12.3: Рівняння Лапласа в прямокутних координатах
- Page ID
- 62098
Температура\(u=u(x,y,t)\) в двовимірній пластині задовольняє двовимірному рівнянню тепловіддачі
\[\label{eq:12.3.1} u_t=a^2(u_{xx}+u_{yy}),\]
де\((x,y)\) варіюється по внутрішній частині плити і\(t>0\). Щоб знайти розв'язок Equation\ ref {eq:12.3.1}, необхідно вказати початкову температуру\(u(x,y,0)\) і умови, які повинні бути виконані на межі. Однак як\(t\to\infty\), вплив початкового стану згасає, так
\[\lim_{t\to\infty}u_t(x,y,t)=0 \nonumber \]
і температура наближається до стійкого розподілу стану\(u=u(x,y)\), який задовольняє
\[\label{eq:12.3.2} u_{xx}+u_{yy}=0.\]
Це рівняння Лапласа. Це рівняння також виникає у додатках до механіки рідини та теорії потенціалу; насправді його також називають рівнянням потенціалу. Шукаються розв'язки рівняння\ ref {eq:12.3.2} в області\(R\), що задовольняють задані умови — так звані крайові умови — на межі\(R\). Наприклад, ми можемо зажадати\(u\) прийняти прописані значення на кордоні. Це називається умовою Діріхле, а задачу називають задачею Діріхле. Або ми можемо вимагати нормальної похідної\(u\) в кожній точці\((x,y)\) на межі, щоб прийняти задані значення. Це називається умовою Неймана, а проблема називається задачею Неймана. У деяких задачах ми нав'язуємо умови Діріхле на частину межі, а умови Неймана на решту. Тоді ми говоримо, що граничні умови і задача змішані.
Розв'язування крайових задач для Equation\ ref {eq:12.3.2} над загальними регіонами виходить за рамки цієї книги, тому ми розглянемо лише дуже прості області. Почнемо з розгляду прямокутної області, показаної на малюнку Template:index.
Можливі граничні умови для цієї області можна записати як
\[\begin{array}{lcllll} (1-\alpha)u(x,0)&+&\alpha u_y(x,0)&=&f_0(x), &0\le x\le a,\\[4pt] (1-\beta) u(x,b)&+&\beta u_y(x,b)&=&f_1(x), &0\le x\le a,\\[4pt] (1-\gamma) u(0,y)&+&\gamma u_x(0,y)&=&g_0(y), &0\le y\le b,\\[4pt] (1-\delta) u(a,y)&+&\delta u_x(a,y)&=&g_1(y), &0\le y\le b, \end{array}\nonumber\]
де\(\alpha\),\(\beta\)\(\gamma\), і\(\delta\) може кожен бути або\(0\) або\(1\); таким чином, є 16 можливостей. Нехай БВП\((\alpha,\beta,\gamma,\delta)(f_0,f_1,g_0,g_1)\) позначає задачу пошуку розв'язку рівняння\ ref {eq:12.3.2}, що задовольняє цим умовам. Це проблема Діріхле, якщо
\[\alpha=\beta=\gamma=\delta=0\nonumber\]
(Рисунок Template:index), або проблема Неймана, якщо
\[\alpha=\beta=\gamma=\delta=1\nonumber\]
(Рисунок Template:index). Решта 14 проблем змішані.
Для\((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) заданої суми розв'язків
\[\mbox{BVP}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)(f_0,0,0,0),\quad \mbox{BVP}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)(0,f_1,0,0),\nonumber\]
\[\mbox{BVP}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)(0,0,g_0,0), \quad \text{and} \quad \mbox{BVP}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)(0,0,0,g_1)\nonumber\]
є рішенням
\[\mbox{BVP}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)(f_0,f_1,g_0,g_1).\nonumber\]
Тому ми концентруємося на проблемах, де тільки одна з функцій\(f_0\)\(f_1\),\(g_0\),,\(g_2\) не однаково нульова. Є 64 (порахуйте їх!) проблеми такої форми. Кожна з них має однорідні граничні умови з трьох сторін прямокутника і неоднорідну граничну умову на четвертій. Використовується поділ змінних, щоб знайти нескінченно багато функцій, які задовольняють рівнянню Лапласа та трьом однорідним граничним умовам у відкритому прямокутнику. Потім ми використовуємо ці розв'язки як будівельні блоки для побудови формального розв'язку рівняння Лапласа, яке також задовольняє неоднорідній граничній умові. Оскільки розглянути всі 64 випадки неможливо, ми обмежимо нашу увагу в тексті лише чотирма. Інші обговорюються в вправах.
Якщо\(v(x,y)=X(x)Y(y)\) тоді
\[v_{xx}+v_{yy}=X''Y+XY''=0\nonumber\]
для всіх,\((x,y)\) якщо і тільки якщо
\[{X''\over X}=-{Y''\over Y}=k\nonumber\]
для всіх\((x,y)\), де\(k\) константа поділу. Це рівняння еквівалентно
\[\label{eq:12.3.3} X''-kX=0,\quad Y''+kY=0.\]
Звідси стратегія залежить від граничних умов. Проілюструємо це прикладами.
Визначте формальне рішення
\[\label{eq:12.3.4} \begin{array}{ccc} {u_{xx}+u_{yy}=0,}&{0<x<a,}&{0<y<b,}\\{u(x,0)=f(x),}&{u(x,b)=0,}&{0\leq x\leq a,}\\{u(0,y)=0,}&{u(a,y)=0,}&{0\leq y\leq b}\end{array}\]
(Рисунок Template:index).
Рішення:
Граничні умови в Equation\ ref {eq:12.3.4} вимагають\(v(x,y)=X(x)Y(y)\) таких добутків, які\(X(0)=X(a)=Y(b)=0\); отже, ми\(k=-\lambda\) впускаємо Equation\ ref {eq:12.3.3}. Таким чином,\(X\) і\(Y\) повинні задовольнити
\[\label{eq:12.3.5} X''+\lambda X=0,\quad X(0)=0,\quad X(a)=0\]
і
\[\label{eq:12.3.6} Y''-\lambda Y=0,\quad Y(b)=0.\]
З теореми 11.1.2 власні значення рівняння\ ref {eq:12.3.5} є\(\lambda_n=n^2\pi^2/a^2\) пов'язаними власними функціями
\[X_n=\sin{n\pi x\over a}, \quad n=1,2,3,\dots.\nonumber\]
Підстановка\(\lambda=n^2\pi^2/a^2\) в рівняння\ ref {eq:12.3.6} дає
\[Y''-(n^2\pi^2/a^2)Y=0,\quad Y(b)=0,\nonumber\]
щоб ми могли взяти
\[\label{eq:12.3.7} Y_n=\sinh{n\pi(b-y)\over a};\]
Однак через неоднорідну умову Діріхле в\(y=0\), краще вимагати того\(Y_n(0)=1\), що можна досягти, діливши праву частину Рівняння\ ref {eq:12.3.7} на його значення на\(y=0\); таким чином, ми беремо
\[Y_n={\sinh n\pi(b-y)/a\over\sinh n\pi b/a}.\nonumber\]
Тоді
\[v_n(x,y)=X_n(x)Y_n(y)={\sinh n\pi(b-y)/a\over\sinh n\pi b/a}\sin{n\pi x\over a},\nonumber\]
так\(v_n(x,0)=\sin n\pi x/a\) і\(v_n\) задовольняє Рівняння\ ref {eq:12.3.4} с\(f(x)=\sin n\pi x/a\). Більш загально, якщо\(\alpha_1\),...,\(\alpha_m\) є довільними константами, то
\[u_m(x,y)=\sum_{n=1}^m\alpha_n {\sinh n\pi(b-y)/a\over\sinh n\pi b/a} \sin{n\pi x\over a}\nonumber\]
задовольняє рівняння\ ref {eq:12.3.4} з
\[f(x)=\sum_{n=1}^m\alpha_n\sin{n\pi x\over L}.\nonumber\]
Отже, якщо на\(f\) довільній кусково-гладкій функції\([0,a]\), ми визначаємо формальний розв'язок Рівняння\ ref {eq:12.3.4} як
\[\label{eq:12.3.8} u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n {\sinh n\pi(b-y)/a\over\sinh n\pi b/a} \sin{n\pi x\over a},\]
де
\[S(x)=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n\sin{n\pi x\over a}\nonumber\]
є синус Фур'є ряду\(f\) on\([0,a]\); тобто
\[\alpha_n={2\over a}\int_0^af(x)\sin{n\pi x\over a}\,dx,\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber\]
Якщо\(y<b\) тоді
\[\label{eq:12.3.9} {\sinh n\pi(b-y)/a\over\sinh n\pi b/a}\approx e^{-n\pi y/a}\]
для великих\(n\), тому ряд в Equation\ ref {eq:12.3.8} збігається, якщо\(0< y < b\); більш того, оскільки також
\[{\cosh n\pi(b-y)/a\over\sinh n\pi b/a}\approx e^{-n\pi y/a}\nonumber\]
для великих\(n\), Теорема 12.1.2 застосовується двічі з\(z=x\) і двічі з\(z=t\), показує, що\(u_{xx}\) і\(u_{yy}\) може бути отримано шляхом диференціації члена за\(u\) терміном, якщо\(0<y<b\)
Вирішити рівняння\ ref {eq:12.3.4} с\(f(x)=x(x^2-3ax+2a^2)\).
Рішення
З прикладу 11.3.6,
\[S(x)={12a^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{1\over n^3}\sin{n\pi x\over a}.\nonumber\]
Тому
\[\label{eq:12.3.10} u(x,y)={12a^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{\sinh n\pi(b-y)/a\over n^3\sinh n\pi b/a} \sin{n\pi x\over a}.\]
Для обчислення приблизних значень\(u(x,y)\), ми повинні використовувати часткові суми виду
\[u_m(x,y)={12a^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^m{\sinh n\pi(b-y)/a\over n^3\sinh n\pi b/a} \sin{n\pi x\over a}.\nonumber\]
Через Equation\ ref {eq:12.3.9}, малі значення\(m\) забезпечують достатню точність для більшості застосувань, якщо\(0<y<b\). Крім того, знаменник\(n^{3}\) in\ ref {eq:12.3.10} гарантує, що це також вірно для\(y = 0\). Для графічних цілей ми вибрали\(a = 2, b = 1\), і\(m = 10\). Рисунок Template:index показує поверхню
\[u=u(x,y),\quad 0\le x\le 2,\quad 0\le y\le1,\nonumber\]
а малюнок Template:index показує криві
\[u=u(x,0.1k),\quad 0\le x\le2,\quad k=0,1,\dots,10.\nonumber\]
Визначте формальне рішення
\[\label{eq:12.3.11} \begin{array}{ccc}{u_{xx}+u_{yy}=0,}&{0<x<a,}&{0<y<b,}\\{u(x,0)=0,}&{u_{y}(x,b)=f(x),}&{0\leq x\leq a,}\\{u_{x}(0,y)=0,}&{u_{x}(a,y)=0,}&{0\leq y\leq b}\end{array}\]
(Рисунок Template:index).
Рішення
Граничні умови в Equation\ ref {eq:12.3.11} вимагають\(v(x,y)=X(x)Y(y)\) таких добутків, які\(X'(0)=X'(a)=Y(0)=0\); отже, ми\(k=-\lambda\) впускаємо Equation\ ref {eq:12.3.3}. Таким чином,\(X\) і\(Y\) повинні задовольнити
\[\label{eq:12.3.12} X''+\lambda X=0,\quad X'(0)=0,\quad X'(a)=0\]
і
\[\label{eq:12.3.13} Y''-\lambda Y=0,\quad Y(0)=0.\]
З теореми 11.1.3 власні значення рівняння\ ref {eq:12.3.12} є\(\lambda=0\), з асоційованою власною функцією\(X_0=1\), і\(\lambda_n=n^2\pi^2/a^2\), асоційованими власними функціями
\[X_n=\cos{n\pi x\over a}, \quad n=1,2,3,\dots.\nonumber\]
Оскільки\(Y_0=y\) задовольняє рівняння\ ref {eq:12.3.13} з\(\lambda=0\), ми беремо\(v_0(x,y)=X_0(x)Y_0(y)= y\). Підстановка\(\lambda=n^2\pi^2/a^2\) в рівняння\ ref {eq:12.3.13} дає
\[Y''-(n^2\pi^2/a^2)Y=0,\quad Y(0)=0,\nonumber\]
щоб ми могли взяти
\[\label{eq:12.3.14} Y_n=\sinh{n\pi y\over a}.\]
Однак через неоднорідну умову Неймана при\(y=b\), краще вимагати того\(Y_n'(b)=1\), що може бути досягнуто діленням правої частини Рівняння\ ref {eq:12.3.14} на значення його похідної на\(y=b\); таким чином,
\[Y_n={a\sinh n\pi y/a\over n\pi\cosh n\pi b/a}.\nonumber\]
Тоді
\[v_n(x,y)=X_n(x)Y_n(y)= {a\sinh n\pi y/a\over n\pi\cosh n\pi b/a}\cos{n\pi x\over a},\nonumber\]
тому
\[{\partial v_n\over \partial y}(x,b)=\cos{n\pi x\over a}.\nonumber\]
Тому\(v_n\) задовольняє рівняння\ ref {eq:12.3.11} с\(f(x)=\cos n\pi x/a\). Більш загально, якщо\(\alpha_0\),...,\(\alpha_m\) є довільними константами, то
\[u_m(x,y)=\alpha_0y+{a\over\pi}\sum_{n=1}^m\alpha_n {\sinh n\pi y/a\over n\cosh n\pi b/a} \cos{n\pi x\over a}\nonumber\]
задовольняє рівняння\ ref {eq:12.3.11} з
\[f(x)=\alpha_0+\sum_{n=1}^m\alpha_n\cos{n\pi x\over L}.\nonumber\]
Отже, якщо\(f\) є довільною кусково-гладкою функцією,\([0,a]\) ми визначаємо формальний розв'язок Рівняння\ ref {eq:12.3.11}
\[u(x,y)=\alpha_0y+{a\over\pi}\sum_{n=1}^\infty \alpha_n {\sinh n\pi y/a\over n\cosh n\pi b/a} \cos{n\pi x\over a},\nonumber\]
де
\[C(x)=\alpha_0+\sum_{n=1}^\infty \alpha_n\cos{n\pi x\over a}\nonumber\]
є косинусом Фур'є ряду\(f\) on\([0,a]\); тобто
\[\alpha_0={1\over a}\int_0^af(x)\,dx \quad \text{and} \quad \alpha_n={2\over a}\int_0^af(x)\cos{n\pi x\over a}\,dx,\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber\]
Вирішити рівняння\ ref {eq:12.3.11} с\(f(x)=x\).
Рішення
З прикладу 11.3.1,
\[C(x)=\frac{a}{2}-\frac{4a}{\pi ^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}\cos\frac{(2n-1)\pi x}{a}\nonumber\]
Тому
\[\label{eq:12.3.15} u(x,y)=\frac{ay}{2}-\frac{4a^{2}}{\pi ^{3}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sinh (2n-1)\pi y/a}{(2n-1)^{3}\cosh (2n-1)\pi b/a}\cos\frac{(2n-1)\pi x}{a}\]
Для графічних цілей ми вибрали\(a=2\) і зберегли терміни через\(n=10\) Equation\ ref {eq:12.3.15}.\(b=1\) Рисунок Template:index показує поверхню
\[u=u(x,y),\quad 0\le x\le 2,\quad 0\le y\le1,\nonumber\]
а малюнок Template:index показує криві
\[u=u(x,.1k),\quad 0\le x\le2,\quad k=0,1,\dots,10.\nonumber\]
Визначте формальне рішення
\[\label{eq:12.3.16} \begin{array}{ccc}{u_{xx}+u_{yy}=0,}&{0<x<a,}&{0<y<b,}\\{u(x,0)=0,}&{u_{y}(x,b)=0,}&{0\leq x\leq a,}\\{u(0,y)=g(y),}&{u_{x}(a,y)=0,}&{0\leq y\leq b}\end{array}\]
(Рисунок Template:index).
Рішення
Граничні умови в Equation\ ref {eq:12.3.16} вимагають\(v(x,y)=X(x)Y(y)\) таких добутків, що\(Y(0)=Y'(b)=X'(a)=0\); отже, ми\(k=\lambda\) впускаємо Equation\ ref {eq:12.3.3}. Таким чином,\(X\) і\(Y\) повинні задовольнити
\[\label{eq:12.3.17} X''-\lambda X=0,\quad \quad X'(a)=0\]
і
\[\label{eq:12.3.18} Y''+\lambda Y=0,\quad Y(0)=0,\quad Y'(b)=0.\]
З теореми 11.1.4 власні значення рівняння\ ref {eq:12.3.18} є\(\lambda_n=(2n-1)^2\pi^2/4b^2\) пов'язаними власними функціями
\[Y_n=\sin{(2n-1)\pi y\over2b}, \quad n=1,2,3,\dots.\nonumber\]
Підстановка\(\lambda=(2n-1)^2\pi^2/4b^2\) в рівняння\ ref {eq:12.3.17} дає
\[X''-((2n-1)^2\pi^2/4b^2)X=0,\quad X'(a)=0,\nonumber\]
щоб ми могли взяти
\[\label{eq:12.3.19} X_n=\cosh{(2n-1)\pi(x-a)\over 2b}.\]
Однак через неоднорідну умову Діріхле в\(x=0\), краще вимагати того\(X_n(0)=1\), що може бути досягнуто діленням правої частини Рівняння\ ref {eq:12.3.19} на його значення на\(x=0\); таким чином,
\[X_n= {\cosh(2n-1)\pi(x-a)/2b\over\cosh(2n-1)\pi a/2b}.\nonumber\]
Тоді
\[v_n(x,y)=X_n(x)Y_n(y)= {\cosh(2n-1)\pi(x-a)/2b\over\cosh(2n-1)\pi a/2b}\sin{(2n-1)\pi y\over2b},\nonumber\]
тому
\[v_n(0,y)=\sin{(2n-1)\pi y\over2b}.\nonumber\]
Тому\(v_n\) задовольняє рівняння\ ref {eq:12.3.16} с\(g(y)=\sin(2n-1)\pi y/2b\). Більш загально, якщо\(\alpha_1\),...,\(\alpha_m\) є довільними константами, то
\[u_m(x,y)=\sum_{n=1}^m \alpha_n {\cosh(2n-1)\pi(x-a)/2b\over\cosh(2n-1)\pi a/2b}\sin{(2n-1)\pi y\over 2b}\nonumber\]
задовольняє рівняння\ ref {еква:12.3.16} з
\[g(y)=\sum_{n=1}^m \alpha_n\sin{(2n-1)\pi y\over2b}.\nonumber\]
Таким чином, якщо на\(g\) довільній кусково-гладкій функції\([0,b]\), ми визначаємо формальний розв'язок Рівняння\ ref {eq:12.3.16}
\[u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n {\cosh(2n-1)\pi(x-a)/2b\over\cosh(2n-1)\pi a/2b}\sin{(2n-1)\pi y\over 2b},\nonumber\]
де
\[S_M(x)=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n\sin{(2n-1)\pi y\over2b}\nonumber\]
є змішаним синусом Фур'є ряду\(g\) on\([0,b]\); тобто
\[\alpha_n={2\over b}\int_0^bg(y)\sin{(2n-1)\pi y\over2b}\,dy.\nonumber\]
Вирішити рівняння\ ref {eq:12.3.16} с\(g(y)=y(2y^2-9by+12b^2)\).
Рішення
З прикладу 11.3.8,
\[S_{M}(y)=\frac{96b^{3}}{\pi ^{3}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{3}}\left[3+(-1)^{n}\frac{4}{(2n-1)\pi } \right]\sin\frac{(2n-1)\pi y}{2b}\nonumber \]
Тому
\[u(x,y)=\frac{96b^{3}}{\pi ^{3}}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\cosh (2n-1)\pi (x-a)/2b}{(2n-1)^{3}\cosh (2n-1)\pi a/2b}\left [3+(-1)^{n}\frac{4}{(2n-1)\pi } \right]\sin\frac{(2n-1)\pi y}{2b}\nonumber\]
Визначте формальне рішення
\[\label{eq:12.3.20}\begin{array}{ccc}{u_{xx}+u_{yy}=0,}&{0<x<a,}&{0<y<b,}\\{u_{y}(x,0)=0,}&{u(x,b)=0,}&{0\leq x\leq a,}\\{u_{x}(0,y)=0,}&{u_{x}(a,y)=g(y),}&{0\leq y\leq b}\end{array}\]
(Рисунок Template:index).
Рішення:
Граничні умови в Equation\ ref {eq:12.3.20} вимагають\(v(x,y)=X(x)Y(y)\) таких добутків, що\(Y'(0)=Y(b)=X'(0)=0\); отже, ми\(k=\lambda\) впускаємо Equation\ ref {eq:12.3.3}. Таким чином,\(X\) і\(Y\) повинні задовольнити
\[\label{eq:12.3.21} X''-\lambda X=0,\quad \quad X'(0)=0\]
і
\[\label{eq:12.3.22} Y''+\lambda Y=0,\quad Y'(0)=0,\quad Y(b)=0.\]
З теореми 11.1.4 власні значення рівняння\ ref {eq:12.3.22} є\(\lambda_n=(2n-1)^2\pi^2/4b^2\) пов'язаними власними функціями
\[Y_n=\cos{(2n-1)\pi y\over2b}, \quad n=1,2,3,\dots.\nonumber\]
Підстановка\(\lambda=(2n-1)^2\pi^2/4b^2\) в рівняння\ ref {eq:12.3.21} дає
\[X''-((2n-1)^2\pi^2/4b^2)X=0,\quad X'(0)=0,\nonumber\]
щоб ми могли взяти
\[\label{eq:12.3.23} X_n=\cosh{(2n-1)\pi x\over 2b}.\]
Однак через неоднорідну умову Неймана при\(x=a\), краще вимагати того\(X_n'(a)=1\), що може бути досягнуто діленням правої частини Рівняння\ ref {eq:12.3.23} на значення його похідної на\(x=a\); таким чином,
\[X_n= {2b\cosh(2n-1)\pi x/2b\over(2n-1)\pi\sinh(2n-1)\pi a/2b}.\nonumber\]
Тоді
\[v_n(x,y)=X_n(x)Y_n(y)= {2b\cosh(2n-1)\pi x/2b\over(2n-1)\pi\sinh(2n-1)\pi a/2b}\cos{(2n-1)\pi y\over2b},\nonumber\]
тому
\[{\partial v_n\over\partial x}(a,y)=\cos{(2n-1)\pi y\over2b}.\nonumber\]
Тому\(v_n\) задовольняє рівняння\ ref {eq:12.3.20} с\(g(y)=\cos(2n-1)\pi y/2b\). Більш загально, якщо\(\alpha_1\),...,\(\alpha_m\) є довільними константами, то
\[u_m(x,y)={2b\over\pi}\sum_{n=1}^m \alpha_n {\cosh(2n-1)\pi x/2b\over(2n-1)\sinh(2n-1)\pi a/2b}\cos{(2n-1)\pi y\over 2b}\nonumber\]
задовольняє рівняння\ ref {еква:12.3.20} з
\[g(y)=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n\cos{(2n-1)\pi y\over2b}.\nonumber\]
Отже, якщо на\(g\) довільній кусково-гладкій функції\([0,b]\), ми визначаємо формальний розв'язок Рівняння\ ref {eq:12.3.20}
\[u(x,y)={2b\over\pi}\sum_{n=1}^\infty \alpha_n {\cosh(2n-1)\pi x/2b\over(2n-1)\sinh(2n-1)\pi a/2b}\cos{(2n-1)\pi y\over 2b},\nonumber\]
де
\[C_M(y)=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n\cos{(2n-1)\pi y\over2b}\nonumber\]
змішаний ряд косинусів Фур'є\(g\) on\([0,b]\); тобто
\[\alpha_n={2\over b}\int_0^bg(y)\cos{(2n-1)\pi y\over2b}\,dy.\nonumber\]
Вирішити рівняння\ ref {eq:12.3.20} с\(g(y)=y-b\).
Рішення
З прикладу 11.3.3,
\[C_M(y)=-{8b\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^2} \cos{(2n-1)\pi y\over2b}. \nonumber\]
Тому
\[u(x,y)=-{16b^2\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{ \cosh(2n-1)\pi x/2b\over(2n-1)^3\sinh(2n-1)\pi a/2b} \cos{(2n-1)\pi y\over2b}.\nonumber\]
Рівняння Лапласа для напівнескінченної смуги
Зараз ми шукаємо розв'язки рівняння Лапласа на напівнескінченній смузі
\[S:\{ 0<x<a,\quad y>0\} \nonumber\]
(Figure Template:index), що задовольняють однорідні граничні умови при\(x=0\) і\(x=a\), і неоднорідна умова Діріхле або Неймана при\(y=0\). Прикладом такої проблеми є
\[\label{eq:12.3.24} \begin{array}{c} {u_{xx}+u_{yy}=0,\quad 0<x<a,\quad y>0,}\\{u(x,0)=f(x),\quad 0\leq x\leq a,}\\{u(0,y)=0,\quad u(a,y)=0,\quad y>0,}\end{array}\]
Граничні умови в цій задачі недостатньо для визначення\(u\), бо якщо\(u_0=u_0(x,y)\) є розв'язком і\(K\) є константою, то
\[u_1(x,y)=u_0(x,y)+K\sin{\pi x\over a}\sinh{\pi y\over a}.\nonumber\]
також є рішенням. (Перевірити.) Однак, якщо ми також вимагаємо - на фізичних підставах - щоб рішення залишалося обмеженим для всіх\((x,y)\),\(S\) тоді\(K=0\) і ця складність усувається.
Визначте обмежений формальний розв'язок Рівняння\ ref {eq:12.3.24}.
Рішення
Продовжуючи як у розв'язку Example Template:index, ми виявимо, що функції будівельного блоку мають вигляд
\[v_n(x,y)=Y_n(y)\sin{n\pi x\over a}, \nonumber\]
де
\[Y_n''-(n^2\pi^2/a^2)Y_n=0. \nonumber\]
Тому
\[Y_n=c_1e^{n\pi y/a}+c_2e^{-n\pi y/a} \nonumber\]
де\(c_1\) і\(c_2\) є константами. Хоча граничні умови в Equation\ ref {eq:12.3.24} не обмежують\(c_1\)\(c_2\), і ми повинні встановити,\(c_1=0\) щоб переконатися, що\(Y_n\) це обмежено. Здача\(c_2=1\) врожайності
\[v_n(x,y)=e^{-n\pi y/a}\sin{n\pi x\over a}, \nonumber\]
і ми визначаємо обмежений формальний розв'язок рівняння\ ref {eq:12.3.24}
\[u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty b_ne^{-n\pi y/a}\sin{n\pi x\over a}, \nonumber\]
де
\[S(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin{n\pi x\over a} \nonumber\]
є синус Фур'є ряд\(f\) on\([0,a]\).
Див. Вправи 12.3.29-12.3.34 для інших крайових задач на напівнескінченній смузі.