11.3: Серія Фур'є II

У цьому розділі розглядаються розкладення Фур'є з точки зору власних функцій задач 1-4 для розділу 11.1.

Косинус Фур'є

З вправи 11.1.20 власні функції

\[1,\, \cos{\pi x\over L}, \, \cos{2\pi x\over L},\dots, \, \cos{n\pi x\over L},\dots\nonumber \]

крайової задачі

\[\label{eq:11.3.1} y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y'(L)=0\]

(Проблема 2) є ортогональними\([0,L]\). Якщо\(f\) інтегрується на,\([0,L]\) то розширення Фур'є з\(f\) точки зору цих функцій називається рядом косинусів Фур'є\(f\) on\([0,L]\). Ця серія є

\[a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos{n\pi x\over L},\nonumber \]

де

\[a_0={\int_0^Lf(x)\,dx\over\int_0^L\,dx}={1\over L}\int_0^Lf(x)\,dx\nonumber \]

і

\[a_n={\displaystyle\int_0^Lf(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx\over\int_0^L \cos^2{n\pi x\over L}\,dx}={2\over L}\displaystyle\int_0^Lf(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx,\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber \]

Порівняння цього визначення з теоремою 11.2.6a показує, що ряд косинусів\([0,L]\) Фур'є\(f\) on є рядом Фур'є функції

\[f_{1}(x)=\left\{\begin{array}{cc}{f(-x),}&{-L<x<0,}\\{f(x),}&{}0\leq x\leq L\end{array} \right.\nonumber\]

отримано шляхом розширення\(f\)\([-L,L]\) як парну функцію (Рисунок Template:index).

Рисунок Template:index

Застосування теореми 11.2.4 для\(f_1\) отримання наступної теореми.

Теорема Template:index

Якщо\(f\) кусково-гладкий\([0,L]\), то ряд косинусів Фур'є

\[C(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos{n\pi x\over L}\nonumber \]

з\(f\) на\([0,L]\), з

\[a_0={1\over L}\int_0^Lf(x)\,dx \quad \text{and} \quad a_n={2\over L}\int_0^Lf(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx,\quad n=1,2,3,\dots,\nonumber \]

сходиться для всіх\(x\) в\([0,L];\) більш того,

\[C(x)=\left\{\begin{array}{cl}{f(0+),}&{\text{if }x=0}\\[5pt]{f(x),}&{\text{if } 0<x<L\text{ and }f \text{ is continuous at }x}\\[5pt]{\dfrac{f(x-)+f(x+)}{2},}&{\text{if }0<x<L\text{ and }f\text{ is discontinuous at }x}\\[5pt]{f(L-),}&{\text{if }x=L}\end{array} \right. \nonumber\]

Приклад Template:index

Знайти ряд косинусів Фур'є\(f(x)=x\) на\([0,L]\).

Коефіцієнти

\[a_0={1\over L}\int_0^Lx\,dx=\left. {1\over L}{x^2\over2} \right|_{0}^{L}={L\over2}\nonumber \]

і, якщо\(n\ge1\)

\[\begin{aligned} a_n&={2\over L}\int_0^Lx\cos{n\pi x\over L}\,dx =\left. {2\over n\pi}\left[x\sin{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L}- \int_0^L \sin{n\pi x\over L}\,dx\right]\\ &=-{2\over n\pi}\int_0^L \sin{n\pi x\over L}\,dx =\left.{2L\over n^2\pi^2}\cos{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L} ={2L\over n^2\pi^2}[(-1)^n-1]\\ &= \left\{\begin{array}{cl} -{4L\over(2m-1)^2\pi^2},&{\text{if }n=2m-1},\\ 0,&{\text{if }n=2m}. \end{array}\right.\end{aligned}\nonumber \]

Тому

\[C(x)=\frac{L}{2}-\frac{4L}{\pi ^{2}}\sum _{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}\cos\frac{(2n-1)\pi x}{L}\nonumber\]

Теорема Template:index означає, що

\[C(x)=x,\quad 0\le x\le L.\nonumber \]

Серія синусів Фур'є

З вправи 11.1.19 власні функції

\[\sin{\pi x\over L}, \, \sin{2\pi x\over L},\dots, \, \sin{n\pi x\over L},\dots\nonumber \]

крайової задачі

\[y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y(L)=0\nonumber \]

(Проблема 1) є ортогональними\([0,L]\). Якщо\(f\) інтегрується на,\([0,L]\) то розширення Фур'є з\(f\) точки зору цих функцій називається синусоїдальним рядом Фур'є\(f\) on\([0,L]\). Ця серія є

\[\sum_{n=1}^\infty b_n\sin{n\pi x\over L},\nonumber \]

де

\[b_n={\displaystyle\int_0^Lf(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx\over\displaystyle\int_0^L \sin^2{n\pi x\over L}\,dx}={2\over L}\int_0^Lf(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx,\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber \]

Порівняння цього визначення з теоремою 11.2.6b показує, що синус Фур'є ряд\(f\) on\([0,L]\) є рядом Фур'є функції

\[f_{2}(x)=\left\{\begin{array}{cc}{-f(-x),}&{-L<x<0}\\{f(x),}&{0\leq x\leq L,}\end{array} \right.\nonumber\]

отримано шляхом розширення\(f\)\([-L,L]\) як непарної функції (Рисунок Template:index).

Рисунок Template:index

Застосування теореми 11.2.4 для\(f_2\) отримання наступної теореми.

Теорема Template:index

Якщо\(f\) кусково-гладкий\([0,L]\), то ряди синуса Фур'є

\[S(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin{n\pi x\over L}\nonumber \]

з\(f\) на\([0,L]\), з

\[b_n={2\over L}\int_0^Lf(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx,\nonumber \]

сходиться для всіх\(x\) в\([0,L];\) більш того,

\[S(x)=\left\{\begin{array}{cl}{0}&{\text{if }x=0}\\[5pt]{f(x),}&{\text{if }0<x<L\text{ and }f\text{ is continuous at }x}\\[5pt]{\dfrac{f(x-)+f(x+)}{2},}&{\text{if }0<x<L\text{ and }f\text{ is discontinuous at }x}\\[5pt]{0,}&{\text{if }x=L}\end{array} \right.\nonumber\]

Приклад Template:index

Знайти синус Фур'є ряд\(f(x)=x\) on\([0,L]\).

Рішення

Коефіцієнти

\[\begin{aligned} b_n&={2\over L}\int_0^Lx\sin{n\pi x\over L}\,dx =\left.-{2\over n\pi}\left[x\cos{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L}- \int_0^L \cos{n\pi x\over L}\,dx\right]\\ &=\left. (-1)^{n+1}{2L\over n\pi}+{2L\over n^2\pi^2}\sin{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L} =(-1)^{n+1}{2L\over n\pi}.\end{aligned}\nonumber \]

Тому

\[S(x)=-{2L\over\pi}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n} \sin{n\pi x\over L}.\nonumber \]

Теорема Template:index означає, що

\[S(x)= \left\{\begin{array}{cl} x,&0\le x< L,\\0,& x=L. \end{array}\right.\nonumber \]

Змішана серія косинусів Фур'є

З вправи 11.1.22 власні функції

\[\cos{\pi x\over 2L}, \, \cos{3\pi x\over 2L},\dots, \, \cos{(2n-1)\pi x\over 2L},\dots\nonumber \]

крайової задачі

\[\label{eq:11.3.2} y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y(L)=0\]

(Проблема 4) є ортогональними\([0,L]\). Якщо\(f\) інтегрується на,\([0,L]\) то розширення Фур'є з\(f\) точки зору цих функцій

\[\sum_{n=1}^\infty c_n\cos{(2n-1)\pi x\over2L},\nonumber \]

де

\[c_n={\displaystyle\int_0^Lf(x)\cos{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx\over\displaystyle\int_0^L \cos^2{(2n-1)\pi x\over L}\,dx}={2\over L}\int_0^Lf(x)\cos{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx.\nonumber \]

Ми будемо називати це розширення змішаним рядом косинусів Фур'є\(f\) on\([0,L]\), оскільки граничні умови (Equation\ ref {eq:11.3.2}) є «змішаними» тим, що вони повинні бути нульовими в одній граничній точці і\(y'\) бути нульовими в іншій.\(y\) На відміну від цього, «звичайний» ряд косинусів Фур'є пов'язаний з (Equation\ ref {eq:11.3.1}), де граничні умови вимагають\(y'\) нульового значення в обох кінцевих точках.

Можна показати (Вправа 11.3.57), що змішаний ряд косинусів\([0,L]\) Фур'є\(f\) on є просто обмеженням рядів косинусів Фур'є\([0,L]\)

\[f_3(x)= \left\{\begin{array}{cl} f(x),&0\le x\le L,\\-f(2L-x),&L< x\le 2L \end{array}\right.\nonumber \]

на\([0,2L]\) (Рисунок Template:index).

Рисунок Template:index

Застосування теореми Template:index з\(f\) заміною\(f_3\) і\(L\) заміненою на\(2L\) дає наступну теорему.

Теорема Template:index

Якщо\(f\) кусково-гладкий\([0,L]\), то змішаний ряд косинусів Фур'є

\[C_M(x)=\sum_{n=1}^\infty c_n\cos{(2n-1)\pi x\over2L}\nonumber \]

з\(f\) на\([0,L]\), з

\[c_n={2\over L}\int_0^Lf(x)\cos{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx,\nonumber \]

сходиться для всіх\(x\) в\([0,L];\) більш того,

\[C_{M}(x)=\left\{\begin{array}{cl}{f(0+),}&{\text{if }x=0}\\[5pt]{f(x),}&{\text{if }0<x<L\text{ and }f\text{ is continuous at }x}\\[5pt]{\dfrac{f(x-)+f(x+)}{2},}&{\text{if }0<x<L\text{ and }f\text{ is discontinuous at }x}\\[5pt]{0,}&{\text{if }x=L}\end{array} \right.\nonumber\]

Приклад Template:index

Знайти змішаний ряд косинусів Фур'є\(f(x)=x-L\) на\([0,L]\).

Рішення

Коефіцієнти

\[\begin{aligned} c_n&={2\over L}\int_0^L(x-L)\cos{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx\\ &=\left.{4\over(2n-1)\pi}\left[(x-L)\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\right|_{0}^{L}-\int_0^L \sin{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx\right]\\ &=\left.{8L\over(2n-1)^2\pi^2} \cos{(2n-1)\pi x\over2L}\right|_{0}^{L} =-{8L\over(2n-1)^2\pi^2}.\end{aligned}\nonumber \]

Тому

\[C_M(x)=-{8L\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{1\over(2n-1)^2} \cos{(2n-1)\pi x\over2L}.\nonumber \]

Теорема Template:index означає, що

\[C_M(x)= x-L,\quad 0\le x\le L.\nonumber \]

Змішана серія синусів Фур'є

З вправи 11.1.21 власні функції

\[\sin{\pi x\over 2L}, \, \sin{3\pi x\over 2L},\dots, \, \sin{(2n-1)\pi x\over 2L},\dots\nonumber \]

крайової задачі

\[y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y'(L)=0\nonumber \]

(Проблема 3) є ортогональними\([0,L]\). Якщо\(f\) інтегрується на\([0,L]\), то розширення Фур'є з\(f\) точки зору цих функцій

\[\sum_{n=1}^\infty d_n\sin{(2n-1)\pi x\over2L},\nonumber \]

де

\[d_n={\displaystyle\int_0^Lf(x)\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx\over\displaystyle\int_0^L \sin^2{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx}={2\over L}\int_0^Lf(x)\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx.\nonumber \]

Ми назвемо це розширення змішаним синусом Фур'є серії\(f\) on\([0,L]\).

Можна показати (Вправа 11.3.58), що змішаний ряд синусів Фур'є від\(f\) on\([0,L]\) є просто обмеженням рядів синуса Фур'є\([0,L]\)

\[f_4(x)= \left\{\begin{array}{cl} f(x),&0\le x\le L,\\f(2L-x),&L< x\le 2L, \end{array}\right.\nonumber \]

на\([0,2L]\) (Рисунок Template:index).

Рисунок Template:index

Застосування теореми Template:index з\(f\) заміною\(f_4\) і\(L\) заміненою на\(2L\) дає наступну теорему.

Теорема Template:index

Якщо\(f\) кусково-гладкий\([0,L]\), то змішаний ряд синуса Фур'є

\[S_M(x)=\sum_{n=1}^\infty d_n\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\nonumber \]

з\(f\) на\([0,L]\), з

\[d_n={2\over L}\int_0^Lf(x)\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx,\nonumber \]

сходиться для всіх\(x\) в\([0,L];\) більш того,

\[S{M}(x)=\left\{\begin{array}{cl}{0,}&{\text{if }x=0}\\[5pt]{f(x),}&{\text{if }0<x<L\text{ and }f\text{ is continuous at }x}\\[5pt]{\dfrac{f(x-)+f(x+)}{2},}&{\text{if }0<x<L\text{ and }f\text{ is discontinuous at }x}\\[5pt]{f(L-),}&{\text{if }x=L}\end{array} \right.\nonumber\]

Приклад Template:index

Знайти змішаний ряд синусів Фур'є\(f(x)=x\) на\([0,L]\).

Рішення

Коефіцієнти

\[\begin{aligned} d_n&={2\over L}\int_0^Lx\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx\\ &=\left.-{4\over(2n-1)\pi}\left[x\cos{(2n-1)\pi x\over2L}\right|_{0}^{L}- \int_0^L \cos{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx\right]\\ &={4\over(2n-1)\pi} \int_0^L \cos{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx\\ &=\left.{8L\over(2n-1)^2\pi^2}\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\right|_{0}^{L}=(-1)^{n+1}{8L\over(2n-1)^2\pi^2}.\end{aligned}\nonumber \]

Тому

\[S_M(x)=-{8L\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over(2n-1)^2} \sin{(2n-1)\pi x\over2L}.\nonumber \]

Теорема Template:index означає, що

\[S_M(x)=x,\quad 0\le x\le L.\nonumber \]

Корисне спостереження

У додатках, що передбачають розширення в терміні власних функцій Задачі 1-4, розширені функції часто є поліномами, які задовольняють граничним умовам розглянутої задачі. У цьому випадку наступна теорема представляє ефективний спосіб отримання коефіцієнтів в розширенні.

Теорема Template:index

1. Якщо\(f'(0)=f'(L)=0\),\(f''\) є безперервним\(,\) і\(f'''\) є кусково-безперервним на\([0,L],\) потім\[\label{eq:11.3.3} f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos{n\pi x\over L}, \quad 0\le x\le L,\] з\[\label{eq:11.3.4} a_0={1\over L}\int_0^L f(x)\,dx \quad \text{and} \quad a_n= {2L^2\over n^3\pi^3}\int_0^L f'''(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx, \quad n\ge1.\] Тепер припустимо\(f'\) є безперервним і\(f''\) є кусково-безперервним на\([0,L].\)
2. Якщо\(f(0)=f(L)=0\), то\[f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin{n\pi x\over L}, \quad 0\le x\le L,\nonumber \] з\[\label{eq:11.3.5} b_n=-{2L\over n^2\pi^2}\int_0^L f''(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx.\]
3. Якщо\(f'(0)=f(L)=0\), то\[f(x)= \sum_{n=1}^\infty c_n\cos{(2n-1)\pi x\over2L}, \quad 0\le x\le L,\nonumber \] з\[\label{eq:11.3.6} c_n=-{8L\over(2n-1)^2\pi^2}\int_0^L f''(x)\cos{(2n-1)\pi x\over2L} \,dx.\]
4. Якщо\(f(0)=f'(L)=0\), то\[f(x)= \sum_{n=1}^\infty d_n\sin{(2n-1)\pi x\over2L}, \quad 0\le x\le L,\nonumber \] з\[\label{eq:11.3.7} d_n=-{8L\over(2n-1)^2\pi^2}\int_0^L f''(x)\sin{(2n-1)\pi x\over2L} \,dx.\]

Доказ

Доведемо (а), а решту залишимо вам (Вправи 11.3.35, 11.3.42 і 11.3.50). Оскільки\(f\) є безперервним\([0,L]\), теорема Template:index передбачає (Рівняння\ ref {eq:11.3.3}) з\(a_0\),\(a_1\),\(a_2\),... як визначено в теоремі Template:index. Ми вже знаємо, що\(a_0\) є як в (Рівняння\ ref {eq:11.3.4}). Якщо\(n\ge1\), інтеграція двічі по частинам дає

\[\begin{aligned} a_n&= {2\over L}\int_0^L f(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx\\ &=\left.{2\over n\pi}\left[f(x)\sin{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L} -\int_0^Lf'(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx\right]\\ &=-{2\over n\pi} \int_0^Lf'(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx \mbox{ (since $\sin0=\sin n\pi=0$)}\\ &=\left.{2L\over n^2\pi^2}\left[f'(x)\cos{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L} -\int_0^Lf''(x)\cos{n\pi x\over L}\right]\,dx\\ &= -{2L\over n^2\pi^2}\int_0^Lf''(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx \mbox{ (since $f'(0)=f'(L)=0$)}\\ &=\left.-{2L^2\over n^3\pi^3}\left[f''(x)\sin{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L} -\int_0^Lf'''(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx\right]\\ &= {2L^2\over n^3\pi^3}\int_0^Lf'''(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx \mbox{ (since $\sin0=\sin n\pi=0$).}\end{aligned}\nonumber \]

(За аргументом, подібним до того, який використовується у доведенні теореми 8.3.1, остання інтеграція частинами є законною у випадку, коли\(f'''\) не визначено в скінченно багатьох точках\([0,L]\), доки вона є кусково безперервною\([0,L]\).) На цьому доказ завершено.

Приклад Template:index

Знайдіть косинусне розширення Фур'є\(f(x)=x^2(3L-2x)\) на\([0,L]\).

Рішення

Тут

\[a_0={1\over L}\int_0^L(3Lx^2-2x^3)\,dx=\left.{1\over L}\left(Lx^3-{x^4\over2} \right)\right|_{0}^{L}={L^3\over2}\nonumber \]

і

\[a_n={2\over L}\int_0^L(3Lx^2-2x^3)\cos{n\pi x\over L}\,dx,\quad n\ge1.\nonumber \]

Оцінка цього інтеграла безпосередньо трудомістка. Однак, з тих пір\(f'(x)=6Lx-6x^2\), ми це бачимо\(f'(0)=f'(L)=0\). Оскільки\(f'''(x)=-12\), ми бачимо з (Рівняння\ ref {eq:11.3.4}), що якщо\(n\ge1\) тоді

\[\begin{aligned} a_n&=-{24L^2\over n^3\pi^3}\int_0^L\sin{n\pi x\over L}\,dx =\left.{24L^3\over n^4\pi^4}\cos{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L}={24L^3\over n^4\pi^4}[(-1)^n-1]\\ &= \left\{\begin{array}{cl} -{48L^3\over(2m-1)^4\pi^4},&\mbox{if $n=2m-1$},\\ 0,&\mbox{if $n=2m$.} \end{array}\right.\end{aligned}\nonumber \]

Тому

\[C(x)={L^3\over2}-{48L^3\over\pi^4}\sum_{n=1}^\infty{1\over (2n-1)^4}\cos{(2n-1)\pi x\over L}.\nonumber \]

Приклад Template:index

Знайдіть розширення синуса Фур'є\(f(x)=x(x^2-3Lx+2L^2)\) вкл\([0,L]\).

Рішення

Оскільки\(f(0)=f(L)=0\) і\(f''(x)=6(x-L)\), ми бачимо з (Рівняння\ ref {eq:11.3.5}), що

\[\begin{aligned} b_n&=- {12L\over n^2\pi^2}\int_0^L(x-L)\sin{n\pi x\over L}\,dx\\ &=\left.{12L^2\over n^3\pi^3}\left[(x-L)\cos{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L} -\int_0^L\cos{n\pi x\over L}\,dx\right]\\ &=\left.{12L^2\over n^3\pi^3}\left[L-\frac{L}{n\pi}\sin\frac{n\pi x}{L}\right|_{0}^{L}\right] ={12L^3\over n^3\pi^3}.\end{aligned}\nonumber \]

Тому

\[S(x)=\frac{12L^{3}}{\pi ^{3}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}\sin\frac{n\pi x}{L}\nonumber\]

Приклад Template:index

Знайти змішане косинусне розширення Фур'є\(f(x)=3x^3-4Lx^2+L^3\) на\([0,L]\).

Рішення

Оскільки\(f'(0)=f(L)=0\) і\(f''(x)=2(9x-4L)\), ми бачимо з (Рівняння\ ref {eq:11.3.6}), що

\[\begin{aligned} c_n&= -{16L\over(2n-1)^2\pi^2} \int_0^L(9x-4L)\cos{(2n-1)\pi x\over2L}\,dx\\ &=\left.-{32L^2\over(2n-1)^3\pi^3}\left[(9x-4L)\sin{(2n-1)\pi x\over2L} \right|_{0}^{L}-9\int_0^L\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\right]\,dx\\ &=\left.-{32L^2\over(2n-1)^3\pi^3} \left[(-1)^{n+1}5L+{18L\over(2n-1)\pi}\cos{(2n-1)\pi x\over2L} \right|_{0}^{L}\right] \\ &={32L^3\over(2n-1)^3\pi^3} \left[(-1)^n5+{18\over(2n-1)\pi}\right].\end{aligned}\nonumber \]

Тому

\[C_{M}(x)=\frac{32L^{3}}{\pi ^{3}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{3}}\left[(-1)^{n}5+\frac{18}{(2n-1)\pi } \right]\cos\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\nonumber\]

Приклад Template:index

Знайти змішане розширення синуса Фур'є

\[f(x)=x(2x^2-9Lx+12L^2)\nonumber \]

на\([0,L]\).

Рішення

Оскільки\(f(0)=f'(L)=0\), і\(f''(x)=6(2x-3L)\), ми бачимо з (Рівняння\ ref {eq:11.3.7}), що

\[\begin{aligned} d_{n}&=-\frac{48L}{(2n-1)^{2}\pi ^{2}}\int_{0}^{L}(2x-3L)\sin\frac{(2n-1)\pi x}{2L}dx \\ &=\left.\frac{96L^{2}}{(2n-1)^{3}\pi ^{3}}\left[(2x-3L)\cos\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\right|_{0}^{L} - 2\int_{0}^{L}\cos\frac{(2n-1)\pi x}{2L}dx \right] \\ &=\left. \frac{96L^{2}}{(2n-1)^{3}\pi ^{3}}\left[3L-\frac{4L}{(2n-1)\pi }\sin\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\right|_{0}^{L} \right] \\&=\frac{96L^{3}}{(2n-1)^{3}\pi ^{3}}\left[3+(-1)^{n}\frac{4}{(2n-1)\pi } \right] \end{aligned}\nonumber\]

Тому

\[S_{M}(x)=\frac{96L^{3}}{\pi ^{3}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{3}}\left[3+(-1)^{n}\frac{4}{(2n-1)\pi } \right]\sin\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\nonumber\]