Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.2E: Огляд силової серії (вправи)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62042

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Q7.1.1

    1. Для кожного ряду потужності використовуйте теорему 7.1.3, щоб знайти радіус збіжності\(R\). Якщо\(R>0\), знайти відкритий інтервал збіжності.

    1. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\over2^nn}(x-1)^n}\)
    2. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 2^nn(x-2)^n}\)
    3. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty {n!\over9^n}x^n}\)
    4. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty{n(n+1)\over16^n}(x-2)^n}\)
    5. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n{7^n\over n!}x^n}\)
    6. \({\displaystyle \sum_{n=0}^\infty {3^n\over4^{n+1}(n+1)^2}(x+7)^n}\)

    2. Припустимо, що є ціле число\(M\) таке, що\(b_m\ne0\) для\(m\ge M\), і\[\lim_{m\to\infty}\left|b_{m+1}\over b_m\right|=L,\nonumber \] де\(0\le L\le\infty\). Показати, що радіус збіжності\[\displaystyle \sum_{m=0}^\infty b_m(x-x_0)^{2m}\nonumber \] є\(R=1/\sqrt L\), який інтерпретується як означає, що\(R=0\) якщо\(L=\infty\) або\(R=\infty\) якщо\(L=0\).

    3. Для кожного силового ряду використовуйте результат вправи 7.1.2, щоб знайти радіус збіжності\(R\). Якщо\(R>0\), знайти відкритий інтервал збіжності.

    1. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty (-1)^m(3m+1)(x-1)^{2m+1}}\)
    2. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty (-1)^m{m(2m+1)\over2^m}(x+2)^{2m}}\)
    3. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty {m!\over(2m)!}(x-1)^{2m}}\)
    4. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty (-1)^m{m!\over9^m}(x+8)^{2m}}\)
    5. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty(-1)^m{(2m-1)\over3^m}x^{2m+1}}\)
    6. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty(x-1)^{2m}}\)

    4. Припустимо, що є ціле число\(M\) таке, що\(b_m\ne0\) для\(m\ge M\), і\[\lim_{m\to\infty}\left|b_{m+1}\over b_m\right|=L,\nonumber \] де\(0\le L\le\infty\). \(k\)Дозволяти бути натуральним цілим числом. Показати, що радіус збіжності\[\displaystyle \sum_{m=0}^\infty b_m(x-x_0)^{km}\nonumber \] є\(R=1/\sqrt[k]L\), який інтерпретується як означає, що\(R=0\) якщо\(L=\infty\) або\(R=\infty\) якщо\(L=0\).

    5. Для кожного силового ряду використовуйте результат вправи 7.1.4, щоб знайти радіус збіжності\(R\). Якщо\(R>0\), знайти відкритий інтервал збіжності.

    1. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty{(-1)^m\over(27)^m}(x-3)^{3m+2}}\)
    2. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty{x^{7m+6}\over m}}\)
    3. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty{9^m(m+1)\over(m+2)}(x-3)^{4m+2}}\)
    4. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty(-1)^m{2^m\over m!}x^{4m+3}}\)
    5. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty{m!\over(26)^m}(x+1)^{4m+3}}\)
    6. \({\displaystyle \sum_{m=0}^\infty{(-1)^m\over8^mm(m+1)}(x-1)^{3m+1}}\)

    6. Графік\(y=\sin x\) і поліном Тейлора\[T_{2M+1}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^M{(-1)^nx^{2n+1}\over(2n+1)!}\nonumber \] на інтервалі\((-2\pi,2\pi)\) для\(M=1\)\(2\),\(3\),,..., поки ви не знайдете значення,\(M\) для якого немає помітної різниці між двома графіками.

    7. Графік\(y=\cos x\) і поліном Тейлора\[T_{2M}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^M{(-1)^nx^{2n}\over(2n)!}\nonumber \] на інтервалі\((-2\pi,2\pi)\) для\(M=1\)\(2\),\(3\),,..., поки ви не знайдете значення,\(M\) для якого немає помітної різниці між двома графіками.

    8. Графік\(y=1/(1-x)\) і поліном Тейлора\[T_N(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^Nx^n\nonumber \] на інтервалі\([0,.95]\) для\(N=1\)\(2\),\(3\),,..., поки ви не знайдете значення,\(N\) для якого немає помітної різниці між двома графіками. Виберіть масштаб на\(y\) -осі так\(0\le y\le20\).

    9. Графік\(y=\cosh x\) і поліном Тейлора\[T_{2M}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^M{x^{2n}\over(2n)!}\nonumber \] на інтервалі\((-5,5)\) для\(M=1\)\(2\),\(3\),,..., поки ви не знайдете значення,\(M\) для якого немає помітної різниці між двома графіками. Виберіть масштаб на\(y\) -осі так\(0\le y\le75\).

    10. Графік\(y=\sinh x\) і поліном Тейлора\[T_{2M+1}(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^M{x^{2n+1}\over(2n+1)!}\nonumber \] на інтервалі\((-5,5)\) для\(M=0\)\(1\),\(2\),,..., поки ви не знайдете значення,\(M\) для якого немає помітної різниці між двома графіками. Виберіть масштаб на\(y\) -осі так\(-75~\le~y\le~75\).

    Q7.1.2

    У вправах 7.1.11-7.1.15 знайти розв'язок степеневого ряду\ (y (x) =\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a_ {n} x^ {n}\].

    11. \((2+x)y''+xy'+3y\)

    12. \((1+3x^2)y''+3x^2y'-2y\)

    13. \((1+2x^2)y''+(2-3x)y'+4y\)

    14. \((1+x^2)y''+(2-x)y'+3y\)

    15. \((1+3x^2)y''-2xy'+4y\)

    Q7.1.3

    16. Припустимо,\(y(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(x+1)^n\) на відкритому інтервалі, який містить\(x_0~=~-1\). Знайдіть серію потужності в\(x+1\) for\[xy''+(4+2x)y'+(2+x)y.\nonumber \]

    17. Припустимо,\(y(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(x-2)^n\) на відкритому інтервалі, який містить\(x_0~=~2\). Знайдіть серію потужності в\(x-2\) for\[x^2y''+2xy'-3xy.\nonumber \]

    18. Виконайте наступний експеримент для різних варіантів дійсних чисел\(a_0\) і\(a_1\).

    1. Використовуйте програмне забезпечення диференціальних рівнянь для розв'язання початкової задачі\[(2-x)y''+2y=0,\quad y(0)=a_0,\quad y'(0)=a_1,\nonumber \] чисельно на\((-1.95,1.95)\). Виберіть найбільш точний метод, який надає ваш програмний пакет. (Див. Розділ 10.1 для короткого обговорення одного з таких методів.)
    2. Для\(N=2\),\(3\),\(4\),..., обчислити\(a_2\),...,\(a_N\) з Рівняння 7.1.18 та графіка\[T_N(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^N a_nx^n\nonumber \] та рішення, отриманого в (а) на тих же осях. Продовжуйте збільшуватися,\(N\) поки не стане очевидним, що немає сенсу продовжувати. (Це звучить розпливчасто, але ви будете знати, коли зупинитися.)

    19. Дотримуйтесь вказівок вправи 7.1.18 для початкової задачі значення\[(1+x)y''+2(x-1)^2y'+3y=0,\quad y(1)=a_0,\quad y'(1)=a_1,\nonumber \] на інтервалі\((0,2)\). Використовуйте рівняння 7.1.24 та 7.1.25 для обчислення\(\{a_n\}\).

    20. Припустимо, ряд\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) сходиться на відкритому інтервалі\((-R,R)\), нехай\(r\) буде довільне дійсне число, і визначити\[y(x)=x^r\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}\nonumber \] далі\((0,R)\). Використовуйте теорему 7.1.4 та правило диференціації добутку двох функцій, щоб показати, що\[\begin{aligned} y'(x)&={\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+r)a_nx^{n+r-1}},\\[10pt] y''(x)&={\displaystyle \sum_{n=0}^\infty(n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-2}},\\ &\vdots&\\ y^{(k)}(x)&={\displaystyle \sum_{n=0}^\infty(n+r)(n+r-1)\cdots(n+r-k)a_nx^{n+r-k}}\end{aligned}\nonumber \] на\((0,R)\)

    Q7.1.4

    21. \(x^2(1-x)y''+x(4+x)y'+(2-x)y\)

    22. \(x^2(1+x)y''+x(1+2x)y'-(4+6x)y\)

    23. \(x^2(1+x)y''-x(1-6x-x^2)y'+(1+6x+x^2)y\)

    24. \(x^2(1+3x)y''+x(2+12x+x^2)y'+2x(3+x)y\)

    25. \(x^2(1+2x^2)y''+x(4+2x^2)y'+2(1-x^2)y\)

    26. \(x^2(2+x^2)y''+2x(5+x^2)y'+2(3-x^2)y\)