7.2: Огляд серії Power

Багато застосувань породжують диференціальні рівняння з розв'язками, які не можуть бути виражені через елементарні функції, такі як поліноми, раціональні функції, експоненціальні та логарифмічні функції та тригонометричні функції. Розв'язки деяких найважливіших з цих рівнянь можуть бути виражені термінами степеневих рядів. Ми вивчимо такі рівняння в цьому розділі. У цьому розділі ми розглянемо відповідні властивості силових рядів. Ми опустимо докази, які можна знайти в будь-якому стандартному тексті числення.

Визначення Template:index

Нескінченний ряд форми

\[\label{eq:7.1.1} \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,\]

де\(x_0\) і\(a_0\),\(a_1,\)...,\(a_n,\)... є константами, називається степеневим рядом в\(x-x_0.\) Ми говоримо, що степеневий ряд Equation\ ref {eq:7.1.1} сходиться для заданого,\(x\) якщо межа

\[\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^Na_n(x-x_0)^n \nonumber\]

існує\(;\) інакше, ми говоримо, що силовий ряд розходиться для заданого\(x.\)

Силовий ряд в\(x-x_0\) повинен сходитися\(x=x_0\), якщо, так як позитивні сили всіх нульових в цьому випадку.\(x-x_0\) Це може бути єдине значення,\(x\) для якого сходиться силовий ряд. Однак наступна теорема показує, що якщо степеневий ряд сходиться для деяких,\(x\ne x_0\) то множина всіх значень,\(x\) для яких він сходиться, утворює інтервал.

Теорема Template:index

Для будь-яких силових серій

\[\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, \nonumber\]

вірно саме одне з цих тверджень:

1. Силовий ряд сходиться тільки для\(x=x_0.\)
2. Силовий ряд сходиться для всіх значень\(x.\)
3. Існує позитивне число,\(R\) таке, що серія потужності сходиться, якщо\(|x-x_0|<R\) і розходиться, якщо\(|x-x_{0}|>R\).

У випадку (iii) ми говоримо, що\(R\) це радіус збіжності степеневого ряду. Для зручності ми включимо інші два випадки в це визначення, визначивши\(R=0\) в регістрі (i) і\(R=\infty\) в регістрі (ii). Визначаємо відкритий інтервал збіжності\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) to be

\[(x_{0}-R, x_{0}+R)\quad\text{if}\quad 0<R<\infty ,\quad\text{or}\quad (-\infty, \infty )\quad\text{if}\quad R=\infty \nonumber.\]

Якщо скінченна,\(R\) то не може бути зроблено жодного загального твердження щодо збіжності в\(x=x_0\pm R\) кінцевих точках відкритого інтервалу збіжності; ряд може сходитися в одній або обох точках або розходитися в обох точках.

Нагадаємо з числення, що ряд\(\sum_{n=0}^\infty\alpha_n\) констант, як кажуть, сходяться абсолютно, якщо ряд абсолютних значень\(\sum_{n=0}^\infty|\alpha_n|\) сходяться. Можна показати, що степеневий ряд\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) з додатним радіусом\(R\) збіжності сходиться абсолютно в своєму відкритому інтервалі збіжності; тобто ряд

\[\sum_{n=0}^\infty |a_n||x-x_0|^n \nonumber\]

абсолютних значень сходиться, якщо\(|x-x_0| <R\). Однак якщо\(R<\infty\), ряд може не зійтися абсолютно в кінцевій точці\(x_{0}\pm R\), навіть якщо він сходиться тут.

Наступна теорема надає корисний метод визначення радіуса збіжності степеневого ряду. Це отримано в обчисленні шляхом застосування тесту на відношення до відповідного ряду абсолютних значень. Для пов'язаних теорем див. Вправи 7.2.2 та 7.2.4.

Теорема Template:index

Припустимо, що є ціле число\(N\) таке, що\(a_n\ne0\) якщо\(n\ge N\) і

\[\lim_{n\to\infty}\left|a_{n+1}\over a_n\right|=L, \nonumber\]

де\(0\le L\le\infty.\) Тоді радіус збіжності\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\) є\(R=1/ L,\) який слід інтерпретувати, щоб означати, що\(R=0\) якщо\(L=\infty,\) або\(R=\infty\) якщо\(L=0\).

Приклад Template:index

Знайдіть радіус збіжності ряду:

1. \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n!x^n \nonumber\)
2. \(\displaystyle \sum_{n=10}^\infty (-1)^n {x^n\over n!} \nonumber\)
3. \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 2^nn^2 (x-1)^n.\nonumber\)

Рішення a

Ось\(a_n=n!\), так

\[\lim_{n\to\infty}\left|a_{n+1}\over a_n\right|=\lim_{n\to\infty} {(n+1)!\over n!}=\lim_{n\to\infty}(n+1)=\infty. \nonumber\]

Отже,\(R=0\).

Рішення б

Ось\(a_n=(1)^n/n!\) за\(n\ge N=10\), так

\[\lim_{n\to\infty}\left|a_{n+1}\over a_n\right|=\lim_{n\to\infty} {n!\over (n+1)!}=\lim_{n\to\infty}{1\over n+1}=0. \nonumber\]

Отже,\(R=\infty\).

Рішення c

Ось\(a_n=2^nn^2\), так

\[\lim_{n\to\infty}\left|a_{n+1}\over a_n\right|=\lim_{n\to\infty} {2^{n+1}(n+1)^2\over2^nn^2}=2\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over n}\right)^2=2. \nonumber\]

Отже,\(R=1/2\).

Серія Тейлора

Якщо функція\(f\) має похідні від усіх порядків у точці\(x=x_0\), то серія Тейлора\(f\) про\(x_0\) визначається

\[\sum_{n=0}^\infty {f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n. \nonumber \]

В особливому випадку\(x_0=0\), коли, цю серію також називають серією Маклорен\(f\).

Ряди Тейлора для більшості поширених елементарних функцій сходяться з функціями на їх відкритих інтервалах збіжності. Наприклад, ви напевно знайомі з наступною серією Maclaurin:

\[\begin{align} \label{eq:7.1.2} e^{x} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}, \quad -\infty<x<\infty \\[4pt] \label{eq:7.1.3} \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad -\infty<x<\infty \\[4pt] \label{eq:7.1.4} \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad -\infty<x<\infty \\[4pt] \label{eq:7.1.5} \frac{1}{1-x} &= \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \quad -1<x<1 \end{align}\]

Диференціація силових рядів

Ряд степенів з додатним радіусом збіжності визначає функцію

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \nonumber\]

на його відкритому інтервалі сходження. Ми говоримо, що ряд представляє\(f\) на відкритому інтервалі збіжності. Функція,\(f\) представлена степеневим рядом, може бути знайомою елементарною функцією, як у Рівняннях\ ref {eq:7.1.2} -\ ref {eq:7.1.5}; однак часто трапляється, що це\(f\) не звична функція, тому ряд насправді визначає\(f\).

Наступна теорема показує, що функція, представлена степеневим рядом, має похідні всіх порядків на відкритому інтервалі збіжності степеневого ряду і забезпечує степеневі ряди представлення похідних.

Теорема Template:index: Серія потужності

Силова серія

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \nonumber\]

з додатним радіусом збіжності\(R\) має похідні всіх порядків у своєму відкритому інтервалі збіжності, а послідовні похідні можуть бути отримані шляхом багаторазової диференціації члена за терміном,\(;\) тобто

\[\begin{align} f'(x)&={\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1}}\label{eq:7.1.6},\\[4pt] f''(x)&={\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}},\label{eq:7.1.7}\\[4pt] &\vdots&\nonumber\\ f^{(k)}(x)&={\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{n-k}}\label{eq:7.1.8}.\end{align}\nonumber \]

Причому всі ці ряди мають однаковий радіус збіжності\(R.\)

Приклад Template:index

Нехай\(f(x)=\sin x\). З рівняння\ ref {eq:7.1.3},

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n {x^{2n+1}\over(2n+1)!}. \nonumber\]

З рівняння\ ref {eq:7.1.6},

\[f'(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n{d\over dx}\left[x^{2n+1}\over(2n+1)!\right]= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n {x^{2n}\over(2n)!}, \nonumber\]

який є серією Рівняння\ ref {eq:7.1.4} для\(\cos x\).

Унікальність силових серій

Наступна теорема показує, що якщо\(f\) визначається степеневим рядом в\(x-x_0\) з додатним радіусом збіжності, то степеневий ряд є серією Тейлора\(f\) про\(x_0\).

Теорема Template:index

Якщо силовий ряд

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \nonumber\]

має позитивний радіус збіжності, то

\[\label{eq:7.1.9} a_n={f^{(n)}(x_0)\over n!};\]

\(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n\)тобто серіал Тейлора\(f\) про\(x_0\).

Цей результат можна отримати, встановивши\(x=x_0\) в Equation\ ref {eq:7.1.8}, який дає

\[f^{(k)}(x_0)=k(k-1)\cdots1\cdot a_k=k!a_k. \nonumber\]

Це означає, що

\[a_k={f^{(k)}(x_0)\over k!}.\nonumber\]

За винятком позначення, це те саме, що і Equation\ ref {eq:7.1.9}.

Наступна теорема перелічує дві важливі властивості степеневих рядів, що випливають з теореми Template:index.

Теорема Template:index

1. Якщо\[\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\nonumber \] для всіх\(x\) у відкритому інтервалі, який містить\(x_0,\) потім\(a_n=b_n\) для\(n=0\),\(1\),\(2\),...
2. Якщо\[\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=0\nonumber \] для всіх\(x\) у відкритому інтервалі, який містить\(x_0,\) потім\(a_n=0\) для\(n=0\),\(1\),\(2\),...

Для отримання (a) ми спостерігаємо, що два ряди представляють одну і ту ж функцію\(f\) на відкритому інтервалі; отже, теорема Template:index означає, що

\[a_n=b_n={f^{(n)}(x_0)\over n!},\quad n=0,1,2, \dots. \nonumber\]

(б) можна отримати з (а), взявши\(b_n=0\) за\(n=0\),\(1\),\(2\),...

Поліноми Тейлора

Якщо\(f\) є\(N\) похідні в точці\(x_0\), ми говоримо, що

\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N{f^{(n)}(x_0)\over n!}(x-x_0)^n \nonumber\]

\(N\)-й поліном Тейлора\(f\) про\(x_0\). Це визначення та теорема Template:index означають, що якщо

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, \nonumber\]

де степеневий ряд має позитивний радіус збіжності, то поліноми Тейлора\(f\) близько\(x_0\) задаються

\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N a_n(x-x_0)^n. \nonumber\]

У числових додатках ми використовуємо поліноми Тейлора для наближення\(f\) на підінтервалах відкритого інтервалу збіжності степеневого ряду. Наприклад, Equation\ ref {eq:7.1.2} означає, що поліном\(T_N\) Тейлора\(f(x)=e^x\)

\[T_N(x)=\sum_{n=0}^N{x^n\over n!}. \nonumber\]

Тверда крива на малюнку Template:index є графіком\(y=e^x\) на інтервалі\([0,5]\). Пунктирні криві на рисунку Template:index є графами поліномів Тейлора\(T_1\),...,\(T_6\)\(y=e^x\) приблизно\(x_0=0\). З цієї цифри ми робимо висновок, що точність наближення\(y=e^x\) його поліномом Тейлора\(T_N\) поліпшується зі\(N\) збільшенням.

Рисунок Template:index: Наближення\(y=e^x\) поліномами Тейлора про\(x=0\)

Зсув індексу підсумовування

У визначенні Template:index степеневого ряду in\(x-x_0\),\(n\) -й член є постійним кратним\((x-x_0)^n\). Це не відповідає дійсності в Equation\ ref {eq:7.1.6}, Equation\ ref {eq:7.1.7} і Equation\ ref {eq:7.1.8}, де загальні терміни є постійними кратними\((x-x_0)^{n-1}\)\((x-x_0)^{n-2}\), і\((x-x_0)^{n-k}\), відповідно. Однак всі ці ряди можуть бути переписані так, що їх\(n\) -е члени були постійними кратними\((x-x_0)^n\). Наприклад, введення рядів\(n=k+1\) у Equation\ ref {eq:7.1.6} дає

\[\label{eq:7.1.10} f'(x)=\sum_{k=0}^\infty (k+1)a_{k+1}(x-x_0)^k,\]

де ми починаємо новий індекс підсумовування\(k\) з нуля так, щоб перший член в Equation\ ref {eq:7.1.10} (отриманий шляхом встановлення\(k=0\)) був таким же, як і перший член у Equation\ ref {eq:7.1.6} (отримано шляхом встановлення\(n=1\)). Однак сума ряду не залежить від символу, який використовується для позначення індексу підсумовування, так само як значення певного інтеграла не залежить від символу, який використовується для позначення змінної інтеграції. Тому ми можемо замінити\(k\) на\(n\) в Equation\ ref {eq:7.1.10} для отримання

\[\label{eq:7.1.11} f'(x)=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}(x-x_0)^n,\]

де загальний термін є постійною кратною\((x-x_0)^n\).

Насправді не потрібно вводити проміжний індекс підсумовування\(k\). Ми можемо отримати рівняння\ ref {eq:7.1.11} безпосередньо з Рівняння\ ref {eq:7.1.6}\(n\) замінивши на\(n+1\) в загальному члені Рівняння\ ref {eq:7.1.6} і віднімання 1 з нижньої межі рівняння\ ref {eq:7.1.6}. У загальному плані ми використовуємо наступну процедуру зсуву індексів.

Зсув індексу підсумовування в ряді степенів

Для будь-якого цілого числа\(k\) степеневий ряд

\[\sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } b _ { n } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { n - k } \nonumber \]

можна переписати як

\[\sum _ { n = n _ { 0 } - k } ^ { \infty } b _ { n + k } \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { n } \nonumber \]

тобто\(n\) заміна на\(n + k\) в загальному терміні і віднімання k з нижньої межі підсумовування залишає ряд без змін.

Приклад Template:index

Перепишіть наступні ряди степенів з Equation\ ref {eq:7.1.7} і Equation\ ref {eq:7.1.8} так, щоб загальний член у кожному був постійним кратним\((x-x_0)^n\):

\[(a) \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}\quad (b) \sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{n-k}. \nonumber \]

Рішення a

Заміна\(n\) на\(n+2\) в загальному терміні і віднімання\(2\) з нижньої межі підсумовування прибутковості

\[\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}= \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}(x-x_0)^n. \nonumber \]

Рішення б

Заміна\(n\) на\(n+k\) в загальному терміні і віднімання\(k\) з нижньої межі підсумовування прибутковості

\[\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{n-k}= \sum_{n=0}^\infty (n+k)(n+k-1)\cdots(n+1)a_{n+k}(x-x_0)^n. \nonumber \]

Приклад Template:index

Враховуючи, що

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n, \nonumber\]

запишіть функцію\(xf''\) як степеневий ряд, в якому загальний термін є постійною кратною\(x^n\).

Рішення

З теореми Template:index з\(x_0=0\),

\[f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}.\nonumber\]

Тому

\[xf''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-1}.\nonumber\]

Заміна\(n\) на\(n+1\) в загальному терміні і віднімання\(1\) з нижньої межі підсумовування прибутковості

\[xf''(x)=\sum_{n=1}^\infty (n+1)na_{n+1}x^n.\nonumber\]

Ми також можемо написати це як

\[xf''(x)=\sum_{n=0}^\infty (n+1)na_{n+1}x^n,\nonumber\]

так як перший термін в цій останній серії дорівнює нулю. (Пізніше ми побачимо, що іноді корисно включити нульові терміни на початку серії.)

Лінійні комбінації силових рядів

Якщо силовий ряд множиться на константу, то константу можна помістити всередині підсумовування; тобто

\[c\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty ca_n(x-x_0)^n.\nonumber\]

Дві силові серії

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \quad\mbox{ and }\quad g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n\nonumber\]

з додатними радіусами збіжності можна додати член за терміном в точках, загальних для їх відкритих інтервалів збіжності; таким чином, якщо перший ряд сходиться для,\(|x-x_0|<R_{1}\) а другий сходиться для\(|x-x_{0}|<R_{2}\), то

\[f(x)+g(x)=\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n)(x-x_0)^n\nonumber\]

для\(|x-x_0|<R\), де\(R\) менший з\(R_{1}\) і\(R_{2}\). Більш загально лінійні комбінації силових рядів можуть формуватися термін за терміном; наприклад,

\[c_1f(x)+c_2f(x)=\sum_{n=0}^\infty(c_1a_n+c_2b_n)(x-x_0)^n.\nonumber\]

Приклад Template:index

Знайти ряд Маклорена для\(\cosh x\) як лінійну комбінацію ряду Маклорена для\(e^x\) і\(e^{-x}\).

Рішення

За визначенням,

\[\cosh x={1\over2}e^x+{1\over2}e^{-x}. \nonumber\]

Так як

\[e^x=\sum_{n=0}^\infty {x^n\over n!}\quad\mbox{ and }\quad e^{-x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n {x^n\over n!}, \nonumber\]

з цього випливає, що

\[\label{eq:7.1.12} \cosh x=\sum_{n=0}^\infty {1\over2}[1+(-1)^n]{x^n\over n!}.\]

Так як

\[{1\over2}[1+(-1)^n]=\left\{\begin{array}{cl}1&\mbox{ if } n=2m,\mbox{ an even integer},\\ 0&\mbox{ if }n=2m+1,\mbox{ an odd integer}, \end{array}\right. \nonumber\]

ми можемо переписати рівняння\ ref {eq:7.1.12} простіше, як

\[\cosh x=\sum_{m=0}^\infty{x^{2m}\over(2m)!}. \nonumber\]

Цей результат справедливий на\((-\infty,\infty)\), так як це відкритий інтервал збіжності ряду Маклорена для\(e^x\) і\(e^{-x}\).

Приклад Template:index

Припустимо

\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \nonumber\]

на відкритому інтервалі\(I\), який містить походження.

1. Експрес\[(2-x)y''+2y \nonumber\] як силовий ряд в\(x\) увімкнено\(I\).
2. За допомогою результату (a) знайти необхідні та достатні умови\(\{a_n\}\) за коефіцієнтами,\(y\) щоб бути розв'язком однорідного рівняння

   \[\label{eq:7.1.13} (2-x)y''+2y=0\]

   на\(I\).

Рішення a

З рівняння\ ref {eq:7.1.7} з\(x_0=0\),

\[y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2}. \nonumber\]

Тому

\[\label{eq:7.1.14} \begin{array}{rcl} (2-x)y''+2y &= 2y''-xy'+2y\\ &= {\sum_{n=2}^\infty 2n(n-1)a_nx^{n-2} -\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-1} +\sum_{n=0}^\infty 2a_n x^n}. \end{array}\]

Для об'єднання трьох рядів ми зміщуємо індекси в перших двох, щоб зробити їх загальні члени постійними кратними\(x^n\); таким чином,

\[\label{eq:7.1.15} \sum_{n=2}^\infty 2n(n-1)a_nx^{n-2}=\sum_{n=0}^\infty2(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\]

і

\[\label{eq:7.1.16} \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty(n+1)na_{n+1}x^n =\sum_{n=0}^\infty(n+1)na_{n+1}x^n,\]

де ми додали нульовий член в останньому ряду, так що коли ми підставляємо з Equation\ ref {eq:7.1.15} і Equation\ ref {eq:7.1.16} в Equation\ ref {eq:7.1.14} всі три ряди починаються з\(n=0\); таким чином,

\[\label{eq:7.1.17} (2-x)y''+2y=\sum_{n=0}^\infty [2(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n+1)na_{n+1}+2a_n]x^n.\]

Рішення б

З Рівняння\ ref {eq:7.1.17} ми бачимо, що\(y\) задовольняє рівняння\ ref {eq:7.1.13} на\(I\) if

\[\label{eq:7.1.18} 2(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n+1)na_{n+1}+2a_n=0,\quad n=0,1,2, \dots.\]

І навпаки, теорема Template:index b передбачає, що якщо\(y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) відповідає рівнянню\ ref {eq:7.1.13} на\(I\), то рівняння\ ref {eq:7.1.18} тримає.

Приклад Template:index

Припустимо

\[y=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-1)^n \nonumber\]

на відкритому інтервалі\(I\), який містить\(x_0=1\). Висловіть функцію

\[\label{eq:7.1.19} (1+x)y''+2(x-1)^2y'+3y\]

як силовий ряд\(x-1\) увімкнено\(I\).

Рішення

Оскільки ми хочемо отримати степеневий ряд\(x-1\), ми переписуємо коефіцієнт\(y''\) в Рівняння\ ref {eq:7.1.19} як\(1+x=2+(x-1)\), так що рівняння\ ref {eq:7.1.19} стає

\[2y''+(x-1)y''+2(x-1)^2y'+3y. \nonumber\]

З рівняння\ ref {eq:7.1.6} і рівняння\ ref {eq:7.1.7} з\(x_0=1\),

\[y'=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-1)^{n-1}\quad\mbox{ and }\quad y ''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-1)^{n-2}. \nonumber\]

Тому

\[\begin{aligned} 2y '' &= \sum_{n=2}^\infty 2n(n-1)a_n(x-1)^{n-2},\\ (x-1)y '' &= \sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n(x-1)^{n-1},\\ 2(x-1)^2y' &= \sum_{n=1}^\infty2na_n(x-1)^{n+1},\\ 3y &= \sum_{n=0}^\infty 3a_n (x-1)^n.\end{aligned} \nonumber \]

Перед додаванням цих чотирьох рядів ми зміщуємо індекси в перших трьох так, щоб їх загальні члени стали постійними кратними\((x-1)^n\). Це дає

\[\begin{align} 2y'' &= \sum_{n=0}^\infty 2(n+2)(n+1)a_{n+2}(x-1)^n,\label{eq:7.1.20}\\ (x-1)y'' &= \sum_{n=0}^\infty (n+1)na_{n+1}(x-1)^n, \label{eq:7.1.21}\\ 2(x-1)^2y' &= \sum_{n=1}^\infty 2(n-1)a_{n-1}(x-1)^n,\label{eq:7.1.22}\\ 3y &= \sum_{n=0}^\infty 3a_n (x-1)^n, \label{eq:7.1.23}\end{align}\]

де ми додали початкові нульові члени до ряду в Equation\ ref {eq:7.1.21} та Equation\ ref {eq:7.1.22}. Додавання рівнянь\ ref {eq:7.1.20} —\ ref {eq:7.1.23} дає

\[\begin{aligned} (1+x)y''+2(x-1)^2y'+3y &= 2y''+(x-1)y''+2(x-1)^2y'+3y\\ &= \sum_{n=0}^\infty b_n (x-1)^n,\end{aligned} \nonumber \]

де

\[\begin{align} b_0 &= 4a_2+3a_0, \label{eq:7.1.24}\\[4pt] b_n &= 2(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)na_{n+1}+2(n-1)a_{n-1}+3a_n,\, n\ge1\label{eq:7.1.25}.\end{align}\]

Формула Рівняння\ ref {eq:7.1.24} для не\(b_0\) може бути отримана шляхом встановлення\(n=0\) в Рівняння\ ref {eq:7.1.25}, оскільки підсумовування у рівнянні\ ref {eq:7.1.22} починається з\(n=1\), тоді як ті, що знаходяться в Рівняння\ ref {eq:7.1.20}, Рівняння\ ref {eq:7.1.23} починаються з\(n=0\) .