligned}\label{1.44} \]
Збираючи їх разом, ми маємо для\(x>0\),
\(\ln \left(z+\sqrt{1+z^{2}}\right)=\dfrac{v}{w} \ln x+C\)
Використовуючи початкову умову\(z=y^{\prime}=0\) і\(x=a\) при\(t=0\),
\(0=\dfrac{v}{w} \ln a+C\)
або\(C=-\dfrac{v}{w} \ln a\).
Використовуючи це значення для\(c\), знаходимо
\[ \begin{aligned} \ln \left(z+\sqrt{1+z^{2}}\right) &=\dfrac{v}{w} \ln x-\dfrac{v}{w} \ln a \\ \ln \left(z+\sqrt{1+z^{2}}\right) &=\dfrac{v}{w} \ln \dfrac{x}{a} \\ \ln \left(z+\sqrt{1+z^{2}}\right) &=\ln \left(\dfrac{x}{a}\right)^{\dfrac{v}{w}} \\ z+\sqrt{1+z^{2}} &=\left(\dfrac{x}{a}\right)^{\dfrac{v}{w}} \end{aligned} \nonumber \]
Ми можемо вирішити для того\(z=y^{\prime}\), щоб знайти
\(y^{\prime}=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{x}{a}\right)^{\dfrac{v}{w}}-\left(\dfrac{x}{a}\right)^{-\dfrac{v}{w}}\right]\)
Інтеграція,
\(y(x)=\dfrac{a}{2}\left[\dfrac{\left(\dfrac{x}{a}\right)^{1+\dfrac{v}{w}}}{1+\dfrac{v}{w}}-\dfrac{\left(\dfrac{x}{a}\right)^{1-\dfrac{v}{w}}}{1-\dfrac{v}{w}}\right]+k\)
Константу\(k\) інтеграції можна знайти знаючи\(y(a)=0 .\) Це дає
\[ \begin{aligned} 0 &=\dfrac{a}{2}\left[\dfrac{1}{1+\dfrac{v}{w}}-\dfrac{1}{1-\dfrac{v}{w}}\right]+k \\ k &=\dfrac{a}{2}\left[\dfrac{1}{1-\dfrac{v}{w}}-\dfrac{1}{1+\dfrac{v}{w}}\right] \\ &=\dfrac{a v w}{w^{2}-v^{2}} \end{aligned}\label{1.46} \]
Повноцінне рішення для шляху дається
\(y(x)=\dfrac{a}{2}\left[\dfrac{\left(\dfrac{x}{a}\right)^{1+\dfrac{v}{w}}}{1+\dfrac{v}{w}}-\dfrac{\left(\dfrac{x}{a}\right)^{1-\dfrac{v}{w}}}{1-\dfrac{v}{w}}\right]+\dfrac{a v w}{w^{2}-v^{2}}\)
Чи може яструб зловити горобця? Це сталося б, якщо настане час, коли\(y(0)=v t\). \(x=0\)Вставляючи в розчин, ми маємо\(y(0)=\dfrac{a v w}{w^{2}-v^{2}}=v t .\) Це можливо, якщо\(w>v .\)