7.3: Рішення серії поблизу звичайної точки I
- Page ID
- 62030
Багато фізичних застосувань породжують однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку у вигляді
\[\label{eq:7.2.1} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0,\]
де\(P_0\)\(P_1\), і\(P_2\) є поліномами. Зазвичай розв'язки цих рівнянь не можуть бути виражені через звичні елементарні функції. Тому ми розглянемо задачу представлення розв'язків рівняння\ ref {eq:7.2.1} рядами.
Ми припускаємо\(P_0\), що протягом усього цього,\(P_1\) і не\(P_2\) мають загальних факторів. Тоді ми говоримо, що\(x_0\) це звичайна точка Рівняння\ ref {eq:7.2.1} if\(P_0(x_0)\ne0\), або одинична точка if\(P_0(x_0)=0\). Для рівняння Лежандра
\[\label{eq:7.2.2} (1-x^2)y''-2xy'+\alpha(\alpha+1)y=0,\]
\(x_0=1\)і\(x_0=-1\) є одниними точками, а всі інші точки є звичайними точками. Для рівняння Бесселя
\[x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0, \nonumber \]
\(x_0=0\)є одниною точкою, а всі інші точки є звичайними точками. Якщо\(P_0\) є ненульовою константою, як у рівнянні Ейрі,
\[\label{eq:7.2.3} y''-xy=0,\]
то кожна точка є звичайною точкою.
Оскільки многочлени є безперервними скрізь,\(P_1/P_0\) і\(P_2/P_0\) є безперервними в будь-якій точці\(x_0\), яка не дорівнює нулю\(P_0\). Отже, якщо\(x_0\) є звичайною точкою рівняння\ ref {eq:7.2.1}\(a_0\) і\(a_1\) є довільними дійсними числами, то задача початкового значення
\[\label{eq:7.2.4} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0, \quad y(x_0)=a_0,\quad y'(x_0)=a_1\]
має унікальне рішення на найбільшому відкритому інтервалі, який містить\(x_0\) і не містить нулів\(P_0\). Щоб побачити це, ми перепишемо диференціальне рівняння в Equation\ ref {eq:7.2.4} як
\[y''+{P_1(x)\over P_0(x)}y'+{P_2(x)\over P_0(x)}y=0 \nonumber\]
і застосувати теорему 5.1.1 з\(p=P_1/P_0\) і\(q=P_2/P_0\). У цьому і наступному розділі розглянуто задачу представлення розв'язків рівняння\ ref {eq:7.2.1} степеневими рядами, які сходяться для значень\(x\) поблизу звичайної точки\(x_0\).
Викладемо наступну теорему без доказів.
Припустимо\(P_0\)\(P_1\),, і\(P_2\) є поліномами без загального коефіцієнта і\(P_0\) не однаково нуль\(.\) Нехай\(x_0\) точка така, що\(P_0(x_0)\ne0,\) і нехай\(\rho\) буде відстань від\(x_0\) до найближчого нуля\(P_0\) в комплексній площині. \((\)Якщо\(P_0\) постійний, то\(\rho=\infty\). \()\)Тоді кожне рішення
\[\label{eq:7.2.5} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0\]
може бути представлений силовим рядом
\[\label{eq:7.2.6} y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\]
який сходиться хоча б на відкритому проміжку\((x_0-\rho,x_0+\rho)\). \((\)Якщо\(P_0\) непостійний,\(,\) так\(\rho\) що обов'язково кінцевий,\(,\) то відкритий інтервал збіжності\(\eqref{eq:7.2.6}\) може бути більшим, ніж\((x_0-\rho,x_0+\rho).\) Якщо\(P_0\) постійний тоді\(\rho=\infty\) і\((x_0-\rho,x_0+\rho)=(-\infty,\infty)\).
Ми називаємо Equation\ ref {eq:7.2.6} розв'язком\(x-x_0\) степеневого ряду в Equation\ ref {eq:7.2.5}. Зараз ми розробимо метод пошуку розв'язків степеневих рядів Equation\ ref {eq:7.2.5}. Для цього запишемо Equation\ ref {eq:7.2.5} як\(Ly=0\), де
\[\label{eq:7.2.7} Ly=P_0y''+P_1y'+P_2y.\]
Теорема Template:index означає, що кожне розв'язання\(Ly=0\) on\((x_0-\rho,x_0+\rho)\) може бути записано як
\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n. \nonumber\]
Постановка\(x=x_0\) в цій серії і в серіалі
\[y'=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1} \nonumber\]
показує, що\(y(x_0)=a_0\) і\(y'(x_0)=a_1\). Оскільки кожна початкова задача Equation\ ref {eq:7.2.4} має унікальне рішення, це означає, що\(a_0\) і\(a_1\) можуть бути обрані довільно\(a_2\)\(a_3\), і,... однозначно визначаються ними.
Знайти\(a_2\),,...\(a_3\), пишемо\(P_0\)\(P_1\), і\(P_2\) в повноваженнях\(x-x_0\), підставляємо
\[ \begin{align*} y &=\sum^\infty_{n=0}a_n(x-x_0)^n, \\[4pt] y' &=\sum^\infty_{n=1}na_n(x-x_0)^{n-1}, \\[4pt] y''&=\sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2} \end{align*}\]
в Equation\ ref {eq:7.2.7}, і зібрати коефіцієнти подібних ступенів\(x-x_0\). Це дає
\[\label{eq:7.2.8} Ly=\sum^\infty_{n=0}b_n(x-x_0)^n,\]
де\(\{b_0, b_1, \dots, b_n, \dots\}\) виражаються через\(\{a_0, a_1, \dots,a_n, \dots\}\) і коефіцієнти, і\(P_0\)\(P_1\)\(P_2\), записані в повноваженнях\(x-x_0\). Оскільки рівняння\ ref {eq:7.2.8} і (a) теореми 7.1.6 мають\(b_n=0\) на увазі, що\(Ly=0\) якщо і тільки тоді\(n\ge0\), всі розв'язки рядів потужності в\(x-x_0\) of\(Ly=0\) можуть бути отримані шляхом вибору\(a_0\) і\(a_1\) довільно і обчислення\(a_2\)\(a_3\),,..., послідовно так що\(b_n=0\) для\(n\ge0\). Для простоти ми називаємо отримані таким чином степеневі ряди в\(x-x_0\) для загального розв'язку\(Ly=0\), без явного визначення відкритого інтервалу збіжності ряду.
\(x_0\)Дозволяти довільне дійсне число. Знайти степеневі ряди\(x-x_0\) для загального розв'язку рівнянь типу рівнянь\ ref {eq:7.2.10},\ ref {eq:7.2.11}, і\ ref {eq:7.2.12}, які визначають заданий коефіцієнт\(\{a_n\}\) у послідовності через один або більше коефіцієнтів з меншими індексами, які називаються рекурентними відносинами . Коли ми використовуємо рекуррентне відношення для обчислення термінів послідовності, ми обчислюємо рекурсивно.
У решті цього розділу розглянуто задачу пошуку розв'язків степеневих рядів\(x-x_0\) у рівняннях виду
\[\label{eq:7.2.16} \left(1+\alpha(x-x_0)^2\right)y''+\beta(x-x_0) y'+\gamma y=0.\]
Багато важливих рівнянь, що виникають у додатках, мають таку форму\(x_0=0\), включаючи рівняння Лежандра\ ref {eq:7.2.2}, рівняння Ейрі\ ref {eq:7.2.3}, рівняння Чебишева,
\[(1-x^2)y''-xy'+\alpha^2 y=0, \nonumber\]
і рівняння Ерміта,
\[y''-2xy'+2\alpha y=0. \nonumber\]
Так як
\[P_0(x)=1+\alpha(x-x_0)^2 \nonumber\]
у Рівнянні\ ref {eq:7.2.16} точка\(x_0\) є звичайною точкою рівняння\ ref {eq:7.2.16}, а теорема Template:index означає, що розв'язки рівняння\ ref {eq:7.2.16} можуть бути записані як ряди степенів,\(x-x_0\) що збігаються на інтервалі\(\alpha\ne0\),\((x_0-1/\sqrt|\alpha|,x_0+1/\sqrt|\alpha|)\) якщо або на\((-\infty,\infty)\) якщо\(\alpha=0\). Ми побачимо, що коефіцієнти в цих степеневих рядах можна отримати методами, подібними до того, який використовується в прикладі Template:index.
Щоб спростити знаходження коефіцієнтів, введемо деякі позначення для виробів:
\[\prod^s_{j=r}b_j=b_rb_{r+1}\cdots b_s\quad \mbox{if} \quad s\ge r. \nonumber\]
Таким чином,
\[\prod^7_{j=2}b_j=b_2b_3b_4b_5b_6b_7, \nonumber\]
\[\prod^4_{j=0}(2j+1)=(1)(3)(5)(7)(9)=945, \nonumber\]
і
\[\prod^2_{j=2}j^2=2^2=4. \nonumber\]
визначаємо
\[\prod^s_{j=r}b_j=1\quad \mbox{if}\quad s < r, \nonumber\]
незалежно від того, яка форма\(b_j\).
Знайти ряд потужності в\(x\) для загального рішення
\[\label{eq:7.2.9} y''+ y=0.\]
Рішення
Тут
\[Ly=y''+y. \nonumber\]
Якщо
\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, \nonumber\]
потім
\[y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}, \nonumber\]
тому
\[Ly=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n. \nonumber\]
Щоб зібрати коефіцієнти подібних ступенів\(x-x_0\), зміщуємо індекс підсумовування в першу суму. Це дає
\[Ly=\sum^\infty_{n=0}(n+2)(n+1)a_{n+2}(x-x_0)^n + \sum^\infty_{n=0}a_n(x-x_0)^n =\sum^\infty_{n=0}b_n(x-x_0)^n, \nonumber\]
із
\[b_n=(n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n. \nonumber\]
Тому\(Ly=0\) якщо і тільки якщо
\[\label{eq:7.2.10} a_{n+2}={-a_n\over(n+2)(n+1)},\quad n\ge0,\]
де\(a_0\) і\(a_1\) є довільними. Оскільки індекси лівої та правої сторін Equation\ ref {eq:7.2.10} відрізняються на два, ми пишемо Equation\ ref {eq:7.2.10} окремо для\(n\)\(n\) парних\((n=2m)\) і непарних\((n=2m+1)\). Це дає
\[a_{2m+2} = \dfrac{-a_{2m}}{(2m+2)(2m+1)}, \quad m \ge 0, \label{eq:7.2.11}\]
і
\[a_{2m+3} = {-a_{2m+1}\over(2m+3)(2m+2)},\quad m\ge0. \label{eq:7.2.12}\]
Обчислення коефіцієнтів парних ступенів\(x-x_0\) з рівняння\ ref {eq:7.2.11} виходить
\[\begin{aligned} a_2 &= -{a_0\over2\cdot1}\\[4pt] a_4 &= -{a_2\over4\cdot3}=-{1\over4\cdot3} \left(-{a_0\over2\cdot1}\right)= {a_0\over4\cdot3\cdot2\cdot1}, \\ a_6 &= -{a_4\over6\cdot5}=-{1\over6\cdot5} \left({a_0\over4\cdot3\cdot2\cdot1}\right) =-{a_0\over6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot 2\cdot1},\end{aligned}\nonumber \]
і, загалом,
\[\label{eq:7.2.13} a_{2m}=(-1)^m {a_0\over(2m)!}\;,\quad m\ge0.\]
Обчислення коефіцієнтів непарних степенів\(x-x_0\) з рівняння\ ref {eq:7.2.12} виходить
\[\begin{aligned} a_3 &= -{a_1\over3\cdot2}\\[4pt] a_5 &= -{a_3\over5\cdot4}=-{1\over5\cdot4} \left(-{a_1\over3\cdot2}\right)= {a_1\over5\cdot4\cdot3\cdot2}, \\ a_7 &= -{a_5\over7\cdot6}=-{1\over7\cdot6} \left({a_1\over5\cdot4\cdot3\cdot2}\right) =-{a_1\over7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot 3\cdot2},\end{aligned}\nonumber \]
і, загалом,
\[\label{eq:7.2.14} a_{2m+1}={(-1)^ma_1\over(2m+1)!}\quad m\ge0.\]
Таким чином, загальне розв'язання Equation\ ref {eq:7.2.9} можна записати як
\[y=\sum_{m=0}^\infty a_{2m}(x-x_0)^{2m}+\sum_{m=0}^\infty a_{2m+1}(x-x_0)^{2m+1}, \nonumber\]
або, з Рівняння\ ref {eq:7.2.13} і Рівняння\ ref {eq:7.2.14}, як
\[\label{eq:7.2.15} y=a_0\sum_{m=0}^\infty(-1)^m{(x-x_0)^{2m}\over(2m)!} +a_1\sum_{m=0}^\infty(-1)^m{(x-x_0)^{2m+1}\over(2m+1)!}.\]
Якщо згадати з обчислення, що
\[\sum_{m=0}^\infty(-1)^m{(x-x_0)^{2m}\over(2m)!}=\cos(x-x_0) \quad \text{and} \quad \sum_{m=0}^\infty(-1)^m{(x-x_0)^{2m+1}\over(2m+1)!}=\sin(x-x_0), \nonumber\]
тоді рівняння\ ref {eq:7.2.15} стає
\[y=a_0\cos(x-x_0)+a_1\sin(x-x_0), \nonumber\]
який повинен виглядати звично.
\[\label{eq:7.2.17} (1+2x^2)y''+6xy'+2y=0.\]
Рішення
Тут
\[Ly=(1+2x^2)y''+6xy'+2y. \nonumber\]
Якщо
\[y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \nonumber\]
потім
\[y'=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}\quad\mbox{ and }\quad y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2},\nonumber \]
тому
\[\begin{aligned} Ly &= (1+2x^2) \sum^\infty_{n=2}n(n-1)a_nx^{n-2}+ 6x \sum^\infty_{n=1}na_nx^{n-1} +2 \sum^\infty_{n=0}a_nx^n\\[4pt] &= \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}+\sum_{n=0}^\infty \left[2n(n-1)+6n+2\right]a_nx^n\\[4pt] &= \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}+2\sum_{n=0}^\infty(n+1)^2a_nx^n.\end{aligned}\nonumber \]
Щоб зібрати коефіцієнти\(x^n\), зрушуємо індекс підсумовування в першу суму. Це дає
\[Ly=\sum_{n=0}^\infty(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n+2\sum_{n=0}^\infty(n+1)^2a_nx^n =\sum_{n=0}^\infty b_nx^n, \nonumber\]
із
\[b_n=(n+2)(n+1)a_{n+2}+2(n+1)^2a_n,\quad n\ge0. \nonumber\]
Для отримання розв'язків рівняння\ ref {eq:7.2.17} встановлено\(b_n=0\) для\(n\ge0\). Це еквівалентно співвідношенню повторення
\[\label{eq:7.2.18} a_{n+2}=-2{n+1\over n+2}a_n,\quad n\ge0.\]
Оскільки індекси зліва і справа відрізняються на два, ми пишемо Equation\ ref {eq:7.2.18} окремо для\(n=2m\) і\(n=2m+1\), як у прикладі Template:index. Це дає
\[\begin{align} a_{2m+2} &= -2 {2m+1\over2m+2}a_{2m} =-{2m+1\over m+1}a_{2m},\quad m \ge0,\label{eq:7.2.19} \end{align}\]
і
\[\begin{align} a_{2m+3} &= -2{2m+2\over2m+3}a_{2m+1} =-4{m+1\over2m+3}a_{2m+1},\quad m\ge0. \label{eq:7.2.20}\end{align}\]
Обчислення коефіцієнтів парних ступенів\(x\) з рівняння\ ref {eq:7.2.19} виходить
\[\begin{aligned} a_2 &= -{1\over1}a_0,\\[4pt] a_4 &= -{3\over2}a_2=\left(-{3\over2}\right)\left(-{1\over1}\right)a_0 ={1\cdot3\over1\cdot2}a_0, \\[4pt] a_6 &= -{5\over3}a_4= -{5\over3}\left(1\cdot3\over1\cdot2\right)a_0 =-{1\cdot3\cdot5\over1\cdot2\cdot3}a_0, \\[4pt] a_8 &= -{7\over4}a_6=-{7\over4} \left(-{1\cdot3\cdot5\over1\cdot2\cdot3}\right)a_0= {1\cdot3\cdot5\cdot7\over1\cdot2\cdot3\cdot4}a_0.\\\end{aligned}\nonumber \]Загалом,
\[\label{eq:7.2.21} a_{2m}=(-1)^m{\prod_{j=1}^m(2j-1)\over m!}a_0,\quad m\ge0.\]
(Зауважте, що рівняння\ ref {eq:7.2.21} є правильним,\(m=0\) оскільки ми визначили\(\prod_{j=1}^0b_j=1\) для будь-якого\(b_j\).)
Обчислення коефіцієнтів непарних степенів\(x\) з рівняння\ ref {eq:7.2.20} виходить
\[\begin{aligned} a_3 &= -4\,{1\over3}a_1, \\[4pt] a_5 &= -4\,{2\over5}a_3=-4\,{2\over5}\left(-4{1\over3}\right)a_1 =4^2{1\cdot2\over3\cdot5}a_1, \\[4pt] a_7 &= -4\,{3\over7}a_5=-4\,{3\over7}\left( 4^2{1\cdot2\over3\cdot5}\right)a_1= -4^3{1\cdot2\cdot3\over3\cdot5\cdot7}a_1,\\[4pt] a_9 &= -4\, {4\over9}a_7=-4\, {4\over9}\left( 4^3{1\cdot2\cdot3\over3\cdot5\cdot7}\right)a_1= 4^4{1\cdot2\cdot3\cdot4\over3\cdot5\cdot7\cdot9}a_1.\end{aligned}\nonumber \]
Загалом,
\[\label{eq:7.2.22} a_{2m+1}={(-1)^m4^m m!\over\prod_{j=1}^m(2j+1)}a_1,\quad m\ge0.\]
З рівняння\ ref {eq:7.2.21} і рівняння\ ref {eq:7.2.22},
\[y=a_0 \sum^\infty_{m=0}(-1)^m {\prod_{j=1}^m(2j-1)\over m!}x^{2m} +a_1 \sum^\infty_{m=0}(-1)^m {4^mm!\over\prod_{j=1}^m(2j+1)} x^{2m+1}. \nonumber\]
є степеневим рядом\(x\) для загального розв'язку Рівняння\ ref {eq:7.2.17}. Оскільки не\(P_0(x)=1+2x^2\) має дійсних нулів, теорема 5.1.1 передбачає, що кожне розв'язання рівняння\ ref {eq:7.2.17} визначено на\((-\infty,\infty)\). Однак\(P_0(\pm i/\sqrt2)=0\), оскільки теорема Template:index передбачає лише те, що ряди степенів сходяться в\((-1/\sqrt2,1/\sqrt2)\) для будь-якого вибору\(a_0\) і\(a_1\).
Результати у прикладах Template:index та Template:index є наслідками наступної загальної теореми.
Коефіцієнти\(\{a_n\}\) в будь-якому\(y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) розв'язку
\[\label{eq:7.2.23} \left(1+\alpha(x-x_0)^2\right)y''+\beta(x-x_0) y'+\gamma y=0\]
задовольнити відношення повторення
\[\label{eq:7.2.24} a_{n+2}=-{p(n) \over(n+2)(n+1)}a_n,\quad n\ge0,\]
де
\[\label{eq:7.2.25} p(n)=\alpha n(n-1) +\beta n+\gamma.\]
Причому\(,\) коефіцієнти парної і непарної степеней\(x-x_0\) можна обчислити окремо як
\[ a_{2m+2} = -{p(2m)\over(2m+2)(2m+1)}a_{2m},\quad m\ge0\label{eq:7.2.26}\]
\[ a_{2m+3} = -{p(2m+1)\over(2m+3)(2m+2)}a_{2m+1},\quad m\ge0, \label{eq:7.2.27}\]
де\(a_0\) і\(a_1\) є довільними.
- Доказ
-
Тут
\[Ly=\left(1+\alpha(x-x_0\right)^2)y''+\beta(x-x_0) y'+\gamma y. \nonumber\]
Якщо
\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,\nonumber\]
потім
\[y'=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1} \quad\mbox{ and }\quad y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}.\nonumber\]
Отже,
\[\begin{array}{ccl} Ly &= {\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+ \sum_{n=0}^\infty \left[\alpha n(n-1) +\beta n+\gamma\right]a_n(x-x_0)^n}\\[4pt] &= {\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+\sum_{n=0}^\infty p(n)a_n(x-x_0)^n}, \end{array}\nonumber \]
з Рівняння\ ref {еква:7.2.25}. Щоб зібрати коефіцієнти степенів\(x-x_0\), зрушуємо індекс підсумовування в першу суму. Це дає
\[Ly=\sum_{n=0}^\infty \left[(n+2)(n+1)a_{n+2}+p(n)a_n\right](x-x_0)^n.\nonumber\]
Таким чином,\(Ly=0\) якщо і тільки якщо
\[(n+2)(n+1)a_{n+2}+p(n)a_n=0,\quad n\ge0,\nonumber\]що еквівалентно рівнянню\ ref {eq:7.2.24}. Записування рівняння\ ref {eq:7.2.24} окремо для випадків, коли\(n=2m\) і\(n=2m+1\) дає рівняння\ ref {eq:7.2.26} і рівняння\ ref {eq:7.2.27}.
Знайти ряд потужності в\(x-1\) для загального рішення
\[\label{eq:7.2.28} (2+4x-2x^2)y''-12(x-1)y'-12y=0.\]
Рішення
Треба спочатку записати коефіцієнт\(P_0(x)=2+4x-x^2\) в степенях\(x-1\). Для цього ми\(x=(x-1)+1\) записуємо,\(P_0(x)\) а потім розширюємо терміни, збираючи повноваження\(x-1\); таким чином,
\[\begin{aligned} 2+4x-2x^2 &= 2+4[(x-1)+1]-2[(x-1)+1]^2\\ &= 4-2(x-1)^2.\end{aligned}\nonumber \]
Тому ми можемо переписати рівняння\ ref {eq:7.2.28} як
\[\left(4-2(x-1)^2\right)y''-12(x-1)y'-12y=0, \nonumber\]
або, рівнозначно,
\[\left(1-{1\over2}(x-1)^2\right)y''-3(x-1)y'-3y=0. \nonumber \]
Це має вигляд Рівняння\ ref {eq:7.2.23} з\(\alpha=-1/2\)\(\beta=-3\), і\(\gamma=-3\). Отже, з Рівняння\ ref {eq:7.2.25}
\[p(n)=-{n(n-1)\over2}-3n-3=-{(n+2)(n+3)\over2}.\nonumber \]
Отже, теорема Template:index передбачає, що
\[\begin{aligned} a_{2m+2} &= -{p(2m)\over(2m+2)(2m+1)}a_{2m}\\ &= {(2m+2)(2m+3)\over2(2m+2)(2m+1)} a_{2m}={2m+3\over2(2m+1)}a_{2m},\quad m\ge0 \end{aligned} \nonumber \]
і
\[\begin{aligned} a_{2m+3} &= -{p(2m+1)\over(2m+3)(2m+2)}a_{2m+1}\\ &= {(2m+3)(2m+4)\over2 (2m+3)(2m+2)}a_{2m+1}={m+2\over2(m+1)}a_{2m+1},\quad m\ge0.\end{aligned}\nonumber \]
Ми залишаємо це вам, щоб показати, що
\[a_{2m}={2m+1\over2^m}a_0\quad\mbox{ and }\quad a_{2m+1}={m+1\over2^m}a_1,\quad m\ge0,\nonumber \]
що означає, що степеневий ряд в\(x-1\) загальному розв'язку Рівняння\ ref {eq:7.2.28} дорівнює
\[y=a_0\sum_{m=0}^\infty{2m+1\over2^m}(x-1)^{2m}+a_1\sum_{m=0}^\infty {m+1\over2^m}(x-1)^{2m+1}.\nonumber \]
У розглянутих прикладах ми змогли отримати замкнуті формули для коефіцієнтів у розв'язках степеневих рядів. У деяких випадках це неможливо, і ми повинні погодитися на обчислення кінцевої кількості термінів у ряді. Наступний приклад ілюструє це з початковою задачею значення.
Обчислити\(a_0\),\(a_1\),...,\(a_7\) у послідовному розв'язанні\(y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) початкової задачі
\[\label{eq:7.2.29} (1+2x^2)y''+10xy'+8y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-3.\]
Рішення
Оскільки\(\alpha=2\)\(\beta=10\), і\(\gamma=8\) в рівнянні\ ref {eq:7.2.29},
\[p(n)=2n(n-1)+10n+8=2(n+2)^2.\nonumber\]
Тому
\[a_{n+2}=-2{(n+2)^2\over(n+2)(n+1)}a_n=-2{n+2\over n+1}a_n,\quad n\ge0.\nonumber\]
Написання цього рівняння окремо для\(n=2m\) і\(n=2m+1\) дає
\[\begin{align} a_{2m+2} = -2{(2m+2)\over2m+1}a_{2m}=-4{m+1\over2m+1}a_{2m},\quad m\ge 0\label{eq:7.2.30}\end{align}\]
\[\begin{align} a_{2m+3} = -2{2m+3\over2m+2}a_{2m+1}=-{2m+3\over m+1}a_{2m+1},\quad m\ge0. \label{eq:7.2.31}\end{align}\]
Починаючи з\(a_0=y(0)=2\), обчислюємо\(a_2, a_4\), і\(a_6\) з Рівняння\ ref {eq:7.2.30}:
\[\begin{aligned} a_2 &= -4\,{1\over1}2=-8,\\[4pt] a_4 &= -4\,{2\over3}(-8)={64\over3},\\[4pt] a_6 &= -4\,{3\over5}\left(64\over3\right)=-{256\over5}.\end{aligned}\nonumber\]
Починаючи з\(a_1=y'(0)=-3\), обчислюємо\(a_3,a_5\) і\(a_7\) з рівняння\ ref {eq:7.2.31}:
\[\begin{aligned} a_3 &= -{3\over1}(-3)=9,\\[4pt] a_5 &= -{5\over2}9=-{45\over2},\\[4pt] a_7 &= -{7\over3}\left(-{45\over2}\right)={105\over2}.\end{aligned}\nonumber \]
Тому розв'язком Рівняння\ ref {eq:7.2.29} є
\[y=2-3x-8x^2+9x^3+{64\over3}x^4-{45\over2}x^5-{256\over5} x^6+{105\over2}x^7+\cdots\;.\nonumber\]
Використання технологій
Обчислення коефіцієнтів рекурсивно, як у прикладі Template:index стомлює. Ми рекомендуємо вам зробити такий вид обчислень, написавши коротку програму для реалізації відповідного рекуррентного відношення на калькуляторі або комп'ютері. Ви можете зробити це при перевірці прикладів і виконання вправ (ідентифікованих символом\(C\)) у цій главі, які вимагають числового обчислення коефіцієнтів у послідовних розв'язках. Відповіді на ці вправи ми отримали за допомогою програмного забезпечення, здатного виробляти відповіді у вигляді раціональних чисел. Однак цілком прийнятно - і практичніше - отримати відповіді в десятковій формі. Ви завжди можете перевірити їх, перетворивши наші дроби в десяткові.
Якщо вас цікавить насправді використання рядів для обчислення числових наближень до розв'язків диференціального рівняння, то чи є проста замкнута форма для коефіцієнтів, по суті, не має значення. Для обчислювальних цілей зазвичай ефективніше починати з заданих коефіцієнтів\(a_0=y(x_0)\) і\(a_1=y'(x_0)\), обчислити\(a_2\),...,\(a_N\) рекурсивно, а потім обчислити приблизні значення рішення з полінома Тейлора
\[T_N(x)=\sum_{n=0}^Na_n(x-x_0)^n.\nonumber \]
Хитрість полягає в\(N\) тому, щоб вирішити, як вибрати, щоб наближення було\(y(x)\approx T_N(x)\) достатньо точним на підінтервалі інтервалу збіжності, який вас цікавить. У обчислювальних вправах в цьому і наступних двох розділах вам часто буде запропоновано отримати рішення даної задачі шляхом числового інтегрування з програмним забезпеченням за вашим вибором (коротке обговорення одного такого методу див. Розділ 10.1), і порівняти отримане таким способом рішення з наближення, отримані з\(T_N\) для різних значень\(N\). Це типовий підручник вид вправи, розроблений, щоб дати вам уявлення про те, як точність наближення\(y(x)\approx T_N(x)\) поводиться як функція\(N\) і інтервал, над яким ви працюєте. У реальному житті ви б обрали той чи інший із двох методів (числове інтегрування або послідовне рішення). Якщо ви вибираєте метод послідовного рішення, то практичною процедурою визначення відповідного\(N\) значення буде продовжувати збільшуватися до тих пір,\(N\) поки максимум\(|T_N-T_{N-1}|\) на інтервалі інтересу не виявиться в межах похибки, яку ви готові прийняти.
Виконуючи обчислювальні задачі, які вимагають числового розв'язання диференціальних рівнянь, вам слід вибрати найбільш точну процедуру числового інтеграції, яку підтримує ваше програмне забезпечення, і експериментувати з розміром кроку, поки ви не будете впевнені, що числові результати є достатньо точними для задачі на рука.