11.2E: Серія Фур'є I (вправи)

Q11.2.1

1. Довести теорему 11.1.5.

КВ. 11.2.2

У вправах 11.2.2-11.2.16 знайти ряд Фур'є\(f\) про\([-L,L]\) і визначити його суму для\(-L\leq x\leq L\). Графік\(f\) для вправ 11.2.2, 11.2.6, 11.2.8, 11.2.15 і 11.2.16 і\[F_{m}(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{m}\left( a_{n}\cos\frac{n\pi x}{L}+b_{n}\sin\frac{n\pi x}{L} \right)\nonumber \] на тих же осях для змінних значень\(m\).

2. \(L=1\);\(f(x)=2-x\)

3. \(L=\pi\);\(f(x)=2x-3x^2\)

4. \(L=1\);\(f(x)=1-3x^2\)

5. \(L=\pi\);\(f(x)=|\sin x|\)

6. \(L=\pi\);\(f(x)=x\cos x\)

7. \(L=\pi\);\(f(x)=|x|\cos x\)

8. \(L=\pi\);\(f(x)=x\sin x\)

9. \(L=\pi\);\(f(x)=|x|\sin x\)

10. \(L=1\);\(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 0,&-1<x<{1\over2},\\ \cos\pi x,&-{1\over2}<x<{1\over2},\\ 0,&\phantom{-}{1\over2}<x<1 \end{array}\right.\)

11. \(L=1\);\(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 0,&-1<x<{1\over2},\\ x\cos\pi x,&-{1\over2}<x<{1\over2},\\ 0,&\phantom{-}{1\over2}<x<1 \end{array}\right.\)

12. \(L=1\);\(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 0,&-1<x<{1\over2},\\ \sin\pi x,&-{1\over2}<x<{1\over2},\\ 0,&\phantom{-}{1\over2}<x<1 \end{array}\right.\)

13. \(L=1\);\(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 0,&-1<x<{1\over2},\\ |\sin\pi x|,&-{1\over2}<x<{1\over2},\\ 0,&\phantom{-}{1\over2}<x<1 \end{array}\right.\)

14. \(L=1\);\(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 0,&-1<x<{1\over2},\\ x\sin\pi x,&-{1\over2}<x<{1\over2},\\ 0,&\phantom{-}{1\over2}<x<1 \end{array}\right.\)

15. \(L=4\);\(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 0,&-4<x<0,\\x,&\phantom{-}0<x<4 \end{array}\right.\)

16. \(L=1\);\(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} x^2,&-1< x<0, \\1-x^2,&\phantom{-}0<x<1 \end{array}\right.\)

Q11.2.3

17. Перевірте явище Гіббса для\(f(x)= \left\{\begin{array}{rl} 2,&-2< x< -1,\\1,&-1<x<1,\\-1,&\phantom{-}1< x<2. \end{array}\right.\)

18. Перевірте явище Гіббса для\(f(x)= \left\{\begin{array}{rl} 2,&-3< x< -2,\\3,&-2<x<2,\\1,&\phantom{-}2< x<3. \end{array}\right.\)

19. Вивести з прикладу 11.2.5, що

\[\sum_{n=0}^\infty{1\over(2n+1)^2}={\pi^2\over 8}.\nonumber \]

20.

1. Знайдіть ряд Фур'є\(f(x)=e^x\) по\([-\pi,\pi]\).
2. Вивести з (а) що\[\sum_{n=0}^\infty{1\over n^2+1}={\pi\coth\pi-1\over2}.\nonumber \]

21. Знайдіть ряд Фур'є\(f(x)=(x-\pi)\cos x\) по\([-\pi,\pi]\).

22. Знайдіть ряд Фур'є\(f(x)=(x-\pi)\sin x\) по\([-\pi,\pi]\).

23. Знайти ряд Фур'є\(f(x)=\sin kx\) (\(k\ne\)ціле число) на\([-\pi,\pi]\).

24. Знайти ряд Фур'є\(f(x)=\cos kx\) (\(k\ne\)ціле число) на\([-\pi,\pi]\).

25.

1. \(g'\)Припустимо, безперервний на\([a,b]\) і\(\omega\ne0\). Використовуйте інтеграцію по частинам, щоб показати, що є постійна\(M\) така, що\[\left|\int_a^bg(x)\cos\omega x\,dx\right|\le{M\over\omega} \quad \text{and} \quad \left|\int_a^bg(x)\sin\omega x\,dx\right|\le{M\over\omega},\quad \omega>0.\nonumber\]
2. Показати, що висновок (а) також тримає, якщо\(g\) є кусково гладким\([a,b]\). (Це особливий випадок Лемми Рімана.
3. Ми говоримо, що послідовність\(\{\alpha_n\}_{n=1}^\infty\) порядку\(n^{-k}\) і писати,\(\alpha_n=O(1/n^k)\) якщо є постійна\(M\) така, що\[|\alpha_n|<{M\over n^k},\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber \] Дозволяти\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) і\(\{b_n\}_{n=1}^\infty\) бути коефіцієнти Фур'є з кусково гладкою функції. Зробіть висновок з (б), що\(a_n=O(1/n)\) і\(b_n=O(1/n)\).

26.

1. Припустимо\(f(-L)=f(L)\)\(f'(-L)=f'(L)\),,\(f'\) є безперервним, і\(f''\) є кусково-безперервним на\([-L,L]\). Використовуйте теорему 11.2.4 та інтеграцію частинами, щоб показати, що\[f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos{n\pi x\over L}+b_n\sin{n\pi x\over L}\right),\quad -L\le x\le L,\nonumber \] з\[a_0={1\over 2L}\int_{-L}^L f(x)\,dx,\nonumber \]\[a_n= -{L\over n^2\pi^2}\int_{-L}^L f''(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx,\quad \text{and} \quad b_n=-{L\over n^2\pi^2}\int_{-L}^L f''(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx,\,n\ge1.\nonumber \]
2. Показати, що якщо, крім припущень в (а),\(f''\) є безперервним і\(f'''\) є кусково-безперервним на\([-L,L]\), то\[a_n={L^2\over n^3\pi^3}\int_{-L}^Lf'''(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx.\nonumber \]

27. Показати, що якщо\(f\) інтегрується на\([-L,L]\) і\[f(x+L)=f(x),\quad -L<x<0\nonumber \] (рис. 11.2.8), то ряд Фур'є\(f\) on\([-L,L]\) має вигляд\[A_0+\sum_{n=1}^\infty\left(A_n\cos{2n\pi\over L}+B_n\sin{2n\pi\over L}\right)\nonumber \] де\[A_0={1\over L}\int_0^Lf(x)\,dx,\nonumber \] і\[A_n={2\over L}\int_0^Lf(x)\cos{2n\pi x\over L}\,dx, \quad B_n={2\over L}\int_0^Lf(x)\sin{2n\pi x\over L}\,dx,\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber \]

Малюнок 11.2.8:\(y=f(x)\), де\(f(x+L)=f(x), -L<x<0\)

Малюнок 11.2.9:\(y=f(x)\), де\(f(x+L)=-f(x), -L<x<0\)

28. Показати, що якщо\(f\) інтегрується на\([-L,L]\) і

\[f(x+L)=-f(x),\quad -L<x<0\nonumber \]

(Рис. 11.2.9), тоді ряд\([-L,L]\) Фур'є\(f\) on має вигляд

\[\sum_{n=1}^\infty\left(A_n\cos{(2n-1)\pi x\over L}+B_n\sin{(2n-1)\pi x\over L}\right),\nonumber \]

де

\[A_n={2\over L}\int_0^Lf(x)\cos{(2n-1)\pi x\over L}\,dx \quad \text{and} \quad B_n={2\over L}\int_0^Lf(x)\sin{(2n-1)\pi x\over L}\,dx,\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber \]

29. Припустимо\(\phi_1\)\(\phi_2\),,...,\(\phi_m\) ортогональні на\([a,b]\) і

\[\int_a^b\phi_n^2(x)\,dx\ne0,\quad n=1,2,\dots,m.\nonumber \]

Якщо\(a_1\),,...\(a_2\),\(a_m\) є довільними дійсними числами, визначте

\[P_m=a_1\phi_1+a_2\phi_2+\cdots+a_m\phi_m.\nonumber \]

Нехай

\[F_m=c_1\phi_1+c_2\phi_2+\cdots+c_m\phi_m,\nonumber \]

де

\[c_n={\int_a^bf(x)\phi_n(x)\,dx\over\int_a^b\phi_n^2(x)\,dx};\nonumber \]

тобто,,\(c_1\),...\(c_2\),\(c_m\) є коефіцієнтами Фур'є\(f\).

1. Покажіть, що\[\int_a^b(f(x)-F_m(x))\phi_n(x)\,dx=0,\quad n=1,2,\dots,m.\nonumber \]
2. Покажіть, що\[\int_a^b(f(x)-F_m(x))^2\,dx\le \int_a^b(f(x)-P_m(x))^2\,dx,\nonumber \] з рівністю, якщо і тільки якщо\(a_n=c_n\),\(n=1,2,\dots, m\).
3. Покажіть, що\[\int_a^b(f(x)-F_m(x))^2\,dx=\int_a^bf^2(x)\,dx-\sum_{n=1}^mc_n^2\int_a^b \phi_n^2\,dx.\nonumber \]
4. Зробіть висновок з (c), що\[\sum_{n=1}^m c_n^2\int_a^b\phi_n^2(x)\,dx\le \int_a^bf^2(x)\,dx.\nonumber \]

30. Якщо\(A_0\),\(A_1\),...,\(A_m\) і\(B_1\),\(B_2\),...,\(B_m\) довільні константи ми говоримо, що

\[P_m(x)=A_0+\sum_{n=1}^m\left(A_n\cos{n\pi x\over L}+B_n\sin{n\pi x\over L}\right)\nonumber \]

є тригонометричним поліном ступеня\(\le m\).

Тепер нехай

\[a_0+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos{n\pi x\over L}+b_n\sin{n\pi x\over L}\right)\nonumber \]

бути рядами Фур'є інтегровної функції\(f\) на\([-L,L]\), і нехай

\[F_m(x)= a_0+\sum_{n=1}^m\left(a_n\cos{n\pi x\over L}+b_n\sin{n\pi x\over L}\right).\nonumber \]

1. Зробіть висновок з вправи 11.2.29b, що\[\int_{-L}^L(f(x)-F_m(x))^2\,dx\le \int_{-L}^L(f(x)-P_m(x))^2\,dx,\nonumber \] з рівністю якщо і тільки\(A_n=a_n\) тоді\(n=0\),\(1\),,...,\(m\),\(B_n=b_n\), і\(n=1\),\(2\),,...,\(m\).
2. Зробіть висновок з вправи 11.2.29d, що\[2a_0^2+\sum_{n=1}^m(a_n^2+b_n^2)\le{1\over L}\int_{-L}^Lf^2(x)\,dx\nonumber \] для кожного\(m\ge0\).
3. Зробіть висновок з (б), що\(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0\).