7.8E: Метод Фробенія III (вправи)

Q7.7.1

У Вправи 7.7.1-7.7.40 знайти фундаментальний набір рішень Фробеніуса. Наведіть явні формули для коефіцієнтів.

1. \(x^2y''-3xy'+(3+4x)y=0\)

2. \(xy''+y=0\)

3. \(4x^2(1+x)y''+4x(1+2x)y'-(1+3x)y=0\)

4. \(xy''+xy'+y=0\)

5. \(2x^2(2+3x)y''+x(4+21x)y'-(1-9x)y=0\)

6. \(x^2y''+x(2+x)y'-(2-3x)y=0\)

7. \(4x^2y''+4xy'-(9-x)y=0\)

8. \(x^2y''+10xy'+(14+x)y=0\)

9. \(4x^2(1+x)y''+4x(3+8x)y'-(5-49x)y=0\)

10. \(x^2(1+x)y''-x(3+10x)y'+30xy=0\)

11. \(x^2y''+x(1+x)y'-3(3+x)y=0\)

12. \(x^2y''+x(1-2x)y'-(4+x)y=0\)

13. \(x(1+x)y''-4y'-2y=0\)

14. \(x^2(1+2x)y''+x(9+13x)y'+(7+5x)y=0\)

15. \(4x^2y''-2x(4-x)y'-(7+5x)y=0\)

16. \(3x^2(3+x)y''-x(15+x)y'-20y=0\)

17. \(x^2(1+x)y''+x(1-10x)y'-(9-10x)y=0\)

18. \(x^2(1+x)y''+3x^2y'-(6-x)y=0\)

19. \(x^2(1+2x)y''-2x(3+14x)y'+(6+100x)y=0\)

20. \(x^2(1+x)y''-x(6+11x)y'+(6+32x)y=0\)

21. \(4x^2(1+x)y''+4x(1+4x)y'-(49+27x)y=0\)

22. \(x^2(1+2x)y''-x(9+8x)y'-12xy=0\)

23. \(x^2(1+x^2)y''-x(7-2x^2)y'+12y=0\)

24. \(x^2y''-x(7-x^2)y'+12y=0\)

25. \(xy''-5y'+xy=0\)

26. \(x^2y''+x(1+2x^2)y'-(1-10x^2)y=0\)

27. \(x^2y''-xy'-(3-x^2)y=0\)

28. \(4x^2y''+2x(8+x^2)y'+(5+3x^2)y=0\)

29. \(x^2y''+x(1+x^2)y'-(1-3x^2)y=0\)

30. \(x^2y''+x(1-2x^2)y'-4(1+2x^2)y=0\)

31. \(4x^2y''+8xy'-(35-x^2)y=0\)

32. \(9x^2y''-3x(11+2x^2)y'+(13+10x^2)y=0\)

33. \(x^2y''+x(1-2x^2)y'-4(1-x^2)y=0\)

34. \(x^2y''+x(1-3x^2)y'-4(1-3x^2)y=0\)

35. \(x^2(1+x^2)y''+x(5+11x^2)y'+24x^2y=0\)

36. \(4x^2(1+x^2)y''+8xy'-(35-x^2)y=0\)

37. \(x^2(1+x^2)y''-x(5-x^2)y'-(7+25x^2)y=0\)

38. \(x^2(1+x^2)y''+x(5+2x^2)y'-21y=0\)

39. \(x^2(1+2x^2)y''-x(3+x^2)y'-2x^2y=0\)

40. \(4x^2(1+x^2)y''+4x(2+x^2)y'-(15+x^2)y=0\)

Q7.7.2

41.

1. За припущеннями теореми 7.7.1, показують, що\[y_1=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_1)x^n\nonumber\] і\[y_2=x^{r_2}\sum_{n=0}^{k-1}a_n(r_2)x^n+C\left(y_1\ln x+x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty a_n'(r_1)x^n\right)\nonumber\] є лінійно незалежними.
2. Використовуйте результат (а), щоб завершити доказ теореми 7.7.1.

42. Знайти фундаментальну множини розв'язків Фробеніуса рівняння Бесселя\[x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0\nonumber\] у випадку, коли\(\nu\) є додатним цілим числом.

43. Доведіть теорему 7.7.2.

44. За припущеннями теореми 7.7.1, показати, що\(C=0\) якщо і тільки якщо\(p_1(r_2+)=0\) для деякого цілого числа\(\ell\) в\(\{0,1,\dots,k-1\}\).

45. За припущеннями теореми 7.7.2, показати, що\(C=0\) якщо і тільки якщо\(p_2(r_2+2)=0\) для деякого цілого числа\(\ell\) в\(\{0,1,\dots,k-1\}\).

46. Дозвольте\[Ly=\alpha_0x^2y''+\beta_0xy'+(\gamma_0+\gamma_1x)y\nonumber\] і визначте\[p_0(r)=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0.\nonumber\]

Показати, що якщо\[p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)(r-r_2)\nonumber\] де\(r_1-r_2=k\), натуральне число, то\(Ly=0\) має рішення

\[y_1=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\over n!\prod_{j=1}^n(j+k)}\left(\gamma_1\over\alpha_0\right)^n x^n\nonumber\]

і

\[\begin{aligned} y_2&=x^{r_2}\sum_{n=0}^{k-1} {(-1)^n\over n!\prod_{j=1}^n(j-k)} \left(\gamma_1\over\alpha_0\right)^n x^n\\[10pt]&-{1\over k!(k-1)!}\left(\gamma_1\over\alpha_0\right)^k\left(y_1\ln x- x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over n!\prod_{j=1}^n(j+k)}\left(\gamma_1\over\alpha_0\right)^n \left(\sum_{j=1}^n{2j+k\over j(j+k)}\right)x^n\right).\end{aligned}\nonumber\]

47. Дозвольте\[Ly=\alpha_0x^2y''+\beta_0xy'+(\gamma_0+\gamma_2x^2)y\nonumber\] і визначте\[p_0(r)=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0.\nonumber\]

Показати, що якщо\[p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)(r-r_2)\nonumber\] де\(r_1-r_2=2k\), парне натуральне число, то\(Ly=0\) має рішення

\[y_1=x^{r_1}\sum_{m=0}^\infty {(-1)^m\over 4^mm!\prod_{j=1}^m(j+k)}\left(\gamma_2\over\alpha_0\right)^m x^{2m}\nonumber\]

і

\[\begin{aligned} y_2&=x^{r_2}\sum_{m=0}^{k-1} {(-1)^m\over4^mm!\prod_{j=1}^m(j-k)} \left(\gamma_2\over\alpha_0\right)^m x^{2m}\\[10pt]&-{2\over 4^kk!(k-1)!}\left(\gamma_2\over\alpha_0\right)^k\left(y_1\ln x- {x^{r_1}\over2}\sum_{m=1}^\infty {(-1)^m\over 4^mm!\prod_{j=1}^m(j+k)}\left(\gamma_2\over\alpha_0\right)^m \left(\sum_{j=1}^m{2j+k\over j(j+k)}\right)x^{2m}\right).\end{aligned}\nonumber\]

48. Дозвольте\(L\) бути, як у вправах 7.5.57 і 7.5.58, і припустимо, що індиціальний многочлен\(Ly=0\) є

\[p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)(r-r_2),\nonumber\]

з\(k=r_1-r_2\), де\(k\) - натуральне число. Визначте\(a_0(r)=1\) для всіх\(r\). Якщо\(r\) дійсне число таке, що\(p_0(n+r)\) є ненульовим для всіх натуральних чисел\(n\), визначте

\[a_n(r)=-{1\over p_0(n+r)}\sum_{j=1}^n p_j(n+r-j)a_{n-j}(r),\,n\ge1,\nonumber\]

і нехай\[y_1=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_1)x^n.\nonumber\]

Визначте\[a_n(r_2)=-{1\over p_0(n+r_2)}\sum_{j=1}^n p_j(n+r_2-j)a_{n-j}(r_2) \, \text{if} n\ge1 \, \text{and}\, n\ne k,\nonumber\] і нехай\(a_k(r_2)\) буде довільним.

1. Зробіть висновок з вправи 7.6.66, що\[L\left(y_1\ln x+x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty a_n'(r_1)x^n\right)=k\alpha_0x^{r_1}.\nonumber\]
2. Зробіть висновок з вправи 7.5.57, що\[L\left(x^{r_2}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_2)x^n\right)=Ax^{r_1},\nonumber\] де\[A=\sum_{j=1}^k p_j(r_1-j)a_{k-j}(r_2).\nonumber\]
3. Покажіть, що\(y_1\) і\[y_2=x^{r_2}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_2)x^n -{A\over k\alpha_0} \left(y_1 \ln x+x^{r_1}\sum_{n=1}^\infty a_n'(r_1)x^n\right)\nonumber\] сформуйте фундаментальний набір рішень Фробеніуса\(Ly=0\).
4. Показати, що вибір довільної кількості\(a_k(r_2)\), яка буде ненульовою, просто додає кратну\(y_1\) до\(y_2\). Зробіть висновок, що ми можемо також взяти\(a_k(r_2)~=~0\).