12.1E: Рівняння теплоти (вправи)

У деяких вправах ми говоримо «виконувати числові експерименти». Це означає, що ви повинні виконати обчислення, щойно описані з формальним рішенням, отриманим у вправі.

Q12.1.1

1. Поясніть визначення 12.1.3.

2. Поясніть визначення 12.1.4.

3. Поясніть визначення 12.1.5.

4. Провести чисельні експерименти з формальним розв'язком, отриманим у прикладі 12.1.1.

5. Провести чисельні експерименти з формальним розв'язком, отриманим у прикладі 12.1.2.

6. Провести чисельні експерименти з формальним розв'язком, отриманим у прикладі 12.1.3.

7. Провести чисельні експерименти з формальним розв'язком, отриманим у прикладі 12.1.4.

КВ 12.1.2

У вправах 12.1.8-12.1.42 розв'язують початково-крайову задачу. Виконуйте чисельні експерименти для вправ 12.1.11, 12.1.17, 12.1.19, 12.1.22, 12.1.26, 12.1.30, 12.1.36 та 12.1.41. Щоб спростити обчислення коефіцієнтів у деяких з цих задач, спочатку перевірте, чи є u (x, 0) поліном, який задовольняє граничним умовам. Якщо це так, застосуйте теорему 11.3.5; також див. Вправи 11.3.35b, 11.3.42b та 11.3.50b.

8. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(1-x),\quad 0\le x\le 1\)

9. \(u_{t}=9u_{xx},\quad 0<x<4,\quad t>0.\)
\(u(0,t)=0,\quad u(4,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=1,\quad 0\le x\le 4\)

10. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<\pi , \quad t>0.\)
\(u(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x\sin x,\quad 0\le x\le \pi\)

11. \(u_{t}=9u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2(2-x),\quad 0\le x\le 2\)

12. \(u_{t}=4u_{xx},\quad 0<x<3,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(3,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(9-x^2),\quad 0\le x\le 3\)

13. \(u_{t}=4u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)= \left\{\begin{array}{cl} x,&0\le x\le1,\\2-x,&1\le x\le 2. \end{array}\right.\)

14. \(u_{t}=7u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(3x^4-10x^2+7),\quad 0\le x\le 1\)

15. \(u_{t}=5u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(x^3-2x^2+1),\quad 0\le x\le 1\)

16. \(u_{t}=2u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(3x^4-5x^3+2),\quad 0\le x\le 1\)

17. \(u_{t}=9u_{xx},\quad 0<x<4,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(4,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2,\quad 0\le x\le 4\)

18. \(u_{t}=4u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(x-4),\quad 0\le x\le 2\)

19. \(u_{t}=9u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(1-x),\quad 0\le x\le 1\)

20. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2x^2(3-x),\quad 0\le x\le 2\)

21. \(u_{t}=5u_{xx},\quad 0<x<\sqrt{2},\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(\sqrt2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=3x^2(x^2-4),\quad 0\le x\le \sqrt2\)

22. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^3(3x-4),\quad 0\le x\le 1\)

23. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2(3x^2-8x+6),\quad 0\le x\le 1\)

24. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<\pi ,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2(x-\pi)^2,\quad 0\le x\le \pi\)

25. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=\sin\pi x,\quad 0\le x\le 1\)

26. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<\pi ,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(\pi-x),\quad 0\le x\le \pi\)

27. \(u_{t}=5u_{xx},\quad 0<x<2,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(2,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(4-x),\quad 0\le x\le 2\)

28. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2(3-2x),\quad 0\le x\le 1\)

29. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=(x-1)^3+1,\quad 0\le x\le 1\)

30. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(x^2-3),\quad 0\le x\le 1\)

31. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^3(3x-4),\quad 0\le x\le 1\)

32. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x(x^3-2x^2+2),\quad 0\le x\le 1\)

33. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<\pi ,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2(\pi-x),\quad 0\le x\le \pi\)

34. \(u_{t}=16u_{xx},\quad 0<x<2\pi ,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(2\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=4,\quad 0\le x\le 2\pi\)

35. \(u_{t}=9u_{xx},\quad 0<x<4,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(4,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^2,\quad 0\le x\le 4\)

36. \(u_{t}=3u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=1-x,\quad 0\le x\le 1\)

37. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=1-x^3,\quad 0\le x\le 1\)

38. \(u_{t}=7u_{xx},\quad 0<x<\pi ,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=\pi^2-x^2,\quad 0\le x\le \pi\)

39. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=4x^3+3x^2-7,\quad 0\le x\le 1\)

40. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2x^3+3x^2-5,\quad 0\le x\le 1\)

41. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^4-4x^3+6x^2-3,\quad 0\le x\le 1\)

42. \(u_{t}=u_{xx},\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^4-2x^3+1,\quad 0\le x\le 1\)

КВ 12.1.3

Вправи 12.1.43-12.1.46 розв'язують початково-крайову задачу. Провести чисельні експерименти для конкретних значень\(L\) і\(a\). Провести чисельні експерименти для вправ 12.1.43-12.1.46.

43. \(u_{t}=a^{2}u_{xx},\quad 0<x<L,\quad t>0,\)
\(u_{x}(0,t)=0,\quad u_{x}(L,t)=0,\quad t>0,\)
\(u(x,0)=\left\{\begin{array}{ll}{1,}&{0\leq x\leq\frac{L}{2}}\\{0,}&{\frac{L}{2}<x<L}\end{array} \right.\)

44. \(u_{t}=a^{2}u_{xx},\quad 0<x<L,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0,\quad t>0,\)
\(u(x,0)=\left\{\begin{array}{ll}{1,}&{0\leq x\leq\frac{L}{2}}\\{0,}&{\frac{L}{2}<x<L}\end{array} \right.\)

45. \(u_{t}=a^{2}u_{xx},\quad 0<x<L,\quad t>0,\)
\(u_{x}(0,t)=0,\quad u(L,t)=0,\quad t>0,\)
\(u(x,0)=\left\{\begin{array}{ll}{1,}&{0\leq x\leq\frac{L}{2}}\\{0,}&{\frac{L}{2}<x<L}\end{array} \right.\)

46. \(u_{t}=a^{2}u_{xx},\quad 0<x<L,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_{x}(L,t)=0,\quad t>0,\)
\(u(x,0)=\left\{\begin{array}{ll}{1,}&{0\leq x\leq\frac{L}{2}}\\{0,}&{\frac{L}{2}<x<L}\end{array} \right.\)

КВ 12.1.4

47. \(h\)Дозволяти бути безперервним на\([0,L]\) і нехай\(u_0\)\(u_L\), і\(a\) бути константами, с\(a>0\). Показати, що завжди можна знайти функцію,\(q\) яка задовольняє (a), (b) або (c), але що це не так для (d).

1. \(a^2q''+h=0,\quad q(0)=u_0,\quad q(L)=u_L\)
2. \(a^2q''+h=0,\quad q'(0)=u_0,\quad q(L)=u_L\)
3. \(a^2q''+h=0,\quad q(0)=u_0,\quad q'(L)=u_L\)
4. \(a^2q''+h=0,\quad q'(0)=u_0,\quad q'(L)=u_L\)

КВ 12.1.5

У вправах 12.1.48-12.1.53 розв'язати неоднорідну початково-крайову задачу

48. \(u_{t}=9u_{xx}-54x,\quad 0<x<4,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=1,\quad u(4,t)=61,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2-x+x^3,\quad 0\le x\le 4\)

49. \(u_{t}=u_{xx}-2,\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=1,\quad u(1,t)=3,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2x^2+1,\quad 0\le x\le 1\)

50. \(u_{t}=3u_{xx}-18x,\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=-1,\quad u(1,t)=-1,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^3-2x,\quad 0\le x\le 1\)

51. \(u_{t}=9u_{xx}-18,\quad 0<x<4,\quad t>0,\)
\(u_x(0,t)=-1,\quad u(4,t)=10,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2x^2-x-2,\quad 0\le x\le 4\)

52. \(u_{t}=u_{xx}+\pi ^{2}\sin\pi x,\quad 0<x<1,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=0,\quad u_x(1,t)=-\pi,\quad t>0\),
\(u(x,0)=2\sin\pi x,\quad 0\le x\le 1\)

53. \(u_{t}=u_{xx}-6x,\quad 0<x<L,\quad t>0,\)
\(u(0,t)=3,\quad u_x(1,t)=2,\quad t>0\),
\(u(x,0)=x^3-x^2+x+3,\quad 0\le x\le 1\)

Q12.1.6

54. У цій вправі сприйміть це так, що нескінченний ряд\(\sum_{n=1}^\infty n^pe^{-qn^2}\) сходиться для всіх\(p\) якщо\(q>0\), і, де це доречно, використовуйте тест порівняння для абсолютної збіжності нескінченного ряду.

Нехай

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n e^{-n^2\pi^2 a^2t/L^2}\sin{n\pi x\over L}\nonumber \]

де

\[\alpha_n={2\over L}\int_0^L f(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx\nonumber\]

і\(f\) є кусково-гладкою на\([0,L]\).

1. Показати,\(u\) що визначено для\((x,t)\) таких, що\(t>0\).
2. Для фіксованого\(t>0\), використовуйте теорему 12.1.2 з,\(z=x\) щоб показати, що\[u_{x}(x,t)=\frac{\pi }{L}\sum_{n=1}^{\infty}n\alpha _{n}e^{-n^{2}\pi ^{2}a^{2}t/L^{2}}\cos\frac{n\pi x}{L},\quad -\infty <x<\infty .\nonumber \]
3. Починаючи з результату (a), використовуйте теорему 12.1.2 з,\(z=x\) щоб показати, що для фіксованого\(t>0\),\[u_{xx}(x,t)=-\frac{\pi ^{2}}{L^{2}}\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}\alpha _{n}e^{-n^{2}\pi ^{2}a^{2}t/L^{2}}\sin\frac{n\pi x}{L},\quad -\infty <x<\infty .\nonumber\]
4. Для фіксованого, але довільного\(x\), використовуйте теорему 12.1.2 з,\(z=t\) щоб показати, що\[u_{t}(x,t)=-\frac{\pi ^{2}a^{2}}{L^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}\alpha _{n}e^{-n^{2}\pi ^{2}a^{2}/L^{2}}\sin\frac{n\pi x}{L},\nonumber\]\(t>t_0>0\) if, де\(t_0\) довільне додатне число. Тоді стверджуйте, що оскільки\(t_0\) є довільним, висновок тримається за всіх\(t>0\).
5. Зробіть висновок з (c) і (d), що\[u_{t}=a^{2}u_{xx},\quad -\infty <x<\infty ,\quad t>0.\nonumber \]

Повторно застосовуючи аргументи в (a) та (c), можна показати, що\(u\) можна диференціювати термін за терміном будь-яку кількість разів стосовно\(x\) та/або\(t\) якщо\(t>0\).