11.3E: Серія Фур'є II (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62301

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У вправах 11.3.2, 11.3.3, 11.3.5, 11.3.9-11.3.12, 11.3.14-11.3.16, 11.3.18, 11.3.20, 11.3.21, 11.3.24, 11.3.25, 11.3.27, 11.3.30, 11.3.36, 11.3.37 і 11.3.43 граф\(f\) і деякі часткові суми необхідних рядів. Якщо інтервал є\([0,L]\), виберіть конкретне значення\(L\) для графіка.

Q11.3.1

У вправах 11.3.1-11.3.10 знайти ряд косинусів Фур'є.

1. \(f(x)=x^2\);\([0,L]\)

2. \(f(x)=1-x\);\([0,1]\)

3. \(f(x)=x^2-2Lx\);\([0,L]\)

4. \(f(x)=\sin kx\)(\(k\ne\)Ціле число);\([0,\pi]\)

5. \(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 1,&0\le x\le{L\over2}\\0,&{L\over2}<x<L; \end{array}\right.\)\([0,L]\)

6. \(f(x)=x^2-L^2\);\([0,L]\)

7. \(f(x)=(x-1)^2\);\([0,1]\)

8. \(f(x)=e^x\);\([0,\pi]\)

9. \(f(x)=x(L-x)\);\([0,L]\)

10. \(f(x)=x(x-2L)\);\([0,L]\)

Q11.3.2

У вправах 11.3.11-11.3.17 знайти ряд синусів Фур'є

11. \(f(x)=1\);\([0,L]\)

12. \(f(x)=1-x\);\([0,1]\)

13. \(f(x)=\cos kx\)(\(k\ne\)Ціле число);\([0,\pi]\)

14. \(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 1,&0\le x\le{L\over2}\\0,&{L\over2}<x<L; \end{array}\right.\)\([0,L]\)

15. \(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} x,&0\le x\le{L\over2},\\L-x,&{L\over2}\le x\le L; \end{array}\right.\)\([0,L]\).

16. \(f(x)=x\sin x\);\([0,\pi]\)

17. \(f(x)=e^x\);\([0,\pi]\)

Q11.3.3

У вправах 11.3.18-11.3.24 знайти змішаний ряд косинусів Фур'є.

18. \(f(x)=1\);\([0,L]\)

19. \(f(x)=x^2\);\([0,L]\)

20. \(f(x)=x\);\([0,1]\)

21. \(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 1,&0\le x\le{L\over2}\\0,&{L\over2}<x<L; \end{array}\right.\)\([0,L]\)

22. \(f(x)=\cos x\);\([0,\pi]\)

23. \(f(x)=\sin x\);\([0,\pi]\)

24. \(f(x)=x(L-x)\);\([0,L]\)

Q11.3.4

У вправах 11.3.25-11.3.30 знайти змішаний ряд синусів Фур'є.

25. \(f(x)=1\);\([0,L]\)

26. \(f(x)=x^2\);\([0,L]\)

27. \(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 1,&0\le x\le{L\over2}\\0,&{L\over2}<x<L; \end{array}\right.\)\([0,L]\)

28. \(f(x)=\cos x\);\([0,\pi]\)

29. \(f(x)=\sin x\);\([0,\pi]\)

30. \(f(x)=x(L-x)\);\([0,L]\).

Q11.3.5

У вправах 11.3.31-11.3.34 використовувати теорему 11.3.5a, щоб знайти ряд косинусів Фур'є\(f\) про\([0,L]\).

31. \(f(x)=3x^2(x^2-2L^2)\)

32. \(f(x)=x^3(3x-4L)\)

33. \(f(x)=x^2(3x^2-8Lx+6L^2)\)

34. \(f(x)=x^2(x-L)^2\)

Q11.3.6

35.

Доведіть теорему 11.3.5b.
Крім припущень теореми 11.3.5b, припустимо\(f''(0)=f''(L)=0\),\(f'''\) є безперервним, і\(f^{(4)}\) є кусково-безперервним на\([0,L]\). Покажіть, що\[b_n={2L^3\over n^4\pi^4}\int_0^L f^{(4)}(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx, \quad n\ge1.\nonumber\]

Q11.3.7

У вправах 11.3.36-11.3.41 використовувати теорему 11.3.5b або, де це можливо, вправи 11.1.35b, щоб знайти ряд синуса Фур'є\(f\) на\([0,L]\).

36. \(f(x)=x(L-x)\)

37. \(f(x)=x^2(L-x)\)

38. \(f(x)=x(L^2-x^2)\)

39. \(f(x)=x(x^3-2Lx^2+L^3)\)

40. \(f(x)=x(3x^4-10L^2x^2+7L^4)\)

41. \(f(x)=x(3x^4-5Lx^3+2L^4)\)

Q11.3.8

42.

Доведіть теорему 11.3.5c.
На додаток до припущень теореми 11.3.5c, припустимо\(f''(L)=0\),\(f''\) є безперервним, і\(f'''\) є кусково-безперервним на\([0,L]\). Покажіть, що\[c_n={16L^2\over(2n-1)^3\pi^3}\int_0^L f'''(x)\sin{(2n-1)\pi x\over2L} \,dx,\quad n\ge1.\nonumber \]

Q11.3.9

У вправах 11.3.43-11.3.49 використовувати теорему 11.3.5c, або, де це можливо, Вправа 11.1.42b, щоб знайти змішаний ряд косинусів Фур'є\(f\) на\([0,L]\).

43. \(f(x)=x^2(L-x)\)

44. \(f(x)=L^2-x^2\)

45. \(f(x)=L^3-x^3\)

46. \(f(x)=2x^3+3Lx^2-5L^3\)

47. \(f(x)=4x^3+3Lx^2-7L^3\)

48. \(f(x)=x^4-2Lx^3+L^4\)

49. \(f(x)=x^4-4Lx^3+6L^2x^2-3L^4\)

КВ 11.3.10

50.

Доведіть теорему 11.3.5d.
Крім припущень теореми 11.3.5d, припустимо\(f''(0)=0\),\(f''\) є безперервним, і\(f'''\) є кусково-безперервним на\([0,L]\). Покажіть, що\[d_n=-{16L^2\over(2n-1)^3\pi^3}\int_0^L f'''(x)\cos{(2n-1)\pi x\over2L} \,dx,\quad n\ge1. \nonumber\]

Q11.3.11

У вправах 11.3.51-11.3.56 використовувати теорему 11.3.5d або, де це можливо, вправу 11.3.50b, щоб знайти змішаний ряд синуса Фур'є\(f\) на\([0,L]\).

51. \(f(x)=x(2L -x)\)

52. \(f(x)=x^2(3L-2x)\)

53. \(f(x)=(x-L)^3+L^3\)

54. \(f(x)=x(x^2-3L^2)\)

55. \(f(x)=x^3(3x-4L)\)

56. \(f(x)=x(x^3-2Lx^2+2L^3)\)

Q11.3.12

57. Показати, що змішаний ряд косинусів\([0,L]\) Фур'є\(f\) on є обмеженням рядів косинусів Фур'є\([0,L]\)

\[f_3(x)= \left\{\begin{array}{cl} f(x),&0\le x\le L,\\-f(2L-x),&L< x\le 2L \end{array}\right.\nonumber\]

на\([0,2L]\). Скористайтеся цим, щоб довести теорему 11.3.3.

58. Показати, що змішаний ряд синусів\([0,L]\) Фур'є від\(f\) on є обмеженням рядів синуса Фур'є\([0,L]\)

\[f_4(x)= \left\{\begin{array}{cl} f(x),&0\le x\le L,\\f(2L-x),&L< x\le 2L \end{array}\right.\nonumber\]

на\([0,2L]\). Скористайтеся цим, щоб довести теорему 11.3.4.

59. Показати, що ряд синусів\([0,L]\) Фур'є від\(f\) on є обмеженням рядів синуса Фур'є\([0,L]\)

\[f_3(x)= \left\{\begin{array}{cl} f(x),&0\le x\le L,\\-f(2L-x),&L< x\le 2L \end{array}\right.\nonumber\]

на\([0,2L]\).

60. Показати, що ряд косинусів\([0,L]\) Фур'є\(f\) on є обмеженням ряду косинусів Фур'є\([0,L]\)

\[f_4(x)= \left\{\begin{array}{cl} f(x),&0\le x\le L,\\f(2L-x),&L< x\le 2L \end{array}\right.\nonumber\]

на\([0,2L]\).