1.1: Вільне падіння

У цьому розділі ми вивчимо деякі загальні диференціальні рівняння, які з'являються у фізиці. Почнемо з найпростіших типів рівнянь і стандартних прийомів їх вирішення. Завершимо цю частину обговорення поверненням до проблеми вільного падіння з опором повітря. Потім перейдемо до вивчення коливань, які моделюються диференціальними рівняннями другого порядку.

Приклад вільного падіння.

Почнемо з простого прикладу зі вступної фізики. Нагадаємо, що вільне падіння - це вертикальний рух об'єкта виключно під силою тяжіння. Експериментально встановлено, що об'єкт поблизу поверхні Землі падає з постійним прискоренням при відсутності інших сил, таких як опір повітря. Це постійне прискорення позначається тим\(-g\), де\(g\) називається прискорення за рахунок сили тяжіння. Негативний знак - це вказівка на те, що ми вибрали систему координат, в якій вгору позитивна.

Ми зацікавлені у визначенні положення\(y(t)\), падіння тіла як функції часу. З визначення вільного падіння ми маємо

\[\ddot{y}(t)=-g \label{1.1}. \]

Зверніть увагу, що ми іноді будемо використовувати крапку для позначення часової диференціації.

Диференціація по відношенню до часу часто позначається точками замість простих чисел.

Це позначення є стандартним у фізиці, і ми почнемо знайомити вас з цим позначенням, хоча іноді ми можемо використовувати більш звичні прості позначення для позначення просторової диференціації або загальної диференціації.

У рівнянні\(\PageIndex{1}\) ми знаємо\(g\). Це постійна. Біля поверхні Землі мова йде про\(9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) або\(32.2 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\). Те, що ми не знаємо, це\(y(t)\). Це наше перше диференціальне рівняння. Насправді природно бачити, що диференціальні рівняння з'являються у фізиці часто через Другий закон Ньютона\(F=m a\), оскільки він відіграє важливу роль у класичній фізиці. До цього моменту ми повернемося пізніше.

Отже, як вирішити диференціальне рівняння в\(\PageIndex{1}\)? Ми робимо це, використовуючи те, що ми знаємо про обчислення. Це може бути легше побачити, коли ми ставимо в певне число замість\(g\). Можливо, ви все ще звикаєте до того, що деякі літери використовуються для представлення констант. Ми повернемося до більш загальної форми після того, як побачимо, як вирішити диференціальне рівняння.

Розглянемо

\[\ddot{y}(t)=5. \nonumber \]

Згадуючи, що друга похідна є лише похідною похідної, ми можемо переписати це рівняння як

\[\dfrac{d}{d t}\left(\dfrac{d y}{d t}\right)=5 \nonumber \]

Це говорить нам про те, що похідна\(d y / d t\) дорівнює 5. Чи можете ви придумати функцію, похідна якої дорівнює 5? (Не забувайте, що незалежна змінна є\(t\).) Так, похідна по\(5 t\) відношенню до\(t\) дорівнює 5. Це єдина функція, похідна якої дорівнює 5? Ні! Також можна диференціювати і\(5 t+1,5 t+\pi, 5 t-6\) т.д. в загальному випадку похідна\(5 t+C\) дорівнює 5, де\(C\) довільна константа інтеграції.

Отже, Рівняння\(\PageIndex{2}\) можна звести до

\[\dfrac{d y}{d t}=5 t+C \nonumber \]

Тепер ми запитаємо, чи знаєте ви функцію, похідна якої є\(5 t+C\). Ну, можливо, ви зможете зробити це у вашій голові, але нам просто потрібно згадати фундаментальну теорему числення, яка пов'язує інтеграли та похідні. Таким чином, ми маємо

\[y(t)=\dfrac{5}{2} t^{2}+C t+D \nonumber \]

де\(D\) друга константа інтеграції.

Рівняння\(\PageIndex{5}\) дає розв'язку вихідного диференціального рівняння. Це означає, що коли рішення поміщається в диференціальне рівняння, обидві сторони диференціального рівняння дають однаковий вираз. Ви завжди можете перевірити свою відповідь на диференціальне рівняння, показавши, що ваше рішення задовольняє рівнянню. У цьому випадку ми маємо

\(\ddot{y}(t)=\dfrac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\dfrac{5}{2} t^{2}+C t+D\right)=\dfrac{d}{d t}(5 t+C)=5\)

Тому Рівняння\(\PageIndex{5}\) дає загальне рішення диференціального рівняння.

Ми також бачимо, що є дві довільні константи,\(C\) і\(D .\) Вибір будь-яких значень для них дає ціле сімейство рішень. Як ми побачимо, рівняння\(\ddot{y}(t)=5\) являє собою лінійне звичайне диференціальне рівняння другого порядку. Загальне рішення такого рівняння завжди має дві довільні константи.

Повернемося до проблеми вільного падіння. Вирішуємо її так само. Єдина відмінність полягає в тому, що ми можемо замінити постійну 5 постійною\(-g .\) Отже, ми знаходимо, що

\[\dfrac{d y}{d t}=-g t+C \nonumber \]

і

\[y(t)=-\dfrac{1}{2} g t^{2}+C t+D \nonumber \]

Після того, як ви отримаєте процес, це займе лише рядок або два, щоб вирішити.

Здається, проблема. Уявіть собі, що скидає м'яч, який потім зазнає вільного падіння. Ми просто визначили, що існує нескінченна кількість рішень для положення м'яча в будь-який момент! Ну, це неможливо. Досвід говорить нам, що якщо ви кидаєте м'яч, ви очікуєте, що він буде вести себе однаково кожен раз. Або це так? Власне, ви могли скинути м'яч з будь-якого місця. Ви також можете кинути його вгору або кинути вниз. Таким чином, є багато способів ви можете звільнити м'яч, перш ніж він у вільному падінні виробляє багато різних шляхів,\(y(t)\). Саме туди входять константи. Вони мають фізичні значення.

Якщо ви встановите\(t=0\) в рівнянні, то у вас є що\(y(0)=D .\) Таким чином,\(D\) дає початкове положення м'яча. Зазвичай ми позначаємо початкові значення індексом. Отже, напишемо\(y(0)=y_{0}\). Таким чином,\(D=y_{0}\).

Це залишає нас визначати\(C\). Він з'являється спочатку в Рівняння\(\PageIndex{6}\). Нагадаємо\(\dfrac{d y}{d t}\), що, похідна від положення, - це вертикальна швидкість,\(v(t)\). Це позитивно, коли м'яч рухається вгору. Ми позначимо початкову швидкість\(v(0)=v_{0} .\) Вставка\(t=0\) в Рівняння\(\PageIndex{6}\), ми знаходимо, що\(\dot{y}(0)=C\). Це означає, що\(C=v(0)=v_{0}\).

Збираючи це все разом, ми маємо фізичну форму рішення для вільного падіння як

\[y(t)=-\dfrac{1}{2} g t^{2}+v_{0} t+y_{0} \nonumber \]

Хіба це рівняння не виглядає знайомим? Тепер ми бачимо, що нескінченне сімейство рішень складається з вільного падіння в результаті спочатку падіння кулі в позиції\(y_{0}\) з початковою швидкістю\(v_{0}\). Умови\(y(0)=y_{0}\) і\(\dot{y}(0)=v_{0}\) називаються початковими умовами. Рішення диференціального рівняння, що задовольняє множині початкових умов, часто називають певним розв'язком. Вказівка початкових умов призводить до унікального рішення.

Отже, ми вирішили рівняння вільного падіння. По дорозі ми почали бачити деякі особливості, які з'являться у розв'язках інших задач, які моделюються за допомогою диференціального рівняння. Протягом усієї книги ми побачимо кілька застосувань диференціальних рівнянь. Ми розширимо наш аналіз на більш високі виміри, в яких ми зіткнемося з так званими рівняннями з частинними похідними, які включають частинні похідні функцій більш ніж однієї змінної.

Але чи закінчимо ми з вільним падінням? Зовсім немає! Ми можемо розслабити деякі умови, які ми нав'язали. Ми можемо додати опір повітря. Ми відвідаємо цю проблему пізніше в цьому розділі після введення ще деяких методів. Ми також можемо забезпечити горизонтальну складову руху, що веде до руху снаряда.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Вільне падіння далеко від Землі з висоти\(h(t)\) від поверхні.

Наостанок слід також відзначити, що вільне падіння при постійному відбувається\(g\) тільки біля поверхні Землі. Що робити, якщо плитка впаде з човника далеко від поверхні Землі? Він також впаде в бік Землі. Власне, плитка також має швидкісну складову в напрямку руху човника. Отже, це не обов'язково буде проходити радіальний шлях вниз. Наразі давайте ігноруємо цей компонент. Щоб розглянути цю проблему більш детально, потрібно перейти до витоків прискорення за рахунок гравітації. Це виходить із закону гравітації Ньютона. Розглянемо масу\(m\) на деякій відстані\(h(t)\) від поверхні (сферичної) Землі. Допускаючи\(M\) і\(R\) бути масою і радіусом Землі, відповідно, Закон гравітації Ньютона стверджує, що

\[ \begin{aligned} m a &=F \\ m \dfrac{d^{2} h(t)}{d t^{2}} &=-G \dfrac{m M}{(R+h(t))^{2}} \end{aligned} \nonumber \]

Тут\(G=6.6730 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~s}^{-2}\) знаходиться Універсальна гравітаційна постійна\(R=6371 \mathrm{~km}\) ,\(M=5.9736 \times 10^{24} \mathrm{~kg}\) і маса Землі і середній радіус відповідно. Для\(h<<R, G M / R^{2} \approx g\).

Таким чином, ми приходимо до диференціального рівняння

\[\dfrac{d^{2} h(t)}{d t^{2}}=-\dfrac{G M}{(R+h(t))^{2}} . \nonumber \]

Це рівняння не так просто вирішити. Ми залишимо це як домашню вправу для читача.