7.1: Метод Ляпунова та принцип інваріантності ЛаСалля
- Page ID
- 61176
Далі ми вивчимо метод визначення стійкості рівноваг, який може бути застосований, коли інформація про стійкість, отримана в результаті лінеаризації ОДА, недостатня для визначення інформації про стійкість нелінійного ОДУ. Книга LaSalle є відмінним доповненням до цієї лекції. Це метод Ляпунова (або другий метод Ляпунова, або метод функцій Ляпунова). Почнемо з опису фреймворка для методу в тій настройці, яку будемо використовувати.
Розглядаємо загальну\(C^{r}, r \ge 1\) автономну ОДУ
\[\dot{x} = f(x), x \in \mathbb{R}, \label{7.1}\]
мають точку рівноваги в\(x = \bar{x}\), т. е.
\[f(\bar{x}) = 0, \label{7.2}\]
Для скалярної функції, визначеної на\(\mathbb{R}^n\)
\(V: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\),
\[x \mapsto V(x), \label{7.3}\]
визначаємо похідну рівняння\ ref {7.3} по траєкторіях рівняння\ ref {7.1} шляхом:
\(\frac{d}{dt} V(x) = \dot{V}(x) = \nabla V(x) \cdot \dot{x}\),
\[\nabla V(x) \cdot f(x), \label{7.4}\]
Тепер можна викласти теорему Ляпунова про стійкість точки рівноваги\(x = \bar{x}\).
Теорема 1
Розглянемо наступні\(C^{r} (r \ge 1)\) автономні векторні поля на\(\mathbb{R}^n\):
\[\dot{x} = f(x), x \in \mathbb{R}^n, \label{7.5}\].
\(x = \bar{x}\)Дозволяти бути фіксованою точкою Рівняння\ ref {7.5} і нехай\(V : U \rightarrow \mathbb{R}\) буде\(C^{1}\) функція, визначена в деякому районі U\(\bar{x}\) таких, що:
- \(V(\bar{x})=0\)і\(V(x) > 0\) якщо\(x \ne \bar{x}\).
- \(V(\dot{x}) \le 0\)в\(U-{\bar{x}}\)
Потім\(\bar{x}\) знаходиться Стайня Ляпунова. Більш того, якщо
\(\dot{V}(x) < 0\)в\(U-{\bar{x}}\)
потім\(\bar{x}\) асимптотично стабільна.
\(V(x)\)Функція іменується як функція Ляпунова. Ми зараз розглянемо приклад.
Приклад\(\PageIndex{17}\)
Розглянемо цю функцію
\(\dot{x} = y\),
\[\dot{y} = -x-\epsilon x^{2}y, (x, y) \in \mathbb{R}^2, \label{7.6}\]
де\(\epsilon\) - параметр. Зрозуміло, що\((x, y) = (0, 0)\) є точкою рівноваги Equation\ ref {7.6} і ми хочемо визначити характер його стійкості.
Почнемо з лінеаризації рівняння\ ref {7.6} про цю точку рівноваги. Матриця, пов'язана з цією лінеаризацією, задається:
\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {-1}&{0} \end{pmatrix}, \label{7.7}\]
і його власні значення є\(\pm i\). Отже, походження не є гіперболічним і тому інформація, надана лінеаризацією (7.6) про (x, y) = (0, 0) не дає інформації про стійкість (x, y) = (0, 0) для нелінійної системи (Equation\ ref {7.6}).
Тому спробуємо застосувати метод Ляпунова для визначення стійкості походження.
Візьмемо за функцію Ляпунова:
\[V(x, y) = \frac{1}{2}(x^2+y^2). \label{7.8}\]
Зверніть увагу, що V (0,0) = 0 і V (x, y) > 0 в будь-якому районі початку.
Більш того, у нас є:
\[\begin{align*} \dot{V}(x,y) &= \frac{\partial V}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial V}{\partial y} \dot{y} \\[4pt] &= xy + y(-x-\epsilon x^{2}y) \\[4pt] &= -\epsilon x^{2}y^2 \end{align*}\]
\[\le 0, \text{for} \epsilon > 0. \label{7.9}\]
Звідси з теореми 1 випливає, що походження Ляпунова стабільне.
Далі ми представимо принцип інваріантності LaSalle. Замість того, щоб зосередитися на конкретному питанні стійкості рівноважного розв'язку, як у методі Ляпунова, принцип інваріантності ЛаСалля дає умови, що описують поведінку як\(t \rightarrow \infty\) усіх розв'язків автономного ОДА.
Почнемо з автономного ОДУ, визначеного на\(\mathbb{R}^n\):
\[\dot{x} = f(x), x \in \mathbb{R}^n, \label{7.10}\]
де f (x) -\(C^r\),\((r \ge 1)\). Давайте\(\phi_{t}(\cdot)\) позначимо потік, згенерований Equation\ ref {7.10} і нехай\(\mathcal{M} \subset \mathbb{R}^n\) позначимо позитивний інваріантний набір, який є компактним (тобто замкнутим і обмеженим у цьому параметрі). Припустимо, у нас є скалярна функція
\[V : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \label{7.11}\]
такий, що
\[\dot{V}(x) \le 0\, \text{in}\, \mathcal{M}, \label{7.12}\]
(Зверніть увагу на «менше або дорівнює» в цій нерівності.)
Нехай
\[E = \{x \in \mathcal{M}|\dot{V}(x) = 0\}, \label{7.13}\]
і
\[M = \{\text{the union of all trajectories that start in E and remain in E for all} t \ge 0\} \label{7.14}\]
Тепер ми можемо констатувати принцип інваріантності LaSalle.
Теорема 2: Принцип інваріантності ЛаСалля
Для всіх\(x \in \mathcal{M}\),\(\phi_{t}(x) \rightarrow M\) як\(t \rightarrow \infty\).
Ми зараз розглянемо приклад.
Приклад\(\PageIndex{18}\)
Розглянемо наступне векторне поле на\(\mathbb{R}^2: \dot{x} = y\),
\(\dot{x} = y\),
\[\dot{y} = x-x^3-\delta y, (x, y) \in \mathbb{R}^2, \delta > 0. \label{7.15}\]
Це векторне поле має три точки рівноваги - точку сідла в (x, y) = (0, 0) і дві раковини в\((x, y) = (\pm 1, 0)\).
Розглянемо функцію
\[V(x,y) = \frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}, \label{7.16}\]
і його рівень встановлює:
\[V(x, y) = C. \nonumber\]
Обчислимо похідну V по траєкторіях (7.15):
\(\dot{V}(x,y) = \frac{\partial V}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial V}{\partial y} \dot{y},\)
\(= (-x+x^3)y+y(x-x^3-\delta y)\).
\[= -\delta y^2, \label{7.17}\]
з чого випливає, що
\(\dot{V}(x,y) \le 0\)на\(V(x,y) = C\).
Отже, для C досить великий, відповідний набір рівнів V меж становить компактну позитивну інваріантну множину\(\mathcal{M}\), що містить три точки рівноваги Equation\ ref {7.15}.
Далі визначаємося з характером набору
\[E = \{(x, y) \in \mathcal{M}|\dot{V}(x, y) = 0\}. \label{7.18}\]
Використовуючи рівняння\ ref {7.17} ми бачимо, що:
\[E = \{(x,y) \in \mathcal{M}|y = 0 \cap \mathcal{M}\}. \label{7.19}\]
Єдині точки в E, які залишаються в E протягом усього часу, є:
\[M = \{(\pm 1, 0), (0, 0)\}. \label{7.20}\]
Тому з теореми 2 випливає, що, враховуючи будь-яку початкову умову в\(\mathcal{M}\), траєкторія, що починається з цієї початкової умови, наближається до однієї з трьох точок рівноваги як\(t \rightarrow \infty\).
Автономні векторні поля на площині; критерій Бендіксона та теорема індексу
Зараз ми розглянемо деякі корисні результати, які застосовуються до векторних полів на площині.
Спочатку ми розглянемо простий і простий у застосуванні критерій, який виключає існування періодичних орбіт для автономних векторних полів на площині (наприклад, він не дійсний для векторних полів на двох торі).
Розглянуто\(C^{r}, r \ge 1\) векторне поле на площині наступного виду:
\(\dot{x} = f(x, y)\),
\[\dot{y} = g(x, y), (x, y) \in \mathbb{R}^2 \label{7.21}\]
Наступний критерій завдяки Бендіксону забезпечує просту, обчислювану умову, що виключає існування періодичних орбіт в певних областях\(\mathbb{R}^2\).
Теорема 3: Критерій Бендісона
Якщо на просто пов'язаній області\(D \subset \mathbb{R}^2\) вираз
\[\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) + \frac{\partial g}{\partial y} (x, y), \label{7.22}\]
не однаково нуль і не змінює знак тоді (7.21) не має періодичних орбіт, що лежать повністю в D.
Приклад\(\PageIndex{19}\)
Розглянуто наступне нелінійне автономне векторне поле на площині:
\(\dot{x} = y \equiv f(x,y)\),
\[\dot{y} = x-x^3-\delta y \equiv g(x, y), (x, y) \in \mathbb{R}^2, d > 0. \label{7.23}\]
Обчислення (7.22) дає:
\[\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} = -\delta, \label{7.24}\]
Тому це векторне поле не має періодичних орбіт для\(\delta \ne 0\).
Приклад\(\PageIndex{20}\)
Розглянуто наступне лінійне автономне векторне поле на площині:
\(\dot{x} = ax+by \equiv f(x, y)\),
\[\dot{y} = cx+dy \equiv g(x, y), (x, y) \in \mathbb{R}^2, a, b, c, d \in \mathbb{R} \label{7.25}\]
Обчислення (7.22) дає:
\[\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} = a+d, \label{7.26}\]
Тому для\(a + d \ne 0\) цього векторне поле не має періодичних орбіт.
Далі ми розглянемо теорему індексу. Якщо періодичні орбіти існують, то забезпечуються умови щодо кількості нерухомих точок і їх стійкості, які містяться в області, обмеженій періодичною орбітою.
Теорема 4: теорема індексу
Усередині будь-якої періодичної орбіти повинна бути хоча б одна нерухома точка. Якщо є тільки один, то це повинна бути раковина, джерело або центр. Якщо всі нерухомі точки всередині періодичної орбіти гіперболічні, то має бути непарне число, 2n + 1, з яких n - сідла, а n + 1 - або раковини, або джерела.
Приклад\(\PageIndex{21}\)
Розглянуто наступне нелінійне автономне векторне поле на площині:
\(\dot{x} = y \equiv f(x, y)\),
\[\dot{y} = x-x^3-\delta y+x^{2}y \equiv g(x, y), (x, y) \in \mathbb{R}^2, \label{7.27}\]
де\(\delta > 0\). Точки рівноваги задаються:
(х, у) = (0, 0),\((\pm 1, 0)\).
Якобіан векторного поля, позначеного A, задається:
\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {1-3x^2+2xy}&{-\delta+x^2} \end{pmatrix}, \label{7.28}\]
Використання загального виразу для власних значень для\(2 \times 2\) матриці A:
\(\lambda_{1,2} = \frac{tr A}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{(tr A)^{2}-4det A}\),
отримаємо наступний вираз для власних значень якобійського
\[\lambda_{1,2} = \frac{-\delta+x^2}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{(-\delta+x^2)^2+4(1-3x^2+2xy)} \label{7.29}\]
Якщо підставити місця рівноваг у цей вираз, ми отримаємо наступні значення для власних значень якобійського векторного поля, оцінених за відповідними рівновагами:
\[(0, 0) \lambda_{1,2} = -\frac{\delta}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{\delta^2+4} \label{7.30}\]
\[(\pm 1, 0) \lambda_{1,2} = \frac{-\delta+1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{(-\delta+1)^2-8} \label{7.31}\]
З цих виразів робимо висновок, що (0, 0) є сідлом для всіх значень\(\delta\) і\((\pm 1, 0)\) є
мийки для\(\delta > 1\)
центри для\(\delta = 1\)
джерела для\(0 < \delta < 1\)
Тепер ми будемо використовувати критерій Бендіксона та теорему індексу для визначення областей у фазовій площині, де можуть існувати періодичні орбіти. Для цього прикладу (7.22) наведено:
\[-\delta+x^2. \label{7.33}\]
Звідси дві\(x = -\sqrt{\delta}\) вертикальні лінії\(x = \sqrt{\delta}\) поділяють фазову площину на три області, де періодичні орбіти не можуть існувати повністю в одній з цих областей (інакше критерій Бендіксона буде порушений). Існує два випадки, які слід враховувати для розташування цих вертикальних ліній щодо рівноваг:\(\delta > 1\) і\(0 < \delta < 1\).
На рис. 7.1 ми показуємо три можливості (вони не вичерпують всіх можливих випадків) існування періодичних орбіт, які задовольняли б критерію Бендіксона в справі\(\delta > 1\). Однак (b) неможливо, оскільки це порушує теорему індексу.
На рис. 7.2 ми показуємо три можливості (вони не вичерпують всіх можливих випадків) існування періодичних орбіт, які задовольняли б критерію Бендіксона в справі\(0 < \delta < 1\). Однак (е) неможливо, оскільки це порушує теорему індексу.
