5.1: Визначення та властивості

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61707

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Визначення. Нехай$f\in C_0^s(\mathbb{R}^n)$,$s=0,1,\ldots$. Функція,$\hat{f}$ визначена
\ begin {рівняння}
\ мітка {four1}
\ widehat {f} (\ xi) =( 2\ pi) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {-i\ xi\ cdot x} f (x)\ dx,
\ end {рівняння}
де$\xi\in\mathbb{R}^n$, називається {\ це перетворення Фур'є}$f$, і функція,$\widetilde{g}$
задана
\ begin {рівняння}
\ мітка {invfour1}
\ widetilde {g} (x) =( 2\ pi) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {i\ xi\ cdot x} g (\ xi)\ d\ xi
\ кінець {рівняння}
називається зворотним перетворенням Фур'є, за умови, що інтеграли на правій стороні
існують.

З (\ ref {four1}) випливає інтеграція частинами, що диференціація функції змінюється на множення її перетворень Фур'є, або аналітична операція перетворюється на алгебраїчну операцію. Точніше, у нас є

Пропозиція 5.1.

$
\ widehat {D^\ альфа f} (\ xi) =i^ {|\ альфа|}\ xi^\ альфа\ widhat {f} (\ xi),
$
де$|\alpha|\le s$.

Наступна пропозиція показує, що перетворення Фур'є швидко$f$ зменшується за$|\xi|\to\infty$ умови$f\in C_0^s(\mathbb{R}^n)$. Зокрема, права сторона (\ ref {invfour1}) існує для$g:=\hat{f}$ if$f\in C_0^{n+1}(\mathbb{R}^n)$.

Пропозиція 5.2. Припустимо$g\in C_0^s(\mathbb{R}^n)$, тоді існує$M=M(n,s,g)$ така константа, що
$$
|\ widehat {g} (\ xi) |\ le\ frac {M} {(1+|\ xi|) ^s}.
\]

Доказ. $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$Дозволяти фіксуватися і нехай$j$ буде індекс такий, що
$|\xi_j|=\max_k |\xi_k|$. Потім
$
|\ xi|=\ ліворуч (\ sum_ {k=1} ^n\ xi_k^2\ праворуч) ^ {1/2}\ le\ sqrt {n} |\ xi_j|
$,
що означає
\ почати {екнаррай*}
(1+|\ xi|) ^s&=&\ sum_ {k=0} ^s {s\ вибрати k} |\ xi|^k\\
&\ le&2^s\ сума_ {k=0} ^sn^ {к/2} |\ xi_j|^k \\
&\ le&2^sn^ {s/2}\ sum_ {|\ альфа|\ ле с} |\ xi^\ альфа|.
\ end {екнаррай*}
Ця нерівність та пропозиція 5.1 передбачають
\ початок {екнаррай*}
(1+|\ xi|) ^s|\ widehat {g} (\ xi) |&\ le&2^sn^ {s/2}\ sum_ {|\ alpha|\ le s} | (i\ xi) ^\ альфа\ widehat {g} (\ xi) |\\\ le&2^sn^ {s/2}\ сума_ {|\ альфа|\ ле с}\ int_ {\
mathbb {R} ^n}\ |D^\ альфа г (x) |\ dx=:m.
\ end {еканаррай*}

$\Box$

Позначення, обернене перетворення Фур'є для (\ ref {invfour1}) виправдано

Теорема 5.1. $\widetilde{\widehat{f}}=f$і$\widehat{\widetilde{f}}=f$.

Доказ. Див.\ cite {Yosida}, наприклад. Ми доведемо перше твердження
\ begin {рівняння}
\ мітка {four2}
(2\ pi) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {i\ xi\ cdot x}\ widehat {f} (\ xi)\ d\ xi = f (x)
\ end {рівняння}
тут. Доказ іншого відношення залишають як вправу. Всі інтеграли, що з'являються в наступному, існують, див. Пропозиція 5.2 і спеціальний вибір$g$.

(i) Формула
\ почати {рівняння}
\ мітка {four3}
\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ g (\ xi)\ widehat {f} (\ xi) e^ {ix\ cdot\ xi}\ d\ xi =\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ widhat {g} (y) f (x+y)\ dy
\ кінець {рівняння}
слідує прямим обчисленням:
\ begin {eqnarray*}
&\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ g (\ xi)\ ліворуч ((2\ пі) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {-ix\ cdot y} f (y)\ dy\ праворуч) e^ {i x\ dot\ xi}\ d\ xi\
&&quad = (2\ пі) ^ {-н/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ ліворуч (\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ g (\ xi) e^ {-i\ xi\ точка (y-x)}\ d\ xi\ праворуч) f (y)\ dy\\
&&\ qquad =\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ widehat {g} (y-x) f (y)\ dy\\
&&\ qquad=\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ widehat {g} (y) f (x+y)\ dy.
\ end {еканаррей*}

(ii) Формула
\ почати {рівняння}
\ мітка {four4}
(2\ pi) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {-i y\ cdot\ xi} г (\ варепсилон\ xi)\ d\ xi =\ варепсилон ^ {-n}\ widehat {g} (y/\ varepsilon)
\ кінець {рівняння}
для кожного$\varepsilon>0$ наступного після підстановки$z=\varepsilon\xi$ в ліва сторона (\ ref {four1}).

(iii) Рівняння
\ початок {рівняння}
\ мітка {four5}
\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ g (\ varepsilon\ xi)\ widhat {f} (\ xi) e^ {i x\ cdot\ xi}\ d\ xi =\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ widhat {g} (y) f (x+)\ varepsilon y)\ dy
\ end {рівняння}
випливає з (\ ref {four3}) і (\ ref {four4} ). Встановити$G(\xi):=g(\varepsilon\xi)$, потім (\ ref {four3}) має на увазі
$
\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ G (\ xi)\ widhat {f} (\ xi) e^ {i x\ cdot\ xi}\ d\ xi =\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ widhat {G} (y) f (x+y)\ dy.
$
Так як, див. (\ ref {four4}),
\ почати {екнаррай*}
\ widehat {G} (y) &= & (2\ pi) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {-iy\ cdot\ xi} г (\ varepsilon\ xi)\ d\ xi\\
&= &\ varepsilon ^ {-n}\ widehat {g} (y/\ varepsilon),
\ end {еканаррай*}
ми приходимо до
\ почати {екнаррай*}
\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ g (\ varepsilon\ xi)\ widehat {f} (\ xi) &= &\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ varepsilon^ {-n}\ widehat {g} (y/\ varepsilon) f (x+y) dy\\
&=&\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ widhat {g} (z) f (x+\ varepsilon z)\ dz.
\ end {екнаррай*}
Дозволивши$\varepsilon\to 0$, ми отримуємо
\ почати {рівняння}
\ мітка {чотири6}
г (0)\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ widhat {f} (\ xi) e^ {i x\ cdot\ xi}\ d\ xi = f (x)\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ widehat {g} у)\ день.
\ end {рівняння}
Встановити
$$
g (x) :=e^ {-|x|^2/2},
$$
потім
\ почати {рівняння}
\ мітка {four7}
\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ widehat {g} (y)\ dy =( 2\ pi) ^ {n/2}.
\ end {рівняння}
Оскільки$g(0)=1$ перше твердження теореми 5.1 випливає з (\ ref {four6}) і (\ ref {four7}). Залишилося показати (\ ref {four7}).

(iv) Доказ (\ ref {four7}). Ми покажемо
\ почати {екнаррай*}
\ widehat {g} (y) :&=& (2\ пі) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {-|x|^2/2} e^ {-ix\ cdot x}\ dx\
&=&e^ {-|y|^2/2}.
\ end {екнаррай*}
Доказ
$$
\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {-|y|^2/2}\ dy =( 2\ pi) ^ {n/2}
$$
залишається як вправа. Так як
$
-\ ліворуч (\ frac {x} {\ sqrt {2}} +i\ frac {y} {\ sqrt {2}}\ праворуч)\ cdot\ ліворуч (\ frac {x} {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}}\ праворуч) =-\ ліво (\ frac {|x|^2} {2} +i x\ cdot y-\ frac {|y|^2} {2}\ праворуч)
$$
слід
\ begin {eqnarray*}
\ int_ {\ математика {R} ^n}\ e^ {-|x|^2/2} e^ {-ix\ cdot y}\ dx&= &\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {-\ eta^2} e^ {-|y|^2/2}\ dx\\
&=&e^ {-|y|^2/2}\ mathbb {R} ^n}\ e^ {-\ eta^2}\ dx\\
&=&2^ {н/2} e^ {-|y|^2/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {-\ eta^2}\ d\ eta
\ end {еканаррей*}
де
$
\ ета: =\ frac {x} {\ sqrt {2}} +i\ frac {y} {\ sqrt {2}}.
$$
Розглянемо спочатку одновимірний випадок. Відповідно до теореми Коші ми маємо
$$
\ oint_c\ e^ {-\ eta^2}\ d\ eta=0,
$$,
де інтеграція відбувається вздовж кривої,$C$ яка є об'єднанням чотирьох кривих, як зазначено на малюнку\ ref {fourfig}.

$Доказ (\ ref {four7})}$

Малюнок 5.1.1: Доказ (\ ref {four7})

Отже
$$
\ int_ {C_3}\ e^ {-\ eta^2}\ d\ eta=\ розрив {1} {\ sqrt {2}}\ int_ {-R} ^R\ e^ {-x^2/2}\ dx-\ int_ {C_2}\ e^ {-\ eta^2}\ d\ eta-\ int_ {4}\ e^ {-\ eta^2}\ d\ ета.
$$
Випливає з
$$
\ lim_ {R\ to\ infty}\ int_ {C_3}\ e^ {-\ eta^2}\ d\ eta=\ sqrt {\ pi}

$$
оскільки $$
\ lim_ {R\ to\ infty}\ int_ {c_k}\ e^ {-\ eta^2}\ d\ eta=0,\ k=2,\ 4.
$$
Випадок$n>1$ можна звести до одновимірного випадку наступним чином. Встановити
$
\ ета=\ frac {x} {\ sqrt {2}} +i\ frac {y} {\ sqrt {2}} =(\ eta_1,\ ldots,\ eta_n),
$
де
$$
\ eta_l=\ frac {x_l} {\ sqrt {2}} +i\ frac {y_l}\ sqrt {2}}.
$
Від$d\eta=d\eta_1\ldots d\eta_l$ і
$$
e^ {-\ eta^2} =e^ {-\ sum_ {l=1} ^n\ eta_l^2} =\ prod_ {l=1} ^ne^ {-\ eta_l^2}
$$
слід
$$
\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {-eta^2}\ d ета=\ prod_ {l=1} ^n\ int_ {\ гамма_л}\ e^ {-\ eta_l^2}\ d\ eta_l,
$
де для фіксованого$y$
$
\ gamma_l=\ {z\ in {\ mathbb C}:\ z=\ frac {x_l} {\ sqrt {2}} +i\ frac {y_l} {\ sqrt {2}}, -\ infty<x_l<+\ infty\}.
\]

$\Box$

Існує корисний клас функцій, для яких інтеграли в визначенні$\widehat{f}$ і$\widetilde{f}$ існують.

Для$u\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ нас встановлено
$
q_ {j, k} (u) :=\ max_ {\ альфа:\ |\ альфа|\ ле к}\ ліворуч (\ sup_ {\ mathbb {R} ^n}\ ліворуч (((1+|x|^2) ^ {j/2} |D^\ альфа u (x) |\ праворуч)\ праворуч).
\]

Визначення. Класом Шварца швидкоспадаючих функцій є
$$
{\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^n) =\ left\ {u\ in C^\ infty (\ mathbb {R} ^n):\ q_ {j, k} (u) <\ infty\\ mbox {для будь-якого}\ j, k\ in {\ mathbb}\ чашка\ {0\}\ право\}.
\]

Цей простір є простором Frechét.

Пропозиція 5.3. Припустимо$u\in{\mathcal{S}}(\mathbb{R}^n)$, потім$\widehat{u}$ і$\widetilde{u}\in{\mathcal{S}}(\mathbb{R}^n)$.

Доказ. Див. [24], розділ 1.2, наприклад, або вправу.