11.2: Фур'є серія I
- Page ID
- 62296
У прикладі 11.1.4 та вправах 11.1.4-11.1.22 ми побачили, що власні функції задачі 5 ортогональні,\([-L,L]\) а власні функції Задачі 1—4 ортогональні\([0,L]\). У цьому розділі та наступному ми вводимо деякі серійні розширення з точки зору цих власних функцій. Ми будемо використовувати ці розширення для вирішення рівнянь з частинними похідними в главі 12.
Припустимо, функції\(\phi_1,\)\(\phi_2,\)\(\phi_3,\)...\(,\) ортогональні на\([a,b]\) і
\[\label{eq:11.2.1} \int_a^b\phi_n^2(x)\,dx\ne0,\quad n=1,2,3,\dots.\]
Нехай\(c_1,\)\(c_2,\)\(c_3,\)... бути константами такими, що часткові суми\(\displaystyle f_N(x)=\sum_{m=1}^N c_m\phi_m(x)\) задовольняють нерівності
\[|f_N(x)|\le M,\quad a\le x\le b,\quad N=1,2,3,\dots\nonumber \]
для деяких постійних\(M<\infty.\) Припустимо також, що серія
\[\label{eq:11.2.2} f(x)=\sum_{m=1}^\infty c_m\phi_m(x)\]
сходиться і інтегрується на\([a,b]\). Тоді
\[\label{eq:11.2.3} c_n={\displaystyle \int_a^bf(x)\phi_n(x)\,dx\over\displaystyle \int_a^b\phi_n^2(x)\,dx},\quad n=1,2,3,\dots.\]
- Доказ
-
Множення рівняння\ ref {eq:11.2.2}\(\phi_n\) та інтеграція прибутковості
\[\label{eq:11.2.4} \int_a^b f(x)\phi_n(x)\,dx=\int_a^b \phi_n(x)\left(\sum_{m=1}^\infty c_m\phi_m(x)\right)\,dx.\]
Показано, що обмеженість частинних сум\(\displaystyle \{f_N\}_{N=1}^\infty\) і інтегровність\(f\) дозволяють обмінюватися операціями інтеграції та підсумовування праворуч від Рівняння\ ref {eq:11.2.4}, а також переписати Equation\ ref {eq:11.2.4} як
\[\label{eq:11.2.5} \int_a^b f(x)\phi_n(x)\,dx=\sum_{m=1}^\infty c_m \int_a^b\phi_n(x) \phi_m(x)\,dx.\]
(Це нелегко довести.) Так як
\[\int_a^b\phi_n(x)\phi_m(x)\,dx=0\quad \text{if} \quad m\ne n,\nonumber \]
Рівняння\ ref {eq:11.2.5} зменшується до
\[\int_a^bf(x) \phi_n(x)\,dx=c_n\int_a^b\phi_n^2(x)\,dx.\nonumber \]
Тепер рівняння\ ref {eq:11.2.1} передбачає рівняння\ ref {eq:11.2.3}.
Теорема Template:index мотивує наступне визначення.
Припустимо\(\phi_1,\)\(\phi_2\),...\(\phi_n\),,... ортогональні на\([a,b]\) і\(\displaystyle \int_a^b\phi_n^2(x)\,dx\ne0\),\(n=1\),\(2\),\(3\),... Дозвольте\(f\) інтегруватися\([a,b],\) і визначати
\[\label{eq:11.2.6} c_n={\displaystyle \int_a^bf(x)\phi_n(x)\,dx\over\displaystyle \int_a^b\phi_n^2(x)\,dx},\quad n=1,2,3,\dots.\]
Тоді нескінченний ряд\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n\phi_n(x)\) називається розширенням Фур'є з\(f\) точки зору ортогональної множини\(\displaystyle \{\phi_n\}_{n=1}^\infty\)\(c_1\), а\(c_2\),,...\(c_n\),,... називаються коефіцієнтами Фур'є щодо\(f\) до\(\displaystyle \{\phi_n\}_{n=1}^\infty\). Вказуємо взаємозв'язок між\(f\) і його розширенням Фур'є по
\[\label{eq:11.2.7} f(x)\sim\sum_{n=1}^\infty c_n\phi_n(x),\quad a\le x\le b.\]
Ви можете задатися питанням, чому ми не пишемо
\[f(x)=\sum_{n=1}^\infty c_n\phi_n(x),\quad a\le x\le b,\nonumber \]
а не рівняння\ ref {еква:11.2.7}. На жаль, це не завжди так. Ряд праворуч може розходитися для одних або всіх значень\(x\) in\([a,b]\), або він може сходитися\(f(x)\) для одних значень,\(x\) а не для інших. Отже, на даний момент, ми будемо просто думати про ряд як пов'язані з\(f\) через визначення коефіцієнтів\(\{c_n\}\), і ми будемо вказувати цю асоціацію неофіційно, як в Equation\ ref {eq:11.2.7}.
Серія Фур'є
Тепер ми вивчимо розширення Фур'є з точки зору власних функцій.
\[1,\, \cos{\pi x\over L},\, \sin{\pi x\over L}, \, \cos{2\pi x\over L}, \, \sin{2\pi x\over L},\dots, \cos{n\pi x\over L}, \, \sin{n\pi x\over L},\dots.\nonumber \]
завдання 5. Якщо\(f\) інтегрується на\([-L,L]\), то його розширення Фур'є з точки зору цих функцій називається рядом Фур'є\(f\) on\([-L,L]\). Так як
\[\int_{-L}^L 1^2\,dx=2L,\nonumber \]
\[\int_{-L}^L\cos^2{n\pi x\over L}\,dx = \left.{1\over2}\int_{-L}^L\left(1+\cos{2n\pi x\over L}\right)\,dx= {1\over2}\left(x+{L\over2n\pi}\sin{2n\pi x\over L}\right) \right|_{-L}^{L}=L,\nonumber \]
і
\[\int_{-L}^L\sin^2{n\pi x\over L}\,dx = \left. {1\over2}\int_{-L}^L\left(1-\cos{2n\pi x\over L}\right)\,dx= {1\over2}\left(x-{L\over2n\pi}\sin{2n\pi x\over L}\right), \right|_{-L}^{L}=L,\nonumber \]
ми бачимо з Рівняння\ ref {eq:11.2.6}, що ряд\([-L,L]\) Фур'є\(f\) на
\[a_0+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos{n\pi x\over L}+b_n\sin{n\pi x\over L}\right),\nonumber \]
де
\[a_0={1\over 2L}\int_{-L}^L f(x)\,dx,\nonumber \]
\[a_n= {1\over L}\int_{-L}^L f(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx,\quad \text{and} \quad b_n={1\over L}\int_{-L}^L f(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx,\,n\ge1.\nonumber \]
Зверніть увагу,\(a_0\) що середнє значення\(f\) on\([-L,L]\), while\(a_n\) and\(b_n\) (for\(n\ge1\)) в два рази більше середніх значень
\[f(x)\cos{n\pi x\over L}\quad\mbox{ and }\quad f(x)\sin{n\pi x\over L}\nonumber \]
на\([-L,L]\), відповідно.
Конвергенція рядів Фур'є
Питання збіжності рядів Фур'є для довільних інтегровних функцій виходить за рамки цієї книги. Однак ми можемо констатувати теорему, яка вирішує це питання для більшості функцій, що виникають у додатках.
\(f\)Функція, як кажуть, буде кусково гладкою,\([a,b]\) якщо:
- \(f\)має максимум скінченно багато точок розриву в\((a,b)\);
- \(f'\)існує і є безперервним, за винятком, можливо, в скінченно багатьох точках\((a,b)\);
- \(\displaystyle f(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f(x)\)і\(\displaystyle f'(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f'(x)\) існувати якщо\(a\le x_0<b\);
- \(\displaystyle f(x_0-)=\lim_{x\to x_0-}f(x)\)і\(\displaystyle f'(x_0-)=\lim_{x\to x_0-}f'(x)\) існувати, якщо\(a< x_0\le b\).
Оскільки\(f\) і\(f'\) повинні бути безперервними на всіх, але скінченно багато точок в\([a,b]\),\(f(x_0+)=f(x_0-)\) і\(f'(x_0+)=f'(x_0-)\) для всіх, але скінченно багато значень\(x_0\) в\((a,b)\). Нагадаємо з розділу 8.1,\(f\) який, як кажуть, має стрибок розриву при\(x_0\) if\(f(x_0+)\ne f(x_0-)\).
Наступна теорема дає достатні умови збіжності ряду Фур'є. Доказ виходить за рамки цієї книги.
Якщо\(f\) по кусково-гладкому\([-L,L]\), то ряд Фур'є
\[\label{eq:11.2.8}F(x)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{n\pi x}{L}+b_{n}\sin\frac{n\pi x}{L} \right)\]з\(f\) на\([-L,L]\) сходиться для всіх\(x\) в\([-L,L]\); крім того,
\[F(x)=\left\{\begin{array}{cc}{f(x),}&{\text{if }-L<x<L\text{ and }f\text{ is continuous at }x}\\{\dfrac{f(x-)+f(x+)}{2},}&{\text{if }-L<x<L \text{ and }f \text{ is discontinuous at }x}\\{\dfrac{f(-L+)+f(L-)}{2},}&{\text{if }x=L\text{ or }x=-L}\end{array} \right.\nonumber\]
Оскільки\(f(x+)=f(x-)\)\(f\) це безперервно\(x\), ми також можемо сказати, що
\[F(x)=\left\{\begin{array}{cc}{\dfrac{f(x+)+f(x-)}{2},}&{\text{if }-L<x<L}\\{\dfrac{f(L-)+f(-L+)}{2},}&{\text{if }x=\pm L}\end{array} \right.\nonumber\]
Зверніть увагу,\(F\) що сама по собі кусково плавна\([-L,L]\), і\(F(x)=f(x)\) у всіх точках відкритого інтервалу\((-L,L)\) де\(f\) безперервна. Оскільки ряд у Equation\ ref {eq:11.2.8} сходиться до\(F(x)\) for\(x\) all in\([-L,L]\), у вас може виникнути спокуса зробити висновок, що помилка
\[E_N(x)= \left|F(x)-a_0-\sum_{n=1}^N\left(a_n\cos{n\pi x\over L}+b_n\sin{n\pi x\over L}\right)\right|\nonumber \]
можна зробити так маленьким, як нам заманеться для всіх\(x\)\([-L,L]\), вибравши\(N\) досить великий. Однак це не так, якщо\(f\) має розрив десь у\((-L,L)\), або якщо\(f(-L+)\ne f(L-)\). Ось така ситуація в даному випадку.
Якщо\(f\) має стрибок розриву\(\alpha\) в точці\((-L,L)\), будуть послідовності точок\(\{u_N\}\) і\(\{v_N\}\) в\((-L,\alpha)\) і\((\alpha,L)\), відповідно, такі, що
\[\lim _{N\to\infty}u_{N}=\lim _{N\to\infty}v_{N}=\alpha \nonumber \]
і
\[E_N(u_N)\approx .09|f(\alpha-)-f(\alpha+)| \quad \text{and} \quad E_N(v_N)\approx .09|f(\alpha-)-f(\alpha+)|.\nonumber \]
Таким чином, максимальне значення похибки\(E_N(x)\) поблизу\(\alpha\) не наближається до нуля як\(N\to\infty\), а просто відбувається ближче і ближче до\((\) і з обох сторін\()\)\(\alpha\), і по суті не залежить від\(N\).
Якщо\(f(-L+)\ne f(L-)\), то будуть послідовності точок\(\{u_N\}\) і\(\{v_N\}\) в\((-L,L)\) такій, що
\[\lim_{N\to\infty}u_N=-L,\quad \lim_{N\to\infty}v_N=L,\nonumber \]
\[E_N(u_N)\approx .09|f(-L+)-f(L-)| \quad \text{and} \quad E_N(v_N)\approx .09|f(-L+)-f(L-)|.\nonumber \]
Це явище Гіббса. Отримавши попередження про це, ви можете побачити його на малюнках Template:index - Template:index, нижче; однак, ми наведемо конкретний приклад в кінці цього розділу.
Знайти ряд Фур'є кусково-гладкої функції
\[f(x)= \left\{\begin{array}{rlr} -x,&-2< x<0, \\{1\over2},&\phantom{-}0<x<2 \end{array}\right.\nonumber \]
на\([-2,2]\) (Рисунок Template:index). Визначте суму ряду Фур'є для\(-2\le x\le 2\).
Рішення
Зверніть увагу, що ми не спромоглися визначити\(f(-2)\)\(f(0)\), і\(f(2)\). Незалежно від того, як вони можуть бути визначені,\(f\) є кусково гладкими\([-2,2]\), а коефіцієнти в рядах Фур'є
\[F(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos{n\pi x\over2}+b_n\sin{n\pi x\over2}\right)\nonumber \]
не схильні до них. У будь-якому випадку теорема Template:index означає, що\(F(x)=f(x)\) в\((-2,0)\) і\((0,2)\), де\(f\) є безперервним, в той час як
\[F(-2)=F(2)={f(-2+)+f(2-)\over2}= {1\over2}\left(2+{1\over2}\right)={5\over4}\nonumber \]
і
\[F(0)={f(0-)+f(0+)\over2}={1\over2}\left(0+{1\over2}\right)={1\over4}.\nonumber \]
Підводячи підсумок,
\[F(x)= \left\{\begin{array}{rl} {5\over4},&\phantom{-}x=-2\\ -x,&-2<x<0,\\ {1\over4},&\phantom{-}x=0,\\ {1\over2},&\phantom{-}0<x<2,\\ {5\over4},&\phantom{-}x=2. \end{array}\right.\nonumber \]
Розраховуємо коефіцієнти Фур'є наступним чином:
\[a_0={1\over4}\int_{-2}^2f(x)\,dx={1\over4}\left[\int_{-2}^0(-x)\,dx +\int_0^2{1\over2}\,dx\right] ={3\over4}.\nonumber \]
Якщо\(n\ge1\), то
\[\begin{aligned} a_n&={1\over2}\int_{-2}^2f(x)\cos{n\pi x\over2}\,dx={1\over2}\left[\int_{-2}^0(-x)\cos{n\pi x\over2}\,dx +\int_0^2{1\over2}\cos{n\pi x\over2}\,dx\right]\\&={2\over n^2\pi^2}(\cos n\pi-1),\end{aligned}\nonumber \]
і
\[\begin{aligned} b_n&={1\over2}\int_{-2}^2f(x)\sin{n\pi x\over2}\,dx={1\over2}\left[\int_{-2}^0(-x)\sin{n\pi x\over2}\,dx +\int_0^2{1\over2}\sin{n\pi x\over2}\,dx\right]\\ &={1\over2n\pi}(1+3\cos n\pi).\end{aligned}\nonumber \]
Тому
\[F(x)={3\over4}+{2\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{\cos n\pi-1\over n^2}\cos{n\pi x\over2}+{1\over2\pi}\sum_{n=1}^\infty{1+3\cos n\pi\over n}\sin{n\pi x\over2}.\nonumber \]
Рисунок Template:index показує, як часткова сума
\[F_m(x)={3\over4}+{2\over\pi^2}\sum_{n=1}^m{\cos n\pi-1\over n^2}\cos{n\pi x\over2}+{1\over2\pi}\sum_{n=1}^m{1+3\cos n\pi\over n}\sin{n\pi x\over2}\nonumber \]
наближає\(f(x)\) для\(m=5\) (пунктирна крива),\(m=10\) (пунктирна крива), і\(m=15\) (суцільна крива).
Парні та непарні функції
Обчислення коефіцієнтів Фур'є функції\(f\) може бути нудним; однак обчислення часто можна спростити, використовуючи симетрії в\(f\) або деяких з її термінів. Щоб зосередитися на цьому, згадаємо деякі поняття, які ви вивчали в обчисленні. Дозвольте\(u\) і\(v\) визначитися\([-L,L]\) і припустимо, що
\[u(-x)=u(x)\quad\mbox{ and }\quad v(-x)=-v(x),\quad -L\le x\le L.\nonumber \]
Тоді ми говоримо, що\(u\) це парна функція і\(v\) є непарною функцією. Зверніть увагу, що:
- Твір двох парних функцій - парне.
- Твір двох непарних функцій - парне.
- Твір парної функції і непарної функції непарне.
Функції\(u(x)=\cos \omega x\) і\(u(x)=x^2\) парні, в той час як\(v(x)=\sin \omega x\) і\(v(x)=x^3\) непарні. Функція не\(w(x)=e^x\) є ні парною, ні непарною.
Ви вивчили частини (a) і (b) наступної теореми в численні, а інші частини випливають з них (Вправа 11.2.1).
\(u\)Припустимо,\(v\) парне і непарне на\([-L,L].\) Тоді:
- \(\displaystyle \int_{-L}^L u(x)\,dx=2\int_0^Lu(x) \,dx,\)
- \(\displaystyle \int_{-L}^L v(x)\,dx=0,\)
- \(\displaystyle \int_{-L}^L u(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx=2\int_0^Lu(x)\cos{n\pi x\over L} \,dx,\)
- \(\displaystyle \int_{-L}^L v(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx= 2\int_0^L v(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx,\)
- \(\displaystyle \int_{-L}^L u(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx=0\)
- \(\displaystyle \int_{-L}^L v(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx=0.\)
Знайдіть ряд Фур'є\(f(x)=x^2-x\) по\([-2,2]\) і визначте його суму для\(-2\le x\le 2\).
Рішення
З тих пір\(L=2\),
\[F(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos{n\pi x\over2}+b_n\sin{n\pi x\over2}\right)\nonumber \]
де
\[\label{eq:11.2.9} a_0={1\over4}\int_{-2}^2(x^2-x)\,dx,\]
\[\label{eq:11.2.10} a_n={1\over2}\int_{-2}^2(x^2-x)\cos{n\pi x\over2}\,dx,\quad n=1,2,3,\dots,\]
і
\[\label{eq:11.2.11} b_n={1\over2}\int_{-2}^2(x^2-x)\sin{n\pi x\over2}\,dx,\quad n=1,2,3,\dots.\]
Спрощено оцінювання цих інтегралів за допомогою теореми Template:index з\(u(x)=x^2\) і\(v(x)=x\); таким чином, з Рівняння\ ref {eq:11.2.9},
\[a_0=\left.{1\over2}\int_0^2x^2\,dx={x^3\over6}\right| _{0}^{2}={4\over3}.\nonumber \]
З рівняння\ ref {еква:11.2.10},
\[\begin{aligned} a_n&=\int_0^2x^2\cos{n\pi x\over2}\,dx= \left.{2\over n\pi}\left[x^2\sin{n\pi x\over2}\right| _{0}^{2}- 2\int_0^2x\sin{n\pi x\over2}\,dx\right]\\ &=\left. {8\over n^2\pi^2}\left[x\cos{n\pi x\over2}\right| _{0}^{2}- \int_0^2\cos{n\pi x\over2}\,dx\right]\\ &=\left.{8\over n^2\pi^2}\left[2\cos n\pi-{2\over n\pi}\sin{n\pi x\over2}\right|_{0}^{2}\right] =(-1)^n{16\over n^2\pi^2}.\end{aligned}\nonumber \]
З рівняння\ ref {еква:11.2.11},
\[\begin{aligned} b_n&=-\int_0^2x\sin{n\pi x\over2}\,dx =\left. {2\over n\pi}\left[x\cos{n\pi x\over2}\right|_{0}^{2}- \int_0^2\cos{n\pi x\over2}\,dx\right]\\ &=\left.{2\over n\pi}\left[2\cos n\pi-{2\over n\pi}\sin{n\pi x\over2}\right|_{0}^{2} \right]=(-1)^n{4\over n\pi}.\end{aligned}\nonumber \]
Тому
\[F(x)={4\over3}+{16\over\pi^2}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n^2} \cos{n\pi x\over2}+{4\over\pi}\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over n}\sin{n\pi x\over2}.\nonumber \]
Теорема Template:index означає, що
\[F(x)= \left\{\begin{array}{cl} 4,&\phantom{-}x=-2,\\ x^2-x,&-2<x<2,\\4,&\phantom{-}x=2. \end{array}\right.\nonumber \]
Рисунок Template:index показує, як часткова сума
\[F_m(x)={4\over3}+{16\over\pi^2}\sum_{n=1}^m{(-1)^n\over n^2} \cos{n\pi x\over2}+{4\over\pi}\sum_{n=1}^m {(-1)^n\over n}\sin{n\pi x\over2}\nonumber \]
наближає\(f(x)\) для\(m=5\) (пунктирна крива),\(m=10\) (пунктирна крива), і\(m=15\) (суцільна крива).
Теорема Template:index передбачає наступну теорему.
\(f\)Припустимо, інтегрується на\([-L,L].\)
- Якщо\(f\) навіть\(,\) ряд\([-L,L]\) Фур'є\(f\) на\[F(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos{n\pi x\over L},\nonumber \] де\[a_0={1\over L}\int_0^Lf(x) \,dx \quad \text{and} \quad a_n={2\over L}\int_0^L f(x)\cos{n\pi x\over L}\,dx,\quad n\ge1.\nonumber \]
- Якщо\(f\)\(,\) непарний, то ряд\([-L,L]\) Фур'є\(f\) на\[F(x)= \sum_{n=1}^\infty b_n \sin{n\pi x\over L},\nonumber \] де\[b_n={2\over L}\int_0^L f(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx.\nonumber \]
Знайдіть ряд Фур'є\(f(x)=x\) по\([-\pi,\pi]\) і визначте його суму для\(-\pi\le x\le \pi\).
Рішення
Так як\(f\) непарно і\(L=\pi\),
\[F(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx\nonumber \]
де
\[\begin{aligned} b_n&={2\over\pi}\int_0^\pi x\sin nx\,dx=\left. -{2\over n\pi}\left[x\cos nx\right|_{0}^{\pi }-\int_0^\pi\cos nx\,dx\right]\\ &=\left.-{2\over n}\cos n\pi+{2\over n^2\pi}\sin nx\right|_{0}^{\pi }=(-1)^{n+1} {2\over n}.\end{aligned}\nonumber \]
Тому
\[F(x)=-2\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n}\sin nx.\nonumber \]
Теорема Template:index означає, що
\[F(x)= \left\{\begin{array}{cl} 0,&\phantom{-}x=-\pi,\\ x,&-\pi<x<\pi,\\0,&\phantom{-}x=\pi. \end{array}\right.\nonumber \]
Рисунок Template:index показує, як часткова сума
\[F_m(x)=-2\sum_{n=1}^m{(-1)^n\over n}\sin nx\nonumber \]
наближає\(f(x)\) для\(m=5\) (пунктирна крива),\(m=10\) (пунктирна крива), і\(m=15\) (суцільна крива).
Знайдіть ряд Фур'є\(f(x)=|x|\) про\([-\pi,\pi]\) і визначте його суму для
\(-\pi\le x\le\pi\).
Рішення:
Так як\(f\) рівний і\(L=\pi\),
\[F(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nx.\nonumber \]
Так як\(f(x)=x\) якщо\(x\ge0\),
\[a_0=\left. {1\over\pi}\int_0^\pi x\,dx={x^2\over2\pi}\right|_{0}^{\pi }={\pi\over2}\nonumber \]
і, якщо\(n\ge1\),
\[\begin{aligned} a_n&=\left.{2\over\pi}\int_0^\pi x\cos nx\,dx={2\over n\pi}\left[x\sin nx\right|_{0}^{\pi }-\int_0^\pi\sin nx\,dx\right]\\ &=\left.{2\over n^2\pi}\cos nx\right|_{0}^{\pi }=\frac{2}{n^2\pi}(\cos n\pi-1)={2\over n^2\pi}[(-1)^n-1].\end{aligned}\nonumber \]
Тому
\[\label{eq:11.2.12} F(x)={\pi\over2}+{2\over\pi}\sum_{n=0}{(-1)^n-1\over n^2}\cos nx.\]
Однак, так як
\[(-1)^n-1= \left\{\begin{array}{rl} 0&\mbox{ if }n=2m,\\ -2&\mbox{ if }n=2m+1, \end{array}\right.\nonumber \]
члени в Рівнянні\ ref {eq:11.2.12}, для\(n=2m\) яких всі нулі. Тому ми лише включаємо терміни, для яких\(n=2m+1\); тобто ми можемо переписати Equation\ ref {eq:11.2.12} як
\[F(x)={\pi\over2}-{4\over\pi}\sum_{m=0}^\infty {1\over(2m+1)^2} \cos(2m+1)x.\nonumber \]
Однак, оскільки назва індексу підсумовування не має значення, ми вважаємо за краще замінити\(m\) на\(n\), і писати
\[F(x)={\pi\over2}-{4\over\pi}\sum_{n=0}^\infty {1\over(2n+1)^2} \cos(2n+1)x.\nonumber \]
Оскільки\(|x|\) є безперервним для всіх\(x\) і\(|-\pi|=|\pi|\), Теорема Template:index означає, що\(F(x)=|x|\) для всіх\(x\) в\([-\pi,\pi]\).
Знайдіть ряд Фур'є\(f(x)=x(x^2-L^2)\) по\([-L,L]\) і визначте його суму для\(-L\le x\le L\).
Рішення:
Так як\(f\) це непарно,
\[F(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{L},\nonumber \]
де
\[\begin{aligned} b_n&={2\over L}\int_0^Lx(x^2-L^2)\sin{n\pi x\over L}\,dx\\ &\left.=-{2\over n\pi}\left[x(x^2-L^2)\cos{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L}- \int_0^L (3x^2-L^2)\cos{n\pi x\over L}\,dx\right]\\ &=\left.{2L\over n^2\pi^2}\left[(3x^2-L^2)\sin{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L}-6 \int_0^Lx\sin{n\pi x\over L}\,dx\right]\\ &=\left.{12L^2\over n^3\pi^3}\left[x\cos{n\pi x\over L}\right|_{0}^{L}- \int_0^L\cos{n\pi x\over L}\,dx\right] =(-1)^n{12L^3\over n^3\pi^3}.\end{aligned}\nonumber \]
Тому
\[F(x)={12L^3\over\pi^3}\sum_{n=1}^\infty{(-1)^n\over n^3}\sin{n\pi x\over L}.\nonumber \]
Теорема Template:index означає, що\(F(x)=x(x^2-L^2)\) для всіх\(x\) в\([-L,L]\).
Ряд Фур'є
\[f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0,&-1<x<-{1\over2},\\ 1,&-{1\over2}<x<{1\over2},\\ 0,&\phantom{-}{1\over2}<x<1 \end{array}\right.\nonumber \]
на\([-1,1]\) є
\[F(x)={1\over2}+{2\over\pi}\sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}\over2n-1}\cos(2n-1)\pi x.\nonumber \]
(Перевірити.) Відповідно до теореми Template:index,
\[F(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0,&-1\le x<-{1\over2},\\ {1\over2},& x=-{1\over2},\\ 1,&-{1\over2}<x<{1\over2},\\ {1\over2},& x={1\over2},\\ 0,&{1\over2}<x\le 1; \end{array}\right.\nonumber \]
Таким чином,\(F\) (як і\(f\)) має одиницю стрибків розривів при\(x=\pm\frac{1}{2}\). На малюнках Template:index - Template:index показано графіки\(y=f(x)\) та
\[y=F_{2N-1}(x)=\frac{1}{2}+ {2\over\pi}\sum_{n=1}^N {(-1)^{n-1}\over2n-1}\cos(2n-1)\pi x\nonumber \]
для\(N=10\),\(20\), і\(30\). Ви можете бачити, що хоча\(F_{2N-1}\) наближається\(F\) (і, отже,\(f\)) добре на більших інтервалах зі\(N\) збільшенням, максимальні абсолютні значення помилок залишаються приблизно рівними\(.09\), але трапляються ближче до розривів у\(x=\pm\frac{1}{2}\) міру\(N\) збільшення.
Використання технологій
Обчислення коефіцієнтів Фур'є буде стомлюючим у багатьох вправах у цьому розділі та наступному. Щоб вивчити техніку, рекомендуємо вам робити деякі вправи в кожному розділі «від руки», можливо, використовуючи таблицю інтегралів в передній частині книги. Однак ми рекомендуємо вам використовувати ваше улюблене програмне забезпечення для обчислень символів у більш складних проблемах.