5.7E: Зміна параметрів (вправи)

Q5.7.1

У вправах 5.7.1—5.7.6 використовуйте варіацію параметрів, щоб знайти конкретне рішення.

1. \(y''+9y=\tan 3x\)

2. \(y''+4y=\sin 2x\sec^2 2x\)

3. \(y''-3y'+2y={4\over 1+e^{-x}}\)

4. \(y''-2y'+2y=3e^x \sec x\)

5. \(y''-2y'+y=14x^{3/2}e^x\)

6. \(y''-y={4e^{-x}\over 1-e^{-2x}}\)

Q5.7.2

У вправах 5.7.7-5.7.29 використовують варіацію параметрів, щоб знайти конкретне рішення, враховуючи розв'язки\(y_{1}, y_{2}\) комплементарного рівняння.

7. \(x^2y''+xy'- y=2x^2+2; \quad y_1=x, \quad y_2={1\over x}\)

8. \({xy''+(2-2x)y'+(x-2)y=e^{2x}; \quad y_1=e^x, \quad y_2={e^x\over x}}\)

9. \(4x^2y''+(4x-8x^2)y'+(4x^2-4x-1)y=4x^{1/2}e^x, \quad x > 0\);\(y_1=x^{1/2} e^x,\; y_2=x^{-1/2}e^x\)

10. \(y''+4xy'+(4x^2+2)y=4e^{-x(x+2)};\quad y_1=e^{-x^2}, \quad y_2=xe^{-x^2}\)

11. \(x^2y''-4xy'+6y=x^{5/2},\, x > 0;\quad y_1=x^2,\; y_2=x^3\)

12. \(x^2y''-3xy'+3y=2x^4\sin x; \quad y_1=x,\; y_2=x^3\)

13. \((2x+1)y''-2y'-(2x+3)y=(2x+1)^2e^{-x}; \quad y_1=e^{-x}, \quad y_2=xe^x\)

14. \(4xy''+2y'+y=\sin\sqrt x; \quad y_1=\cos\sqrt x, \quad y_2=\sin\sqrt x\)

15. \(xy''-(2x+2)y'+(x+2)y=6x^3e^x;\quad y_1=e^x,\quad y_2=x^3e^x\)

16. \(x^2y''-(2a-1)xy'+a^2y=x^{a+1}; \quad y_1=x^a, \quad y_2=x^a \ln x\)

17. \(x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=x^3\cos x; \quad y_1=x\cos x, \quad y_2=x\sin x\)

18. \(xy''-y'-4x^3y=8x^5;\quad y_1=e^{x^2},\; y_2=e^{-x^2}\)

19. \((\sin x)y''+(2\sin x-\cos x)y'+(\sin x-\cos x)y=e^{-x}; \quad y_1=e^{-x},\quad y_2=e^{-x}\cos x\)

20. \(4x^2y''-4xy'+(3-16x^2)y=8x^{5/2}; \quad y_1=\sqrt xe^{2x},\; y_2=\sqrt xe^{-2x}\)

21. \(4x^2y''-4xy'+(4x^2+3)y=x^{7/2}; \quad y_1=\sqrt x\sin x,\; y_2=\sqrt x\cos x\)

22. \(x^2y''-2xy'-(x^2-2)y=3x^4;\quad y_1=xe^x,\; y_2=xe^{-x}\)

23. \(x^2y''-2x(x+1)y' +(x^2+2x+2)y=x^3e^x; \quad y_1=xe^x, \quad y_2=x^2e^x\)

24. \(x^2y''-xy'-3y=x^{3/2}; \quad y_1=1/x, \quad y_2=x^3\)

25. \(x^2y''-x(x+4)y'+2(x+3)y=x^4e^x; \quad y_1=x^2, \quad y_2=x^2e^x\)

26. \(x^2y''-2x(x+2)y'+(x^2+4x+6)y=2xe^x; \quad y_1=x^2e^x, \quad y_2=x^3e^x\)

27. \(x^2y''-4xy'+(x^2+6)y=x^4; \quad y_1=x^2\cos x, \quad y_2=x^2\sin x\)

28. \((x-1)y''-xy'+y=2(x-1)^2e^x; \quad y_1=x, \quad y_2=e^x\)

29. \(4x^2y''-4x(x+1)y'+(2x+3)y=x^{5/2}e^x; \quad y_1=\sqrt x, \quad y_2=\sqrt xe^x\)

Q5.7.3

У вправах 5.7.30—5.7.32 використовувати варіацію параметрів для розв'язання початкової задачі значення\(y_{1}\),\(y_{2}\) наведені розв'язки комплементарного рівняння.

30. \((3x-1)y''-(3x+2)y'-(6x-8)y=(3x-1)^2e^{2x}, \quad y(0)=1,\; y'(0)=2\);\(y_1=e^{2x},\; y_2=xe^{-x}\)

31. \((x-1)^2y''-2(x-1)y'+2y=(x-1)^2, \quad y(0)=3,\quad y'(0)=-6\);

\(y_1=x-1\),\(y_2=x^2-1\)

32. \((x-1)^2y''-(x^2-1)y'+(x+1)y=(x-1)^3e^x, \quad y(0)=4,\quad y'(0)=-6\);

\(y_1=(x-1)e^x,\quad y_2=x-1\)

Q5.7.4

У вправах 5.7.33-5.7.35 використовувати варіацію параметрів для розв'язання початкової задачі значення і графік розв'язку, враховуючи, що\(y_{1}\),\(y_{2}\) є розв'язками комплементарного рівняння.

33. \({(x^2-1)y''+4xy'+2y=2x, \quad y(0)=0,\; y'(0) =-2; \quad y_1={1\over x-1},\; y_2={1\over x+1}}\)

34. \({x^2y''+2xy'-2y=-2x^2, \quad y(1)=1,\; y'(1)= -1; \quad y_1=x,\; y_2={1\over x^2}}\)

35. \((x+1)(2x+3)y''+2(x+2)y'-2y=(2x+3)^2, \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\);\(y_1=x+2,\quad y_2={1\over x+1}\)

Q5.7.5

36. Припустимо

\[y_p=\overline y+a_1y_1+a_2y_2\]

є конкретним рішенням

\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F(x), \tag{A}\]

де\(y_1\) і\(y_2\) є розв'язками комплементарного рівняння

\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0.\]

Показати, що також\(\overline y\) є розв'язком (A).

37. Припустимо\(p\)\(q\),, і\(f\) безперервні на\((a,b)\) і нехай\(x_0\) бути в\((a,b)\). Нехай\(y_1\) і\(y_2\) бути рішеннями

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

такий, що

\[y_1(x_0)=1, \quad y_1'(x_0)=0, \quad y_2(x_0)=0, \quad y_2'(x_0)=1.\]

Використовувати варіацію параметрів, щоб показати, що розв'язання початкової задачі

\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \quad y(x_0)=k_0,\; y'(x_0)=k_1,\]

є

\[\begin{array}{rcl} y(x) &= k_0y_1(x)+k_1y_2(x) \\ & +\int^x_{x_0}\left(y_1(t)y_2(x)- y_1(x)y_2(t)\right) f(t)\exp\left(\int^t_{x_0}p(s)\,ds\right)\,dt. \end{array}\]

ПІДКАЗКА: Використовуйте формулу Абеля для Wronskian\(\{ y_{1}, y_{2}\}\), і інтегрувати\(u_{1}'\) і\(u_{2}'\) від\(x_{0}\) до\(x\).

Покажіть також, що

\[\begin{array}{rcl} y'(x) &= k_0y_1'(x)+k_1y_2'(x) \\ & +\int^x_{x_0}\left(y_1(t)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(t) \right)f(t)\exp\left(\int^t_{x_0}p(s)\,ds\right)\,dt. \end{array}\]

38. Припустимо\(f\), є безперервним на відкритому інтервалі, який містить\(x_0=0\). Використовувати варіацію параметрів для пошуку формули розв'язку початкової задачі

\[y''-y=f(x), \quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1.\]

39. \(f\)Припустимо, безперервно на\((a,\infty)\)\(a<0\), де, так\(x_0=0\) знаходиться в\((a,\infty)\).

1. Використовуйте варіацію параметрів, щоб знайти формулу розв'язку початкової задачі про значення\[y''+y=f(x), \quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1.\] ПІДКАЗКА: Вам знадобляться формули додавання синуса і косинуса. \[\begin{aligned} \sin (A+B)&=\sin A\cos B +\cos A\sin B \\ \cos (A+B) &=\cos A\cos B - \sin A\sin B \end{aligned}\]Для решти цієї вправи припускають, що неправильний інтеграл\(\int_{0}^\infty f(t)\,dt\) абсолютно сходиться.
2. Показати, що якщо\(y\) це рішення\[y''+y=f(x) \tag{A}\] on\((a,\infty)\), то\[\lim_{x \to \infty}\left(y(x)-A_0\cos x-A_1\sin x\right)=0 \tag{B}\] і\[\lim_{x\to\infty}\left(y'(x)+A_0\sin x-A_1\cos x\right)=0, \tag{C}\] де\[A_0=k_0-\int_0^\infty f(t)\sin t\,dt \quad \text{and} \quad A_1=k_1+\int_0^\infty f(t)\cos t\,dt.\] HINT: Відкликати з числення, що якщо\(\int _{0}^{\infty} f(t)dt\) сходиться абсолютно, то\(\lim_{x\to ∞}\int_{x}^{\infty}|f(t)|dt=0\).
3. Показати, що якщо\(A_0\) і\(A_1\) є довільними константами, то є унікальне рішення\(y''+y=f(x)\) на\((a,\infty)\) що задовольняє (B) і (C).