6.1: Набір проблем

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61144

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

ВПРАВА$\PageIndex{1}$

Розглянемо$C^{r}$$r \ge 1$, автономне векторне поле на$\mathbb{R}^2$:

$\dot{x} = f(x)$,

з потоком

$\phi_{t}(\cdot)$,

і нехай$x = \bar{x}$ позначимо гіперболічну точку рівноваги типу сідла для цього векторного поля. Позначимо локальні стійкі і нестійкі многовиди цієї точки рівноваги:

$W_{loc}^{s}(\bar{x})$,$W_{loc}^{u}(\bar{x})$,

відповідно. Глобальні стабільні та нестабільні многовиди$\bar{x}$ визначаються:

$W^{s}(\bar{x}) \equiv \cup_{t \le 0} \phi_{t} (W_{loc}^{s}(\bar{x}))$,

$W^{u}(\bar{x}) \equiv \cup_{t \ge 0} \phi_{t} (W_{loc}^{s}(\bar{x}))$,

(a) Показати, що$W^{s}(\bar{x})$ і$W^{u}(\bar{x})$ є інваріантним набором.

(б) Припустимо$p \in W^{s}(\bar{x})$, що, показати, що з експоненціальною$\phi_{t}(p) \rightarrow \bar{x}$ швидкістю як$t \rightarrow \infty$.

(c) Припустимо$p \in W^{u}(\bar{x})$, що, показати, що з експоненціальною$\phi_{t}(p) \rightarrow \bar{x}$ швидкістю як$t \rightarrow -\infty$.

ВПРАВА$\PageIndex{2}$

Розглянемо$C^{r}, r \ge 1$, автономне векторне поле на$\mathbb{R}^2$ наявність гіперболічної точки сідла. Чи можуть його стійкі та нестабільні многовиди перетинатися в ізольованій точці (яка не є фіксованою точкою векторного поля), як показано на малюнку 2?

$Знімок екрана 2019-09-26 о 12.45.53 PM.png$

ВПРАВА$\PageIndex{3}$

Розглянемо наступні автономні векторні поля на площині:

$\dot{x} = \alpha x$,

\[\dot{y} = \beta y + \gamma x^{n+1}, \label{6.42}\]

де$\alpha < 0$,$\beta > 0$,$\gamma$ - дійсне число, а n - натуральне число.

Покажіть, що походження є гіперболічною точкою сідла.
Обчислити та намалювати стійкі та нестабільні підпростори походження.
Показати, що стабільні та нестабільні підпростори є інваріантними під лінеаризованою динамікою.
Показати потік, згенерований цим векторним полем, задається за допомогою:
$x(t, x_{0}) = x_{0}e^{\alpha t}$,

$y(t, x_{0}, y_{0}) = e^{\beta t}(y_{0} - \frac{\gamma x_{0}^{n+1}}{\alpha (n+1) - \beta}) + (\frac{\gamma x_{0}^{n+1}}{\alpha (n+1) - \beta}) e^{\alpha (n+1)t}$
Обчислити глобальні стабільні та нестабільні многовиди походження з потоку.
Показати, що глобальні стабільні та нестабільні многовиди, які ви обчислили, є інваріантними.
Намалюйте глобальні стабільні та нестабільні многовиди та обговоріть, як вони залежать від g та n.

ВПРАВА$\PageIndex{4}$

$\dot{x} = f(x), x \in \mathbb{R}^n$Припустимо,$C^r$ векторне поле, що має гіперболічну фіксовану точку$x = x_{0}$, з гомоклінічної орбітою. Охарактеризуйте гомоклінічну орбіту в терміні стабільного та нестабільного многовидів$x_{0}$.

ВПРАВА$\PageIndex{5}$

Припустимо,$\dot{x} = f(x), x \in \mathbb{R}^n$$C^r$ векторне поле, що має гіперболічні нерухомі точки,$x = x_{0}$ причому$x_{1}$, з гетероклінічної орбітою, що з'єднує$x_{0}$ і$x_{1}$. Охарактеризуйте гетероклінічну орбіту з точки зору стійких і нестабільних многовидів$x_{0}$ і$x_{1}$.