12.4: Рівняння Лапласа в полярних координатах
- Page ID
- 62116
У розділі 12.3 ми розв'язали крайові задачі для рівняння Лапласа над прямокутником зі сторонами, паралельними\(x,y\) осям -. Тепер ми розглянемо крайові задачі для рівняння Лапласа над областями з границями, які найкраще описуються через полярні координати. У цьому випадку доцільно розглядати\(u\) як функцію\((r,\theta)\) і записати рівняння Лапласа в полярній формі як
\[\label{eq:12.4.1} u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0,\]
де
\[r=\sqrt{x^2+y^2}\quad \text{and} \quad \theta=\cos^{-1}\frac{x}{r}=\sin^{-1}\frac{x}{r}. \nonumber\]
Почнемо з випадку, коли область є круглим диском з радіусом\(\rho\), центрованим у початку; тобто ми хочемо визначити формальний розв'язок крайової задачі
\[\label{eq:12.4.2} \begin{array}{c}{u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta \theta}=0,\quad 0<r<\rho ,\quad -\pi \leq \theta <\pi ,}\\{u(\rho ,\theta )=f(\theta ),\quad -\pi\leq\theta <\pi }\end{array}\]
(Рисунок Template:index). Зауважте, що Equation\ ref {eq:12.4.2} не накладає жодних обмежень на\(u(r,\theta)\) коли\(r=0\). Ми вирішимо це питання у відповідний час.
Спочатку ми шукаємо продукти\(v(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)\), які задовольняють Equation\ ref {eq:12.4.1}. Для цієї функції,
\[v_{rr}+\frac{1}{r}v_r+\frac{1}{r^2}v_{\theta\theta}= R''\Theta+\frac{1}{r}R'\Theta +\frac{1}{r^2}R\Theta''= 0 \nonumber\]
для всіх\((r,\theta)\) з\(r\ne0\) if
\[\frac{r^2R''+rR'}{R}=-\frac{\Theta''}{\Theta}=\lambda, \nonumber\]
де\(\lambda\) - константа поділу. (Перевірити.) Це рівняння еквівалентно
\[\Theta''+\lambda\Theta=0 \nonumber\]
і
\[\label{eq:12.4.3} r^2R''+rR'-\lambda R=0.\]
Оскільки\((r,\pi)\) і\((r,-\pi)\) є полярними координатами однієї і тієї ж точки, ми накладаємо періодичні граничні умови на\(\Theta\); тобто
\[\label{eq:12.4.4} \Theta''+\lambda\Theta=0,\quad \Theta(-\pi)=\Theta(\pi), \quad \Theta'(-\pi)=\Theta'(\pi).\]
Оскільки ми не хочемо\(R\Theta\) бути однаково нульовим,\(\lambda\) має бути власним значенням Equation\ ref {eq:12.4.4} і\(\Theta\) має бути пов'язаною власною функцією. З теореми 11.1.6 власні значення рівняння\ ref {eq:12.4.4} пов'язані\(\lambda_0=0\) з власними функціями\(\Theta_0=1\) і, для\(n=1,2,3,\dots,\)\(\lambda_n=n^2\), з асоційованою власною функцією\(\cos n\theta\) і,\(\sin n\theta\) отже,
\[\Theta_n=\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta \nonumber\]
де\(\alpha_n\) і\(\beta_n\) є константами.
Підстановка\(\lambda=0\) в рівняння\ ref {eq:12.4.3} дає
\[r^2R''+rR'=0,\nonumber\]
тому
\[\frac{R_0''}{R_0'}=-\frac{1}{r},\nonumber\]
\[R_0'=\frac{c_1}{r},\nonumber\]
і
\[\label{eq:12.4.5} R_0=c_2+c_1\ln r.\]
Якщо\(c_1\ne0\) тоді
\[\lim_{r\to0+}|R_0(r)|=\infty,\nonumber\]
що не має сенсу, якщо ми інтерпретуємо\(u_0(r,\theta)=R_0(r)\Theta_0(\theta)=R_0(r)\) як стабільний розподіл температури в диску, межа якого підтримується при постійній температурі\(R_0(\rho)\). Тому ми тепер\(R_0\) вимагаємо бути обмеженими як\(r\to0+\). Це означає\(c_1=0\), що і ми беремо\(c_2=1\). Таким чином,\(R_0=1\) і\(v_0(r,\theta)=R_0(r)\Theta_0(\theta)=1\). Зверніть увагу, що\(v_0\) задовольняє рівняння\ ref {eq:12.4.2} с\(f(\theta)=1\).
Підстановка\(\lambda=n^2\) в рівняння\ ref {eq:12.4.3} дає рівняння Ейлера
\[\label{eq:12.4.6} r^2R_n''+rR_n'-n^2 R_n=0\]
для\(R_n\). Індикальний многочлен цього рівняння дорівнює
\[s(s-1)+s-n^2=(s-n)(s+n),\nonumber\]
тому загальне розв'язання рівняння\ ref {eq:12.4.6}
\[\label{eq:12.4.7} R_n=c_1r^n+c_2r^{-n},\]
за теоремою 7.4.3. Відповідно до нашого попереднього припущення\(R_0\), ми тепер\(R_n\) вимагаємо бути обмеженими як\(r\to0+\). Це означає\(c_2=0\), що і ми вибираємо\(c_1=\rho^{-n}\). Потім\(R_n(r)=r^n/\rho^n\), так
\[v_n(r,\theta)=R_n(r)\Theta_n(\theta)=\frac{r^n}{\rho^n}(\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta).\nonumber\]
Тепер\(v_n\) задовольняє рівняння\ ref {eq:12.4.2} з
\[f(\theta)=\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta.\nonumber\]
Більш загально, якщо\(\alpha_0\),\(\alpha_1\),...,\(\alpha_m\) і,\(\beta_1\),...\(\beta_2\),\(\beta_m\) є довільними константами, то
\[u_m(r,\theta)=\alpha_0+\sum_{n=1}^m\frac{r^n}{\rho^n}(\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta)\nonumber\]
задовольняє рівняння\ ref {еква:12.4.2} з
\[f(\theta) =\alpha_0+\sum_{n=1}^m(\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta).\nonumber\]
Це мотивує наступне визначення.
Обмежений формальний розв'язок крайової задачі Рівняння\ ref {eq:12.4.2}
\[\label{eq:12.4.8} u(r,\theta)=\alpha_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{r^n}{\rho^n}(\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta),\]
де
\[F(\theta) =\alpha_0+\sum_{n=1}^\infty(\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta)\nonumber\]
є рядами Фур'є\(f\) on\([-\pi,\pi]\); тобто
\[\alpha_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\theta)\,d\theta,\nonumber\]
і
\[\alpha_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\theta)\cos n\theta\,d\theta \quad \text{and} \quad \beta_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\theta)\sin n\theta\,d\theta, \quad n=1,2,3,\dots.\nonumber\]
Оскільки\(\sum_{n=0}^\infty n^k(r/\rho)^n\) сходиться для кожного\(k\) if\(0< r<\rho\), теорема 12.1.2 може бути використана, щоб показати, що якщо\(0< r<\rho\) тоді Equation\ ref {eq:12.4.8} може бути диференційований член за терміном будь-яку кількість разів щодо обох\(r\) і\(\theta\). Оскільки члени в Рівнянні\ ref {eq:12.4.8} задовольняють рівнянню Лапласа\(r>0\), якщо рівняння\ ref {eq:12.4.8} задовольняє рівнянню Лапласа, якщо\ (0
\[F(\theta)=f(\theta),\quad -\pi\le\theta<\pi.\nonumber\]
З теореми 11.2.4, це вірно, якщо\(f\) є безперервним і кусково-гладким на\([-\pi,\pi]\) і\(f(-\pi)=f(\pi)\).
Знайти обмежений формальний розв'язок рівняння\ ref {eq:12.4.2} с\(f(\theta)=\theta(\pi^2-\theta^2)\).
Рішення
З прикладу 11.2.6,
\[\theta(\pi^2-\theta^2)=12\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^3}\sin n\theta,\quad -\pi\le\theta\le\pi,\nonumber\]
тому
\[u(r,\theta)=12\sum_{n=1}^\infty\frac{r^n}{\rho^n}\frac{(-1)^n}{n^3}\sin n\theta,\quad 0\le r\le \rho,\quad -\pi\le\theta\le\pi.\nonumber\]
Визначте формальне рішення
\[\label{eq:12.4.9} \begin{array}{c}{u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=0,\quad \rho _{0}<r<\rho ,\quad -\pi \leq\theta <\pi , }\\{u(\rho _{0},\theta )=0,\quad u(\rho, \theta )=f(\theta ),\quad -\pi\leq\theta <\pi ,}\end{array}\]
де\(0<\rho_0<\rho\) (Рисунок Template:index).
Рішення
Ми використовуємо поділ змінних точно так, як і раніше, за винятком того, що тепер ми вибираємо константи в Equation\ ref {eq:12.4.5} і Equation\ ref {eq:12.4.7} так що\(R_n(\rho_0)=0\) для\(n=0\),\(1\),\(2\),,... З огляду на неоднорідну умову Діріхле на межі\(r=\rho\), також зручно вимагати, що\(R_n(\rho)=1\) для\(n=0\),,\(1\),\(2\),... Ми залишаємо це вам, щоб переконатися, що
\[R_0(r)=\frac{\ln r/\rho_0}{\ln\rho/\rho_0} \quad \text{and} \quad R_n=\frac{\rho_0^{-n}r^n-\rho_0^nr^{-n}} {\rho_0^{-n}\rho^n-\rho_0^n\rho^{-n}},\quad n=1,2,3,\dots\nonumber\]
задовольняють цим вимогам. Тому
\[v_0(\rho,\theta)=\frac{\ln r/\rho_0}{\ln\rho/\rho_0}\nonumber\]
і
\[v_n(r,\theta)=\frac{\rho_0^{-n}r^n-\rho_0^nr^{-n}} {\rho_0^{-n}\rho^n-\rho_0^n\rho^{-n}}(\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta), \quad n=1,2,3,\dots,\nonumber\]
де\(\alpha_n\) і\(\beta_n\) є довільними константами.
Якщо\(\alpha_0\),\(\alpha_1\),...,\(\alpha_m\) і,\(\beta_1\),...\(\beta_2\),\(\beta_m\) є довільними константами, то
\[u_m(r,\theta)=\alpha_0\frac{\ln r/\rho_0}{\ln\rho/\rho_0}+ \sum_{n=1}^m \frac{\rho_0^{-n}r^n-\rho_0^nr^{-n}} {\rho_0^{-n}\rho^n-\rho_0^n\rho^{-n}} (\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta)\nonumber\]
задовольняє рівняння\ ref {eq:12.4.9}, з
\[f(\theta) =\alpha_0+\sum_{n=1}^m(\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta).\nonumber\]
Це мотивує нас визначати формальне розв'язування рівняння\ ref {eq:12.4.9}\(f\) для загального
\[u(r,\theta)=\alpha_0\frac{\ln r/\rho_0}{\ln\rho/\rho_0}+ \sum_{n=1}^\infty \frac{\rho_0^{-n}r^n-\rho_0^nr^{-n}} {\rho_0^{-n}\rho^n-\rho_0^n\rho^{-n}} (\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta),\nonumber\]
де
\[F(\theta) =\alpha_0+\sum_{n=1}^\infty(\alpha_n\cos n\theta+\beta_n\sin n\theta)\nonumber\]
є Фур'є ряд\(f\) on\([-\pi,\pi]\).
Визначте обмежене формальне рішення
\[\label{eq:12.4.10} \begin{array}{c}{u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=0,\quad 0<r<\rho,\quad 0<\theta <\gamma , }\\{u(\rho ,\theta )= f(\theta ),\quad 0\leq \theta\leq\gamma ,}\\ {u(r,0)=0,\quad u(r,\gamma )=0,\quad 0<r<\rho ,} \end{array}\]
де\(0<\gamma<2\pi\) (Рисунок Template:index).
Рішення
Тепер\(v(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)\), де
\[\label{eq:12.4.11} r^2R''+rR'-\lambda R=0\]
і
\[\label{eq:12.4.12} \Theta''+\lambda\Theta=0,\quad \Theta(0)=0,\quad \Theta(\gamma)=0.\]
З теореми 11.1.2 власні значення рівняння\ ref {eq:12.4.12}\(\lambda_n=n^2\pi^2/\gamma^2\), з пов'язаною власною функцією\(\Theta_n=\sin n\pi\theta/\gamma\),\(n=1\),\(2\),\(3\),... Підстановка\(\lambda=n^2\pi^2/\gamma^2\) в рівняння\ ref {eq:12.4.11} дає рівняння Ейлера
\[r^2R''+rR_n'-\frac{n^2\pi^2}{\gamma^2} R=0.\nonumber\]
Індикальний многочлен цього рівняння дорівнює
\[s(s-1)+s-\frac{n^2\pi^2}{\gamma^2}=\left(s-\frac{n\pi}{\gamma}\right) \left(s+\frac{n\pi}{\gamma}\right),\nonumber\]
тому
\[R_n=c_1r^{n\pi/\gamma}+c_2r^{-n\pi/\gamma},\nonumber\]
за теоремою 7.4.3. Щоб отримати розчин, який залишається обмеженим, як\(r\to0+\) ми дозволяємо\(c_2=0\). Через умови Діріхле в\(r=\rho\), це зручно мати\(r(\rho)=1\); тому ми беремо\(c_1=\rho^{-n\pi/\gamma}\), так
\[R_n(r)=\frac{r^{n\pi/\gamma}}{\rho^{n\pi/\gamma}}.\nonumber\]
Зараз
\[v_n(r,\theta)=R_n(r)\Theta_n(\theta)=\frac{r^{n\pi/\gamma}} {\rho^{n\pi/\gamma}}\sin\frac{n\pi\theta}{\gamma}\nonumber\]
задовольняє рівняння\ ref {еква:12.4.10} з
\[f(\theta)=\sin\frac{n\pi\theta}{\gamma}.\nonumber\]
Більш загально, якщо\(\alpha_1\),,...\(\alpha_2\),\(\alpha_m\) і є довільними константами, то
\[u_m(r,\theta)=\sum_{n=1}^m\alpha_n\frac{r^{n\pi/\gamma}}{\rho^{n\pi/\gamma}} \sin\frac{n\pi\theta}{\gamma}\nonumber\]
задовольняє рівняння\ ref {еква:12.4.10} з
\[f(\theta) =\sum_{n=1}^m\alpha_n\sin\frac{n\pi\theta}{\gamma}.\nonumber\]
Це мотивує нас визначати обмежений формальний розв'язок рівняння\ ref {eq:12.4.10}
\[u_m(r,\theta)=\sum_{n=1}^\infty\alpha_n\frac{r^{n\pi/\gamma}}{\rho^{n\pi/\gamma}} \sin\frac{n\pi\theta}{\gamma},\nonumber\]
де
\[S(\theta)=\sum_{n=1}^\infty\alpha_n \sin\frac{n\pi\theta}{\gamma}\nonumber\]
є синус Фур'є розширення\(f\) на\([0,\gamma]\); тобто
\[\alpha_n=\frac{2}{\gamma}\int_0^\gamma f(\theta)\sin\frac{n\pi\theta}{\gamma}\,d\theta. \nonumber\]