10: Лінійні системи диференціальних рівнянь
- Page ID
- 61955
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У цій главі розглядаються системи диференціальних рівнянь, що включають більше однієї невідомої функції. Такі системи виникають у багатьох фізичних додатках. У розділі 10.1 представлені приклади фізичних ситуацій, які призводять до систем диференціальних рівнянь. У РОЗДІЛІ 10.2 розглядаються лінійні системи диференціальних рівнянь. У РОЗДІЛІ 10.3 розглядаються основні теорії однорідних лінійних систем. У РОЗДІЛАХ 10.4, 10.5, І 10.6 представлена теорія однорідних систем з постійним коефіцієнтом. У РОЗДІЛІ 10.7 наведено метод варіації параметрів для неоднорідних лінійних систем.
- 10.1: Вступ до систем диференціальних рівнянь
- Багато фізичних ситуацій моделюються системами n диференціальних рівнянь у n невідомих функціях, де n≥2. У цьому розділі представлені приклади фізичних ситуацій, що призводять до систем диференціальних рівнянь.
- 10.2: Лінійні системи диференціальних рівнянь
- Введено систему диференціальних рівнянь першого порядку.
- 10.3: Основна теорія однорідних лінійних систем
- У цьому розділі розглядаються однорідні лінійні системи Y′=A (t) y, де A=A (t) — неперервна матрична функція n×n на інтервалі (a, b). Теорія лінійних однорідних систем має багато спільного з теорією лінійних однорідних скалярних рівнянь.
- 10.4: Постійний коефіцієнт однорідних систем I
- Тепер ми почнемо наше вивчення однорідної системи Y′=Ay, де A - матриця постійної n×n. У цьому розділі ми припустимо, що всі власні значення A є дійсними і що A має набір n лінійно незалежних власних векторів. У наступних двох розділах розглядаються випадки, коли деякі власні значення A є комплексними, або де A не має n лінійно незалежних власних векторів.
- 10.5: Постійний коефіцієнт однорідних систем II
- У цьому розділі ми розглянемо випадок, коли A має n дійсних власних значень, але не має n лінійно незалежних власних векторів. У лінійній алгебрі показано, що це відбувається тоді і лише тоді, коли A має принаймні одне власне значення кратності r>1 таким чином, що асоційований власний простір має розмірність меншу за r. У цьому випадку A, як кажуть, несправний. Ми обмежимо нашу увагу деякими часто зустрічаються особливими випадками.
- 10.6: Постійний коефіцієнт однорідних систем III
- Розглянемо тепер систему Y′=Ay, де A має комплексне власне значення λ=α+iβ з β0. Продовжуємо вважати, що A має дійсні записи, тому характеристичний многочлен А має дійсні коефіцієнти. Це означає, що λ=α−iβ також є власним значенням A.
- 10.7: Зміна параметрів для неоднорідних лінійних систем
- Розглянуто розширення методу варіації параметрів до лінійних неоднорідних систем. Цей метод дасть конкретне рішення неоднорідної системи Y′=A (t) y+f (t) за умови, що ми знаємо фундаментальну матрицю для комплементарної системи.
Мініатюра: Приклад спірального джерела векторного поля. (CC BY-SA 4.0; Джерело Лебл через джерело)