Пролог

Вступ

ЦЯ КНИГА НАПИСАНА ДЛЯ СТУДЕНТСЬКОГО КУРСУ Про введення в диференціальні рівняння, як правило, прийняті спеціальностями в галузі математики, фізичних наук та техніки. У цьому курсі ми досліджуємо аналітичні, графічні та наближені розв'язки диференціальних рівнянь. Вивчимо теорію, методи розв'язку та застосування звичайних диференціальних рівнянь. Сюди увійдуть загальні методи пошуку розв'язків, такі як використання методів перетворення Лапласа та силових рядів.

Студенти також повинні бути готові переглянути своє обчислення, особливо якщо вони були далеко від обчислення на деякий час. Деякі з ключових тем розглядаються в додатку. Зокрема, студенти повинні знати, як диференціювати та інтегрувати всі елементарні функції, включаючи гіперболічні функції. Вони повинні переглядати методи інтеграції у міру необхідності, включаючи методи заміщення та інтеграції частинами. Здебільшого нам просто знадобиться матеріал з Обчислення I та II. Інші теми з обчислення II, які ми розглянемо, - це нескінченні ряди та вступні диференціальні рівняння та програми.

Більшість студентів просто вийдуть з послідовності числення, знаючи все про диференціацію та інтеграцію. Ми сподіваємося, що вони також бачили багато додатків. У цьому курсі ми розширимо ці програми на ті, що пов'язані з диференціальними рівняннями. Диференціальні рівняння - рівняння, що включають невідому функцію та її похід Якщо функція є функцією однієї змінної, то рівняння відомі як звичайні диференціальні рівняння, предмет цієї книги. Якщо невідома функція є функцією декількох незалежних змінних, то рівняння є рівнянням з частинними похідними, з яким ми в даному курсі займатися не будемо. Нарешті, може бути кілька невідомих функцій, що задовольняють декілька зв'язаних диференціальних рівнянь. Ці системи диференціальних рівнянь будуть розглядатися пізніше в курсі і часто є предметом другого курсу диференціальних рівнянь.

У всіх випадках нас цікавлять конкретні рішення, що задовольняють набір початкових умов або значень функції та деяких її похідних у заданій точці її області. Вони відомі як проблеми початкового значення. Коли такі умови задаються в декількох точках, то один має справу з крайовими задачами. Крайові задачі будуть предметом другого курсу у диференціальних рівняннях та рівняннях з частинними похідними.

Вивчення диференціальних рівнянь ми почнемо з звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Ці рівняння включають лише похідні першого порядку. Типові приклади трапляються в моделюванні населення та у проблемах вільного падіння. Є кілька стандартних форм, які можна вирішити досить легко. У другому розділі ми переходимо до рівнянь другого порядку. Зі збільшенням порядку стає все важче розв'язати диференціальні рівняння аналітично. Отже, нам або потрібно розібратися з простими рівняннями, або звернутися до інших методів пошуку наближених розв'язків.

Для диференціальних рівнянь другого порядку існує теорія лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, а найпростішими рівняннями є постійний коефіцієнт лінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Ми витратимо деякий час, дивлячись на ці рішення. Незважаючи на те, що рівняння постійних коефіцієнтів відносно прості, існує безліч застосувань, і простий гармонічний генератор є одним з них. Рішення мають фізичний сенс, а додавання термінів демпфування та форсування призводить до цікавих розв'язків та додаткових методів розв'язання цих рівнянь.

Не всі диференціальні рівняння можуть бути розв'язані через елементарні функції. Отже, звернемося до числового рішення диференціальних рівнянь з використанням розв'язних моделей в якості тестових стендів для числових схем. Це також дозволяє впроваджувати більш реалістичні моделі. Використовуючи системи комп'ютерної алгебри (CAS) або інші середовища програмування, ми можемо вивчити ці приклади.

Ще пару сотень років тому комп'ютерів не було. Так, математики дня шукали ряди розв'язків диференціальних рівнянь. Ці рішення серії призвели до відкриття відомих нині функцій, таких як поліноми Лежандра і функції Бесселя. Ці функції досить поширені в додатках, і використання рішень силових рядів є добре відомим підходом до пошуку приблизних рішень вручну.

Ще однією поширеною методикою розв'язання диференціальних рівнянь, як звичайних, так і часткових, є методи перетворення. Одним з найпростіших з них є перетворення Лапласа. Це інтегральне перетворення використовується для перетворення звичайного диференціального рівняння в алгебраїчне рівняння. Розв'язок алгебраїчного рівняння потім використовується для розкриття розв'язку диференціального рівняння. Ці методи часто корисні в теорії систем або електротехніки.

В останні десятиліття включення технологій в класі дозволило ввести системи диференціальних рівнянь в типовий курс з диференціальних рівнянь. Розв'язки лінійних систем рівнянь є важливим інструментом у вивченні нелінійних диференціальних рівнянь і нелінійних диференціальних рівнянь були предметом багатьох наукових робіт протягом останніх кількох десятиліть. Ми розглянемо системи диференціальних рівнянь в кінці книги і обговоримо стійкість розв'язків в динамічних системах.

Технології та таблиці

У міру проходження курсу вам часто доведеться обчислювати інтеграли та похідні вручну. Однак багато читачів знають, що деякі нудьги можна полегшити, використовуючи комп'ютери або навіть шукаючи те, що вам потрібно в таблицях. У деяких випадках ви навіть можете знайти аплети в Інтернеті, які можуть швидко дати вам відповіді, які ви шукаєте.

Вам також потрібно бути зручним у виконанні багатьох обчислень вручну. Це необхідно, особливо на ранніх заняттях, з кількох причин. Наприклад, ви повинні спробувати оцінити інтеграли вручну, коли їх попросять зробити. Це підсилює прийоми, як було викладено раніше. Він здійснює ваш мозок приблизно так само, як ви можете щодня бігати, щоб здійснювати своє тіло. Чим комфортніше ви з дериваціями та оцінками, тим легше слідувати майбутнім лекціям, не загрузши деталями, цікаво, як ваш професор перейшов від кроку А до кроку D. Ви завжди можете використовувати комп'ютерну алгебру систему або Таблицю інтегралів, щоб перевірити свою РОБОТУ.

Проблеми можуть виникнути, коли залежать чисто від виходу комп'ютерів, або інших «чорних ящиків». Після того, як у вас є тверде розуміння прийомів і почуття щодо того, як повинні виглядати відповіді, ви можете почувати себе комфортно з тим, що дає вам комп'ютер. Іноді системи комп'ютерної алгебри (CAS), такі як Maple, можуть дати вам дивні відповіді, а іноді навіть неправильні відповіді. Крім того, ці програми не можуть зробити кожен інтеграл або вирішити кожне диференціальне рівняння, яке ви просите їх зробити. Навіть деякі найпростіші виглядають вирази можуть спричинити проблеми з системами комп'ютерної алгебри. В інших випадках ви навіть можете надати неправильний вхід, що призводить до помилкових результатів.

Іншим джерелом невизначеного інтегралу, похідних, послідовних розширень тощо є Таблиця математичних формул. Є кілька хороших книг, які були надруковані. Навіть деякі з них мають помилки в них, тому потрібно бути обережним. Однак, можливо, варто вкладення, щоб мати таку книгу у вашій особистій бібліотеці. Перейдіть до бібліотеки або книжкового магазину і подивіться на деякі з цих таблиць, щоб побачити, наскільки вони можуть бути корисними.

Є багато інтернет-ресурсів, а також. Наприклад, існує інтегратор Wolfram за адресою http://integrals.wolfram.com/, а також недавній http://www.wolframalpha.com/. Існує також велика кількість інформації на наступних сайтах: http://www.sosmath.com/, http://www.math2.org/,,[1] та http:/functions.wolfram.com /. http://mathworld.wolfram.com/

Хоча ці ресурси корисні для проблем, які мають аналітичні рішення, в якийсь момент вам потрібно буде усвідомити, що більшість проблем у текстах, особливо тих, що були кілька десятиліть тому, в основному спрямовані на рішення, які мають або хороші аналітичні рішення, або мають рішення, які можна наблизити за допомогою олівець і папір.

Все більше і більше ви побачите проблеми, які потрібно вирішувати чисельно. Хоча більшість цієї книги\((97 \%)\) підкреслює традиційні методи, що використовуються для визначення точної або наближеної поведінки систем на основі твердих математичних методів, є випадки, що базове розуміння обчислювальних методів є корисним. Тому ми будемо час від часу обговорювати деякі числові методи, пов'язані з предметом в тексті. Зокрема, ми обговоримо деякі методи обчислювальної фізики, такі як числове рішення диференціальних рівнянь та підгонка даних до кривих. Будуть розглянуті додатки, які можна вирішити тільки за допомогою цих методів.

Існує багато мов програмування та програмних пакетів, які можуть бути використані для визначення числових рішень алгебраїчних рівнянь або диференціальних рівнянь. Наприклад, доступні CAS (Системи комп'ютерної алгебри), такі як Maple та Mathematica. Пакети з відкритим кодом, такі як Maxima, який існує деякий час, Mathomatic та SAGE Project, існують як альтернативи. Можна використовувати вбудовані процедури і зробити деякі програмування. Основні особливості полягають в тому, що вони можуть виробляти символічні рішення. Як правило, вони повільні в генеруванні числових рішень.

Для серйозного програмування можна використовувати стандартні мови програмування типу FORTRAN,\(C\) і його похідні. Останнім часом Python став альтернативним і дуже прийнятим ресурсом як мова програмування з відкритим вихідним кодом і корисний для виконання наукових обчислень з використанням правильних пакетів.

Також є MATLAB. MATLAB був розроблений в лабораторії матриць і довгий час був стандартом поза «нормальними» мовами програмування для обробки несимвольних рішень в обчислювальній науці.\(1980^{\prime}\) З'явилися подібні клони з відкритим кодом, такі як Octave. Octave може запускати більшість файлів MATLAB і деякі з його власних. Інші клони MATLAB - SciLab, Rlab, FreeMat та PyLab.

У цьому тексті є деякі фрагменти, надані процедур Maple і MATLAB. Більшість тексту не покладаються на них; однак фрагменти MATLAB повинні бути відносно читаними для тих, хто має певні знання комп'ютерних пакетів, або легко передаватися клонам з відкритим кодом, таким як Octave. Процедури Maple не такі прості, але можуть бути перекладені на інші пакети з невеликими зусиллями. Однак теорія, що лежить в основі використання будь-якої з цих процедур, описана в тексті, і текст може бути прочитаний без явного розуміння конкретного комп'ютерного програмного забезпечення.

Подяка

БІЛЬШІСТЬ, ЯКЩО НЕ ВСІ, ІДЕЇ ТА ПРИКЛАДИ НЕ МОЇ ВЛАСНІ. Ці замітки є збірником тем і прикладів, які я використовував при викладанні не тільки диференціальних рівнянь, але і при викладанні численних курсів з фізики та прикладної математики. Деякі поняття навіть поширюються на те, коли я вперше вивчив їх на курсах, які я взяв.

Я також хотів би висловити подяку багатьом студентам, які знайшли друкарські помилки, або запропонували розділи, які потребують більшої чіткості в основному наборі нотаток, на яких була заснована ця книга. Це стосується набору нотаток, використовуваних у моєму курсі математичної фізики, курсі прикладної математики, «Вступ до Фур'є та комплексного аналізу із застосуванням до спектрального аналізу сигналів» та курсу звичайних диференціальних рівнянь,\(A\) другого курсу звичайного диференціального Рівняння: динамічні системи та крайові задачі, всі з яких мають деяке значне перекриття з цією книгою.