7.6: Метод Фробеніуса I
- Page ID
- 62089
Розділи 7.5-7.7 стосуються трьох окремих випадків, що задовольняють припущенням, представленим у розділі 7.4. У всіх трьох випадках (А) має принаймні одне рішення форми
\[ y_1=x^r\sum_{n=0}^\infty a_nx^n, \nonumber \]
де\(r\) не повинно бути ціле число. Проблема полягає в тому, що існує три можливості - кожна вимагає різного підходу - для форми другого рішення,\(y_2\) такого, що\(\{y_1,y_2\}\) є фундаментальною парою рішень (A).
У цьому розділі ми починаємо вивчати ряди розв'язків однорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку з правильною особливою точкою в\(x_0=0\), тому його можна записати як
\[\label{eq:7.5.1} x^2A(x)y''+xB(x)y'+C(x)y=0,\]
де\(A\),\(B\)\(C\), - многочлени і\(A(0)\ne0\).
Ми побачимо, що Equation\ ref {eq:7.5.1} завжди має хоча б одне рішення виду
\[y=x^r\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \nonumber\]
де\(a_0\ne0\) і\(r\) є відповідним чином обраний номер. Метод, який ми будемо використовувати для пошуку розв'язків цієї форми та інших форм, з якими ми зіткнемося в наступних двох розділах, називається методом Фробеніуса, і ми будемо називати їх розв'язками Фробеніуса.
Можна показати, що степеневий ряд\(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) у розв'язку Фробеніуса Equation\ ref {eq:7.5.1} сходиться на деякому відкритому інтервалі\((-\rho,\rho)\), де\(0<\rho\le\infty\). Однак, оскільки\(x^r\) може бути складним для негативних\(x\) або невизначений if\(x=0\), ми розглянемо рішення, визначені для позитивних значень\(x\). Легкі модифікації наших результатів дають рішення, визначені для від'ємних значень\(x\). (Вправа 7.5.54).
Ми обмежимо нашу увагу випадком\(A\), де\(B\), і\(C\) є поліномами ступеня не більше двох, тому Equation\ ref {eq:7.5.1} стає
\[\label{eq:7.5.2} x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y=0,\]
де\(\alpha_i\)\(\beta_i\), і\(\gamma_i\) є реальними константами і\(\alpha_0\ne0\). Більшість рівнянь, що виникають у додатках, можна записати таким чином. Деякі приклади:
\[ \alpha x^2y''+\beta xy'+\gamma y =0 \quad \text{(Euler's equation)} \nonumber\]
\[ x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y =0 \quad \text{(Bessel's equation)} \nonumber\]
і
\[xy''+(1-x)y'+\lambda y=0\nonumber \]
де ми помножимо останнє рівняння на,\(x\) щоб поставити його у вигляді Equation\ ref {eq:7.5.2}. Однак метод Фробеніуса може бути розширений на випадок\(A\), коли, і\(C\) є функціями\(B\), які можуть бути представлені силовими рядами в\(x\) на деякому інтервалі, який містить нуль, і\(A_0(0)\ne0\) (Вправи 7.5.57 і 7.5.58).
Наступні дві теореми дозволять розробити системні методи пошуку розв'язків Фробеніуса рівняння\ ref {eq:7.5.2}.
Нехай
\[Ly= x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y,\nonumber\]
і визначити
\[\begin{aligned} p_0(r)&=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0,\\[4pt] p_1(r)&=\alpha_1r(r-1)+\beta_1r+\gamma_1,\\[4pt] p_2(r)&=\alpha_2r(r-1)+\beta_2r+\gamma_2.\\\end{aligned}\nonumber \]
Припустимо, серія
\[\label{eq:7.5.3} y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}\]
сходиться далі\((0,\rho)\). Тоді
\[\label{eq:7.5.4} Ly=\sum_{n=0}^\infty b_nx^{n+r}\]
на\((0,\rho),\) де
\[b_{0}=p_{0}(r)a_{0}\nonumber \]
\[\label{eq:7.5.5} b_{1}=p_{0}(r+1)a_{1}+p_{1}(r)a_{0}\]
\[b_n=p_0(n+r)a_n+p_1(n+r-1)a_{n-1}+p_2(n+r-2)a_{n-2},\quad n\ge2\nonumber\]
- Доказ
-
Почнемо з показу,\(y\) що якщо задано Equation\ ref {eq:7.5.3} і\(\alpha\)\(\beta\), і\(\gamma\) є константами, то
\[\label{eq:7.5.6} \alpha x^2y''+\beta xy'+\gamma y= \sum_{n=0}^\infty p(n+r)a_nx^{n+r},\]
де
\[p(r)=\alpha r(r-1)+\beta r +\gamma. \nonumber\]
Диференціація удвічі врожайності
\[\label{eq:7.5.7} y'=\sum_{n=0}^\infty (n+r)a_nx^{n+r-1}\]
і
\[\label{eq:7.5.8} y''=\sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-2}.\]
Множення рівняння\ ref {eq:7.5.7} на\(x\) і рівняння\ ref {eq:7.5.8} на\(x^2\) врожайність
\[xy'=\sum_{n=0}^\infty (n+r)a_nx^{n+r} \nonumber\]
і
\[x^2y''=\sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r}. \nonumber\]
Тому
\[\begin{aligned} \alpha x^2y''+\beta xy'+\gamma y &=\sum_{n=0}^\infty\left[\alpha(n+r)(n+r-1)+\beta(n+r)+\gamma\right]a_n x^{n+r}\\[4pt] &=\sum_{n=0}^\infty p(n+r)a_nx^{n+r},\end{aligned}\nonumber \]
що доводить рівняння\ ref {eq:7.5.6}.
Множення рівняння\ ref {eq:7.5.6} на\(x\) врожайність
\[\label{eq:7.5.9} x(\alpha x^2y''+\beta xy'+\gamma y)=\sum_{n=0}^\infty p(n+r) a_nx^{n+r+1}= \sum_{n=1}^\infty p(n+r-1)a_{n-1}x^{n+r}.\]
Множення рівняння\ ref {eq:7.5.6} на\(x^2\) врожайність
\[\label{eq:7.5.10} x^2(\alpha x^2y''+\beta xy'+\gamma y)=\sum_{n=0}^\infty p(n+r)a_nx^{n+r+2}= \sum_{n=2}^\infty p(n+r-2)a_{n-2}x^{n+r}.\]
Щоб скористатися цими результатами, ми переписуємо
\[Ly= x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y \nonumber\]
як
\[\label{eq:7.5.11} \begin{array}{ccl} Ly&=\left(\alpha_0x^2y''+\beta_0xy' +\gamma_0y\right) + x\left(\alpha_1x^2y''+\beta_1xy'+\gamma_1y\right) \\&+\ x^2\left(\alpha_2x^2y''+\beta_2xy'+\gamma_2y\right). \end{array}\]
З рівняння\ ref {eq:7.5.6} з\(p=p_0\),
\[\alpha_0x^2y''+\beta_0xy'+\gamma_0y=\sum_{n=0}^\infty p_0(n+r)a_nx^{n+r}. \nonumber\]
З рівняння\ ref {eq:7.5.9} з\(p=p_1\),
\[x\left(\alpha_1x^2y''+\beta_1xy'+\gamma_1y\right)=\sum_{n=1}^\infty p_1(n+r-1)a_{n-1}x^{n+r}. \nonumber\]
З рівняння\ ref {eq:7.5.10} з\(p=p_2\),
\[x^2\left(\alpha_2x^2y''+\beta_2xy'+\gamma_2y\right)=\sum_{n=2}^\infty p_2(n+r-2)a_{n-2}x^{n+r}. \nonumber\]
Тому ми можемо переписати рівняння\ ref {eq:7.5.11} як
\[\begin{aligned} Ly=\sum_{n=0}^\infty p_0(n+r)a_nx^{n+r}+ \sum_{n=1}^\infty p_1(n+r-1)a_{n-1}x^{n+r}\\[4pt]+ \sum_{n=2}^\infty p_2(n+r-2)a_{n-2}x^{n+r},\end{aligned}\nonumber\]
або
\[\begin{aligned} Ly&= p_0(r)a_0x^r+\left[p_0(r+1)a_1+p_1(r)a_0\right]x^{r+1}\\& +\sum_{n=2}^\infty\left[p_0(n+r)a_n+p_1(n+r-1)a_{n-1} +p_2(n+r-2)a_{n-2}\right]x^{n+r},\end{aligned}\nonumber\]
який передбачає рівняння\ ref {eq:7.5.4} з\(\{b_n\}\) визначенням як у рівнянні\ ref {eq:7.5.5}.
Нехай
\[Ly= x^2(\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_1x+\beta_2x^2)y' +(\gamma_0+\gamma_1x+\gamma_2x^2)y, \nonumber\]
де\(\alpha_0\ne0,\) і визначити
\[\begin{aligned} p_0(r)&=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0,\\[4pt] p_1(r)&=\alpha_1r(r-1)+\beta_1r+\gamma_1,\\[4pt] p_2(r)&=\alpha_2r(r-1)+\beta_2r+\gamma_2.\\\end{aligned}\nonumber \]
Припустимо,\(r\) дійсне число таке, що\(p_0(n+r)\) є ненульовим для всіх натуральних чисел\(n.\) Define
\[\label{eq:7.5.12} \begin{array}{ccl} a_0(r)&=1,\\ a_1(r)&=-{p_1(r)\over p_0(r+1)},\\[4pt] a_n(r)&=-{p_1(n+r-1)a_{n-1}(r)+p_2(n+r-2)a_{n-2}(r)\over p_0(n+r)},\quad n\ge2. \end{array}\]
Тоді серія Фробеніуса
\[\label{eq:7.5.13} y(x,r)=x^r\sum_{n=0}^\infty a_n(r)x^n\]
сходиться і задовольняє
\[\label{eq:7.5.14} Ly(x,r)=p_0(r)x^r\]
на інтервалі,\((0,\rho),\) де\(\rho\) відстань від початку до найближчого нуля\(A(x)=\alpha_0+\alpha_1 x+\alpha_2 x^2\) в комплексній площині (якщо\(A\) постійна, то\(\rho=\infty\).)
Якщо\(\{a_n(r)\}\) визначається рекуррентним співвідношенням рівняння\ ref {eq:7.5.12}, то підстановка\(a_n=a_n(r)\) в Рівняння\ ref {eq:7.5.5} дає\(b_0=p_0(r)\) і\(b_n=0\) для\(n\ge1\), тому рівняння\ ref {eq:7.5.4} зводиться до рівняння\ ref {eq:7.5.14}. Опускаємо доказ того, що ряд Equation\ ref {eq:7.5.13} сходиться далі\((0,\rho)\).
Якщо\(\alpha_i=\beta_i=\gamma_i=0\) для\(i=1\),\(2,\) то\(Ly=0\) зводиться до рівняння Ейлера
\[\alpha_0x^2y''+\beta_0xy'+\gamma_0y=0. \nonumber\]
Теорема 7.4.3 показує, що розв'язки цього рівняння визначаються нулями індиціального многочлена
\[p_0(r)=\alpha_0r(r-1)+\beta_0r+\gamma_0. \nonumber\]
Оскільки Equation\ ref {eq:7.5.14} означає, що це справедливо і для розв'язків\(Ly=0\), ми також скажемо, що\(p_0\) це індиціальний поліном рівняння\ ref {eq:7.5.2}, і\(p_0(r)=0\) це індиціальне рівняння\(Ly=0\). Ми розглянемо лише випадки, коли індиціальне рівняння має реальні коріння\(r_1\) і\(r_2\), с\(r_1\ge r_2\).
\(\{a_n(r)\}\)Дозволяти\(L\) і бути як в теоремі Template:index, і припустимо, що індиціальне рівняння\(p_0(r)=0\)\(Ly=0\) має реальні\(r_1\) корені і\(r_2,\) де\(r_1\ge r_2.\) тоді
\[y_1(x)=y(x,r_1)=x^{r_1}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_1)x^n \nonumber\]
це рішення Фробеніуса\(Ly=0\). Більше того\(r_1-r_2\),\(,\) якщо не ціле число, то
\[y_2(x)=y(x,r_2)=x^{r_2}\sum_{n=0}^\infty a_n(r_2)x^n \nonumber\]
також є рішенням Frobenius\(Ly=0,\) і\(\{y_1,y_2\}\) є фундаментальним набором рішень.
- Доказ
-
Оскільки\(r_1\) і\(r_2\) є корінням\(p_0(r)=0\), індикальний многочлен може бути врахований як
\[\label{eq:7.5.15} p_0(r)=\alpha_0(r-r_1)(r-r_2).\]
Тому
\[p_0(n+r_1)=n\alpha_0(n+r_1-r_2), \nonumber\]
який є ненульовим\(n>0\), якщо, так як\(r_1-r_2\ge0\). Тому припущення теореми Template:index дотримуються\(r=r_1\), і Equation\ ref {eq:7.5.14} означає це\(Ly_1=p_0(r_1)x^{r_1}=0\).
Тепер припустимо\(r_1-r_2\), що це не ціле число. З рівняння\ ref {eq:7.5.15},
\[p_0(n+r_2)=n\alpha_0(n-r_1+r_2)\ne0 \quad \text{if} \quad n=1,2,\cdots.\nonumber\]
Отже, припущення теореми Template:index дотримуються\(r=r_2\), і Equation\ ref {eq:7.5.14} означає це\(Ly_2=p_0(r_2)x^{r_2}=0\). Ми залишаємо доказ того, що\(\{y_1,y_2\}\) це фундаментальний набір рішень як вправа 7.5.52.
Не завжди вдається отримати явні формули для коефіцієнтів у розв'язках Фробеніуса. Однак ми завжди можемо налаштувати відносини повторення і використовувати їх для обчислення стільки коефіцієнтів, скільки ми хочемо. Наступний приклад ілюструє це.
Знайдіть фундаментальний набір рішень Frobenius
\[\label{eq:7.5.16} 2x^2(1+x+x^2)y''+x(9+11x+11x^2)y'+(6+10x+7x^2)y=0.\]
Обчислити лише перші шість коефіцієнтів\(a_0\),...,\(a_5\) у кожному розв'язанні.
Рішення
Для даного рівняння поліноми, визначені в теоремі Template:index, є
\[\begin{array}{ccccc} p_0(r)&=2r(r-1)+9r+6&=(2r+3)(r+2),\\[4pt] p_1(r)&=2r(r-1)+11r+10&=(2r+5)(r+2),\\ [5pt] p_2(r)&=2r(r-1)+11r+7&=(2r+7)(r+1). \end{array}\nonumber \]
Нулі індиціального многочлена\(p_0\) є\(r_1=-3/2\) і\(r_2=-2\), так\(r_1-r_2=1/2\). Тому теорема Template:index передбачає, що
\[\label{eq:7.5.17} y_1=x^{-3/2}\sum_{n=0}^\infty a_n(-3/2)x^n\quad\mbox{ and }\quad y_2=x^{-2}\sum_{n=0}^\infty a_n(-2)x^n\]
сформувати фундаментальну множину розв'язків Фробеніуса рівняння\ ref {eq:7.5.16}. Щоб знайти коефіцієнти в цих рядах, ми використовуємо рекуррентне відношення Theorem Template:index; таким чином,
\[\begin{aligned} a_0(r)&=1,\\ a_1(r)&=-{p_1(r)\over p_0(r+1)} =-{(2r+5)(r+2)\over(2r+5)(r+3)} =-{r+2\over r+3},\\[4pt] a_n(r)&=-{p_1(n+r-1)a_{n-1}+p_2(n+r-2)a_{n-2}\over p_0(n+r)}\\[4pt] &=-{(n+r+1)(2n+2r+3)a_{n-1}(r) +(n+r-1)(2n+2r+3)a_{n-2}(r)\over(n+r+2)(2n+2r+3)}\\[4pt] &=-{(n+r+1)a_{n-1}(r)+(n+r-1)a_{n-2}(r)\over n+r+2},\quad n\ge2.\end{aligned}\nonumber \]
Встановлення\(r=-3/2\) в цих рівняннях дає
\[\label{eq:7.5.18} \begin{array}{lll} a_0(-3/2)&=1,\\ a_1(-3/2)&=-1/3,\\ a_n(-3/2)&=-{(2n-1)a_{n-1}(-3/2)+ (2n-5)a_{n-2}(-3/2)\over2n+1},\quad n\ge2, \end{array}\]
і встановлення\(r=-2\) врожайності
\[\label{eq:7.5.19} \begin{array}{lll} a_0(-2)&=1,\\ a_1(-2)&=0,\\ a_n(-2)&=-{(n-1)a_{n-1}(-2)+(n-3)a_{n-2}(-2)\over n},\quad n\ge2. \end{array}\]
Обчислення за допомогою рівняння\ ref {eq:7.5.18} та рівняння\ ref {eq:7.5.19} і підставляючи результати на рівняння\ ref {eq:7.5.17} дає фундаментальну множину розв'язків Фробеніуса
\[\begin{aligned} y_1&=x^{-3/2}\left(1-{1\over3}x+{2\over5}x^2-{5\over21}x^3 +{7\over135}x^4+{76\over1155}x^5+\cdots\right),\\[4pt] y_2&=x^{-2}\left(1+{1\over2}x^2-{1\over3}x^3+{1\over8}x^4+{1\over30}x^5 +\cdots\right).\end{aligned}\nonumber \]
Особливі випадки з двома термінами повторення відносин
Для\(n\ge2\), рівняння рекуррентності\ ref {eq:7.5.12} теореми Template:index включає три коефіцієнти\(a_n(r)\)\(a_{n-1}(r)\), і\(a_{n-2}(r)\). Тепер ми розглянемо деякі особливі випадки, коли Equation\ ref {eq:7.5.12} зводиться до двочленного рекуррентного відношення; тобто відношення, що включає тільки\(a_n(r)\) і\(a_{n-1}(r)\) або тільки\(a_n(r)\) і\(a_{n-2}(r)\). Таке спрощення часто дає можливість отримати явні формули для коефіцієнтів розв'язків Фробеніуса.
Розглянемо спочатку рівняння виду
\[x^2(\alpha_0+\alpha_1x)y''+x(\beta_0+\beta_1x)y'+(\gamma_0+\gamma_1x)y=0 \nonumber\]
с\(\alpha_0\ne0\). Для цього рівняння\(\alpha_2=\beta_2=\gamma_2=0\), так\(p_2\equiv0\) і рекуррентні відносини в теоремі Template:index спростити
\[\label{eq:7.5.20} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_n(r)&=-{p_1(n+r-1)\over p_0(n+r)}a_{n-1}(r),\quad n\ge1. \end{array}\]
Знайдіть фундаментальний набір рішень Frobenius
\[\label{eq:7.5.21} x^2(3+x)y''+5x(1+x)y'-(1-4x)y=0.\]
Наведіть явні формули для коефіцієнтів у розв'язках.
Рішення
Для цього рівняння поліноми, визначені в теоремі Template:index}
\[\begin{array}{ccccc} p_0(r)&=3r(r-1)+5r-1&=(3r-1)(r+1),\\[4pt] p_1(r)&=r(r-1)+5r+4&=(r+2)^2,\\[4pt] p_2(r)&=0. \end{array}\nonumber\]
Нулі індиціального многочлена\(p_0\) є\(r_1=1/3\) і\(r_2=-1\), так\(r_1-r_2=4/3\). Тому теорема Template:index передбачає, що
\[y_1=x^{1/3}\sum_{n=0}^\infty a_n(1/3)x^n\quad\mbox{ and }\quad y_2=x^{-1}\sum_{n=0}^\infty a_n(-1)x^n\nonumber \]
сформувати фундаментальну множину розв'язків Фробеніуса рівняння\ ref {eq:7.5.21}. Щоб знайти коефіцієнти в цих рядах, ми використовуємо рекурентні відносини Equation\ ref {eq:7.5.20}; таким чином,
\[\label{eq:7.5.22} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_n(r)&=-{p_1(n+r-1)\over p_0(n+r)}a_{n-1}(r)\\[4pt] &=-{(n+r+1)^2\over(3n+3r-1)(n+r+1)}a_{n-1}(r)\\[4pt] &=-{n+r+1\over3n+3r-1}a_{n-1}(r),\quad n\ge1. \end{array}\]
Встановлення\(r=1/3\) в рівнянні\ ref {eq:7.5.22} дає
\[\begin{aligned} a_0(1/3)&=1,\\ a_n(1/3)&=-{3n+4\over9n} a_{n-1}(1/3),\quad n\ge1.\end{aligned}\nonumber \]
Використовуючи позначення продукту, введене в Розділі 7.2, і продовжуючи, як ми це робили в прикладах у цьому розділі, дає
\[a_n(1/3)={(-1)^n\prod_{j=1}^n(3j+4)\over9^nn!},\quad n\ge0. \nonumber\]
Тому
\[y_1=x^{1/3}\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n\prod_{j=1}^n(3j+4)\over9^nn!}x^n \nonumber\]
є розв'язком Фробеніуса рівняння\ ref {eq:7.5.21}.
Встановлення\(r=-1\) в рівнянні\ ref {eq:7.5.22} дає
\[\begin{aligned} a_0(-1)&=1,\\ a_n(-1)&=-{n\over3n-4}a_{n-1}(-1),\quad n\ge1,\end{aligned}\nonumber \]
тому
\[a_n(-1)={(-1)^nn!\over\prod_{j=1}^n(3j-4)}. \nonumber\]
Тому
\[y_2=x^{-1}\sum_{n=0}^\infty{(-1)^nn!\over\prod_{j=1}^n(3j-4)}x^n \nonumber\]
є розв'язком Фробеніуса рівняння\ ref {eq:7.5.21} і\(\{y_1,y_2\}\) є фундаментальною сукупністю розв'язків.
Розглянемо тепер рівняння виду
\[\label{eq:7.5.23} x^2(\alpha_0+\alpha_2x^2)y''+x(\beta_0+\beta_2x^2)y'+ (\gamma_0+\gamma_2x^2)y=0\]
с\(\alpha_0\ne0\). Для цього рівняння\(\alpha_1=\beta_1=\gamma_1=0\), так\(p_1\equiv0\) і рекуррентні відносини в теоремі Template:index спростити
\[\begin{aligned} a_0(r)&=1,\\ a_1(r)&=0,\\[4pt] a_n(r)&=-{p_2(n+r-2)\over p_0(n+r)}a_{n-2}(r),\quad n\ge2.\end{aligned}\nonumber \]
Оскільки\(a_1(r)=0\) останнє рівняння має на увазі,\(n\) що\(a_n(r)=0\) якщо непарне, тому розв'язки Фробеніуса мають вигляд
\[y(x,r)=x^r\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(r)x^{2m}, \nonumber\]
де
\[\label{eq:7.5.24} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_{2m}(r)&=-{p_2(2m+r-2)\over p_0(2m+r)}a_{2m-2}(r),\quad m\ge1. \end{array}\]
Знайдіть фундаментальний набір рішень Frobenius
\[\label{eq:7.5.25} x^2(2-x^2)y''-x(3+4x^2)y'+(2-2x^2)y=0.\]
Наведіть явні формули для коефіцієнтів у розв'язках.
Рішення
Для цього рівняння поліноми, визначені в теоремі Template:index}
\[\begin{array}{ccccc} p_0(r)&=2r(r-1)-3r+2&=(r-2)(2r-1),\\[4pt] p_1(r)&=0\\[4pt] p_2(r)&=-\left[r(r-1)+4r+2\right]&=-(r+1)(r+2). \end{array}\nonumber \]
Нулі індиціального многочлена\(p_0\) є\(r_1=2\) і\(r_2=1/2\), так\(r_1-r_2=3/2\). Тому теорема Template:index передбачає, що
\[y_1=x^2\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(1/3)x^{2m}\quad\mbox{ and }\quad y_2=x^{1/2}\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(1/2)x^{2m} \nonumber\]
сформувати фундаментальну множину розв'язків Фробеніуса рівняння\ ref {eq:7.5.25}. Щоб знайти коефіцієнти в цих рядах, ми використовуємо рекуррентне відношення Equation\ ref {eq:7.5.24}; таким чином,
\[\label{eq:7.5.26} \begin{array}{lll} a_0(r)&=1,\\ a_{2m}(r)&=-{p_2(2m+r-2)\over p_0(2m+r)}a_{2m-2}(r)\\[4pt] &={(2m+r)(2m+r-1)\over(2m+r-2)(4m+2r-1)}a_{2m-2}(r),\quad m\ge1. \end{array}\]
Встановлення\(r=2\) в рівнянні\ ref {eq:7.5.26} дає
\[\begin{aligned} a_0(2)&=1,\\ a_{2m}(2)&={(m+1)(2m+1)\over m(4m+3)}a_{2m-2}(2),\quad m\ge1,\end{aligned}\nonumber\]
тому
\[a_{2m}(2)=(m+1)\prod_{j=1}^m{2j+1\over4j+3}. \nonumber\]
Тому
\[y_1=x^2\sum_{m=0}^\infty (m+1)\left(\prod_{j=1}^m{2j+1\over4j+3}\right)x^{2m} \nonumber\]
є розв'язком Фробеніуса рівняння\ ref {eq:7.5.25}.
Встановлення\(r=1/2\) в рівнянні\ ref {eq:7.5.26} дає
\[\begin{aligned} a_0(1/2)&=1,\\ a_{2m}(1/2)&={(4m-1)(4m+1)\over8m(4m-3)}a_{2m-2}(1/2),\quad m\ge1,\end{aligned}\nonumber \]
тому
\[a_{2m}(1/2)={1\over8^mm!}\prod_{j=1}^m{(4j-1)(4j+1)\over4j-3}. \nonumber\]
Тому
\[y_2=x^{1/2}\sum_{m=0}^\infty {1\over8^mm!}\left(\prod_{j=1}^m{(4j-1)(4j+1)\over4j-3}\right)x^{2m} \nonumber\]
є розв'язком Фробеніуса рівняння\ ref {eq:7.5.25} і\(\{y_1,y_2\}\) є фундаментальною сукупністю розв'язків.
Поки ми розглянули лише випадок, коли індиціальне рівняння має дійсні корені, які не відрізняються цілим числом, що дозволяє застосовувати теорему Template:index. Однак для рівнянь виду Equation\ ref {eq:7.5.23} послідовність\(\{a_{2m}(r)\}\) у Equation\ ref {eq:7.5.24} визначена для\(r = r_{2}\) якщо\(r_{1} − r_{2}\) не є парним цілим числом. Можна показати Вправу 7.5.56, що в даному випадку
\[y_{1}=x^{r_{1}}\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m}(r_{1})x^{2m}\quad\text{and}\quad y_{2}=x^{r_{2}}\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m}(r_{2})x^{2m}\nonumber\]
сформувати фундаментальну множину розв'язків Фробеніуса рівняння\ ref {eq:7.5.23}.
Використання технологій
Як ми вже говорили в кінці розділу 7.2, якщо ви зацікавлені в тому, щоб насправді використовувати ряди для обчислення числових наближень до розв'язків диференціального рівняння, то чи є проста замкнута форма для коефіцієнтів, по суті, не має значення; рекурсивні обчислення, як правило, більш ефективні. Оскільки це також трудомістко, ми рекомендуємо вам писати короткі програми для реалізації рецидивних відносин на калькуляторі або комп'ютері, навіть у вправах, де це спеціально не потрібно.
При практичному використанні методу Фробеніуса, коли\(x_0=0\) є регулярною сингулярною точкою, нас цікавить, наскільки добре виконуються функції
\[y_N(x,r_i)=x^{r_i}\sum_{n=0}^N a_n(r_i)x^n,\quad i=1,2, \nonumber\]
наближені розв'язки заданого рівняння, коли\(r_i\) дорівнює нулю індиціального многочлена. У роботі з відповідною задачею для випадку, коли\(x_0=0\) є звичайною точкою, ми використовували числове інтегрування для розв'язання диференціального рівняння з урахуванням початкових умов\(y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1\), і порівняли результат зі значеннями полінома Тейлора.
\[T_N(x)=\sum_{n=0}^Na_nx^n. \nonumber\]
Ми не можемо цього зробити тут, оскільки загалом ми не можемо прописати довільні початкові значення для розв'язків диференціального рівняння в особливій точці. Тому, мотивовані теоремою Template:index (зокрема, Рівняння\ ref {eq:7.5.14}), ми пропонуємо наступну процедуру.
Процедура верифікації
Нехай\(L\) і\(Y_{n}(x; r_{i})\) визначитися
\[L_{y}=x^{2}(\alpha _{0}+\alpha _{1}x +\alpha _{2}x^{2})y'' + x(\beta _{0}+\beta_{1}x +\beta _{2}x^{2})y' + (\gamma _{0}+\gamma _{1}x+\gamma _{2}x^{2})y\nonumber\]
і
\[ y_{N}(x; r_{i})=x^{r_{i}}\sum_{n=0}^{N}a_{n}(r_{i})x^{n}\nonumber \]
де коефіцієнти\(\{a_{n}(r_{i})\}_{n=0}^{N}\) обчислюються як у Рівнянні\ ref {eq:7.5.12}, Теорема Template:index. Обчислити помилку
\[\label{eq:7.5.27} E_{N}(x; r_{i})=x^{-r_{i}}L_{yN}(x; r_{i})/ \alpha _{0}\]
для різних значень\(N\) та різних значень\(x\) інтервалу\((0,\rho )\) з визначеними\(\rho\) в теоремі Template:index
Множник\(x^{-r_i}/\alpha_0\) праворуч від Equation\ ref {eq:7.5.27} усуває ефекти малих або великих значень\(x^{r_i}\)\(x=0\) ближнього та множення на довільну константу. У деяких вправах вам буде запропоновано оцінити максимальне значення\(E_N(x; r_i)\) на інтервалі\((0,\delta]\) шляхом обчислення\(E_N(x_m;r_i)\) в\(M\) точках\(x_m=m\delta/M,\; m=1\)\(2\),,...\(M\), і знаходячи максимум абсолютних значень:
\[\label{eq:7.5.28} \sigma_N(\delta)=\max\{|E_N(x_m;r_i)|,\; m=1,2,\dots,M\}.\]
(Для простоти це позначення ігнорує залежність правої частини рівняння від\(i\) і\(M\).)
Щоб реалізувати цю процедуру, вам доведеться написати комп'ютерну програму для обчислення\(\{a_n(r_i)\}\) з відповідного відношення повторення та оцінити\(E_N(x;r_i)\).
Наступний набір вправ містить п'ять вправ, конкретно визначених, які просять вас здійснити процедуру перевірки. Ці конкретні вправи були обрані довільно, ви також можете сформулювати такі лабораторні завдання для будь-якого з рівнянь в будь-якому з Вправ 7.5.1-7.5.10, 7.5.14-7.4.25 і 7.5.28-7.5.51.