5.7: Зміна параметрів

У цьому розділі наведено метод, який називається варіацією параметрів для знаходження конкретного розв'язку

\[\label{eq:5.7.1} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F(x)\]

якщо ми знаємо фундаментальний набір\(\{y_1,y_2\}\) розв'язків комплементарного рівняння

\[\label{eq:5.7.2} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0.\]

Знайшовши конкретний\(y_p\) розв'язок цим методом, ми можемо записати загальний розв'язок Equation\ ref {eq:5.7.1} як

\[y=y_p+c_1y_1+c_2y_2. \nonumber \]

Оскільки нам потрібен лише один нетривіальний розв'язок Equation\ ref {eq:5.7.2}, щоб знайти загальне рішення Рівняння\ ref {eq:5.7.1} шляхом зменшення порядку, то закономірно запитати, чому нас цікавить зміна параметрів, що вимагає двох лінійно незалежних розв'язків Equation\ ref {eq:5.7.2} для досягнення та ж мета. Ось відповідь:

• Якщо ми вже знаємо два лінійно незалежних розв'язку Equation\ ref {eq:5.7.2}, то варіація параметрів, ймовірно, буде простішою, ніж зменшення порядку.
• Варіація параметрів природно узагальнюється до методу знаходження окремих розв'язків лінійних рівнянь вищого порядку (розділ 9.4) та лінійних систем рівнянь (розділ 10.7), а зменшення порядку — ні.
• Варіація параметрів є потужним теоретичним інструментом, який використовується дослідниками в диференціальних рівняннях. Хоча детальне обговорення цього питання виходить за рамки цієї книги, ви можете отримати уявлення про те, що це означає з Вправи 5.7.37—5.7.39.

Тепер ми виведемо метод. Як завжди, розглядаються розв'язки рівняння\ ref {eq:5.7.1} та Equation\ ref {eq:5.7.2} на інтервалі\(P_0\)\(P_1\),\((a,b)\) де\(P_2\),, і\(F\) є неперервними і\(P_0\) не мають нулів. Припустимо, що\(\{y_1,y_2\}\) це фундаментальна множина розв'язків комплементарного рівняння Equation\ ref {eq:5.7.2}. Шукаємо конкретний розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.7.1} у вигляді

\[\label{eq:5.7.3} y_p=u_1y_1+u_2y_2\]

де\(u_1\) і\(u_2\) є функціями, які слід визначити таким чином, що\(y_p\) задовольняє Рівняння\ ref {eq:5.7.1}. Можливо, ви не вважаєте, що це гарна ідея, оскільки зараз потрібно визначити дві невідомі функції, а не одну. Однак, оскільки\(u_1\) і\(u_2\) повинні задовольняти лише одну умову (\(y_p\)тобто рішення Equation\ ref {eq:5.7.1}), ми можемо накласти другу умову, яка створює зручне спрощення, наступним чином.

Диференціювання рівняння\ ref {eq:5.7.3} дає

\[\label{eq:5.7.4} y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'+u_1'y_1+u_2'y_2.\]

Як наша друга умова,\(u_1\) і\(u_2\) ми вимагаємо, щоб

\[\label{eq:5.7.5} u_1'y_1+u_2'y_2=0.\]

Тоді рівняння\ ref {eq:5.7.4} стає

\[y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'; \label{eq:5.7.6}\]

тобто, Рівняння\ ref {eq:5.7.5} дозволяє нам диференціювати\(y_p\) (один раз!) ніби\(u_1\) і\(u_2\) є константами. Диференціювання рівняння\ ref {eq:5.7.4} дає

\[\label{eq:5.7.7} y_p''=u_1y''_1+u_2y''_2+u_1'y_1'+u_2'y_2'.\]

(Немає термінів, пов'язаних\(u_1''\) і\(u_2''\) тут, як було б, якби ми не вимагали Рівняння\ ref {eq:5.7.5}.) Підставляємо рівняння\ ref {eq:5.7.3}, рівняння\ ref {eq:5.7.6} і рівняння\ ref {eq:5.7.7} в рівняння\ ref {eq:5.7.1} і збираємо коефіцієнти\(u_1\) і\(u_2\) виходи

\[u_1(P_0y''_1+P_1y_1'+P_2y_1)+u_2(P_0y''_2+P_1y_2'+P_2y_2) +P_0(u_1'y_1'+u_2'y_2')=F. \nonumber \]

Як і при виведенні методу приведення порядку, коефіцієнти\(u_1\) і\(u_2\) тут обидва нульові, оскільки\(y_1\) і\(y_2\) задовольняють комплементарне рівняння. Отже, ми можемо переписати останнє рівняння як

\[\label{eq:5.7.8} P_0(u_1'y_1'+u_2'y_2')=F.\]

Тому\(y_p\) в рівнянні\ ref {eq:5.7.3} задовольняє рівняння\ ref {eq:5.7.1} якщо

\[\label{eq:5.7.9} \begin{array}{rcl} u_1'y_1+u_2'y_2 &= 0 \\ u_1'y_1'+u_2'y_2' &= {F\over P_0}, \end{array}\]

де перше рівняння збігається з рівнянням\ ref {eq:5.7.5}, а друге - з Equation\ ref {eq:5.7.8}.

Тепер ми покажемо, що ви завжди можете вирішити Equation\ ref {eq:5.7.9} для\(u_1'\) і\(u_2'\). (Метод, який ми використовуємо тут, завжди буде працювати, але простіші методи зазвичай працюють, коли ви маєте справу з конкретними рівняннями.) Для отримання\(u_1'\) помножте перше рівняння в Equation\ ref {eq:5.7.9} на,\(y_2'\) а друге рівняння на\(y_2\). Це дає

\[\begin{aligned} u_1'y_1y_2'+u_2'y_2y_2'&= 0 \\ u_1'y_1'y_2+u_2'y_2'y_2 &= {Fy_2\over P_0}.\end{aligned}\]

Віднімання другого рівняння з першого прибутку

\[\label{eq:5.7.10} u_1'(y_1y_2'-y_1'y_2)=-{Fy_2\over P_0}.\]

Оскільки\(\{y_1,y_2\}\) є фундаментальною сукупністю розв'язків рівняння\ ref {eq:5.7.2} on\((a,b)\), теорема 5.1.6 передбачає, що\(y_1y_2'-y_1'y_2\) у Вронського немає нулів\((a,b)\). Тому ми можемо вирішити рівняння\ ref {eq:5.7.10} для того\(u_1'\), щоб отримати

\[\label{eq:5.7.11} u_1'=-{Fy_2\over P_0(y_1y_2'-y_1'y_2)}.\]

Ми залишаємо це вам, щоб почати з Equation\ ref {eq:5.7.9} і показати аналогічним аргументом, що

\[\label{eq:5.7.12} u_2'={Fy_1\over P_0(y_1y_2'-y_1'y_2)}.\]

Тепер ми можемо отримати\(u_1\) і\(u_2\) шляхом інтеграції\(u_1'\) і\(u_2'\). Константи інтеграції можна прийняти рівними нулю, оскільки будь-якого вибору\(u_1\) і\(u_2\) в Equation\ ref {eq:5.7.3} буде достатньо.

Не слід запам'ятовувати Рівняння\ ref {eq:5.7.11} і рівняння\ ref {eq:5.7.12}. З іншого боку, ви не хочете, щоб відновити всю процедуру для кожної конкретної проблеми. Рекомендуємо компроміс:

1. Напишіть\[\label{eq:5.7.13} y_p=u_1y_1+u_2y_2\], щоб нагадати собі, що ви робите.
2. Напишіть систему\[\label{eq:5.7.14} \begin{array}{rcl} u_1'y_1+u_2'y_2 &= 0 \\ u_1'y_1'+u_2'y_2' &= {F\over P_0} \end{array}\] для конкретної проблеми, яку ви намагаєтеся вирішити.
3. Вирішити рівняння\ ref {eq:5.7.14} для\(u_1'\) і\(u_2'\) будь-яким зручним методом.
4. Отримати\(u_1\) і\(u_2\) шляхом інтеграції\(u_1'\) і\(u_2'\), приймаючи константи інтеграції рівним нулю.
5. Підставити\(u_1\) і\(u_2\) в рівняння\ ref {eq:5.7.13} для отримання\(y_p\).

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення\(y_p\)

\[\label{eq:5.7.15} x^2y''-2xy'+2y=x^{9/2},\]

враховуючи, що\(y_1=x\) і\(y_2=x^2\) є розв'язками комплементарного рівняння

\[x^2y''-2xy'+2y=0. \nonumber \]

Потім знайдіть загальний розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.7.15}.

Рішення

встановлюємо

\[y_p=u_1x+u_2x^2, \nonumber \]

де

\[\begin{aligned} u_1'x+\phantom{2}u_2'x^2&=0\\ u_1'\phantom{x}+2u_2'x\phantom{^2}&={x^{9/2}\over x^2}=x^{5/2}.\end{aligned}\]

З першого рівняння,\(u_1'=-u_2'x\). Підстановка цього в друге рівняння дає\(u_2'x=x^{5/2}\), так\(u_2'=x^{3/2}\) і тому\(u_1'=-u_2'x=-x^{5/2}\). Інтеграція та прийняття констант інтеграції до нульових прибутковості

\[u_1=-{2\over7}x^{7/2}\quad \text{and} \quad u_2={2\over5}x^{5/2}. \nonumber \]

Тому

\[y_p=u_1x+u_2x^2 =-{2\over7}x^{7/2}x+{2\over5}x^{5/2}x^2={4\over35}x^{9/2}, \nonumber \]

і загальним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.7.15} є

\[y={4\over35}x^{9/2}+c_1x+c_2x^2. \nonumber \]

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення\(y_p\)

\[\label{eq:5.7.16} (x-1)y''-xy'+y=(x-1)^2,\]

враховуючи, що\(y_1=x\) і\(y_2=e^x\) є розв'язками комплементарного рівняння

\[(x-1)y''-xy'+y=0. \nonumber \]

Потім знайдіть загальний розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.7.16}.

Рішення

встановлюємо

\[y_p=u_1x+u_2e^x, \nonumber \]

де

\[\begin{aligned} u_1'x+u_2'e^x&=0\\ u_1'\phantom{x}+u_2'e^x&={(x-1)^2\over x-1}=x-1.\end{aligned}\]

Віднімання першого рівняння з другого дає\(-u_1'(x-1)=x-1\), так\(u_1'=-1\). З цього і першого рівняння,\(u_2'=-xe^{-x}u_1'=xe^{-x}\). Інтеграція та прийняття констант інтеграції до нульових прибутковості

\[u_1=-x \quad \text{and} \quad u_2=-(x+1)e^{-x}. \nonumber \]

Тому

\[y_p=u_1x+u_2e^x =(-x)x+(-(x+1)e^{-x})e^x=-x^2-x-1, \nonumber \]

тому загальним розв'язком рівняння\ ref {eq:5.7.16} є

\[\label{eq:5.7.17} y=y_p+c_1x+c_2e^x=-x^2-x-1+c_1x+c_2e^x = -x^2-1+(c_1-1)x+c_2e^x.\]

Однак оскільки\(c_1\) є довільною константою, так і є\(c_1-1\); отже, ми покращуємо зовнішній вигляд цього результату, перейменуючи константу та записуючи загальне рішення як

\[\label{eq:5.7.18} y= -x^2-1+c_1x+c_2e^x.\]

Немає нічого поганого в тому, щоб залишити загальне рішення Equation\ ref {eq:5.7.16} у вигляді Equation\ ref {eq:5.7.17}; однак, ми вважаємо, що ви погодитеся з тим, що Equation\ ref {eq:5.7.18} є кращим. Ми також можемо по-різному переглянути перехід від Equation\ ref {eq:5.7.17} до Equation\ ref {eq:5.7.18}. У цьому прикладі конкретне рішення\(y_p=-x^2-x-1\) містило термін\(-x\), який задовольняє додатковому рівнянню. Ми можемо відкинути цей термін і перевизначити\(y_p=-x^2-1\), оскільки\(-x^2-x-1\) є розв'язком Equation\ ref {eq:5.7.16} і\(x\) є розв'язком комплементарного рівняння; отже, також\(-x^2-1=(-x^2-x-1)+x\) є розв'язком Equation\ ref {eq:5.7.16}. Загалом, завжди правомірно скидати лінійні комбінації\(\{y_1,y_2\}\) з конкретних рішень, отриманих варіацією параметрів. (Див. Вправа 5.7.36 для загального обговорення цього питання.) Ми зробимо це в наступних прикладах і у відповідях на вправи, які просять конкретне рішення. Тому не хвилюйтеся, якщо ваша відповідь на таку вправу відрізняється від нашої лише рішенням комплементарного рівняння.

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.7.19} y''+3y'+2y={1\over 1+e^x}.\]

Потім знайдіть загальне рішення.

Рішення

Характеристичний многочлен комплементарного рівняння

\[\label{eq:5.7.20} y''+3y'+2y=0\]

є\(p(r)=r^2+3r+2=(r+1)(r+2)\), так\(y_1=e^{-x}\) і\(y_2=e^{-2x}\) утворюють фундаментальний набір розв'язків рівняння\ ref {eq:5.7.20}. Шукаємо конкретний розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.7.19} у вигляді

\[y_p=u_1e^{-x}+u_2e^{-2x}, \nonumber \]

де

\[\begin{aligned} \phantom{-}u_1'e^{-x}+\phantom{2}u_2'e^{-2x}&=0\\ -u_1'e^{-x}-2u_2'e^{-2x}&={1\over 1+e^x}.\end{aligned}\]

Додавання цих двох рівнянь дає

\[-u_2'e^{-2x}={1\over1+e^x},\quad \text{so} \quad u_2'=-{e^{2x}\over 1+e^x}. \nonumber \]

З першого рівняння,

\[u_1'=-u_2'e^{-x}={e^x\over 1+e^x}. \nonumber \]

Інтеграція за допомогою заміщення\(v=e^x\) та прийняття констант інтеграції нульовими прибутковістю

\[u_1=\int{e^x\over 1+e^x}\,dx=\int {dv\over 1+v} =\ln(1+v)=\ln(1+e^x) \nonumber \]

і

\[\begin{aligned} u_2&=-\int{e^{2x}\over 1+e^x}\,dx=-\int {v\over 1+v}\,dv =\int\left[{1\over 1+v}-1\right]\,dv \\ &=\ln(1+v)-v=\ln(1+e^x)-e^x.\end{aligned}\]

Тому

\[\begin{aligned} y_p&=u_1e^{-x}+u_2e^{-2x}\\ &=[\ln(1+e^x)]e^{-x}+\left[\ln(1+e^x)-e^x\right]e^{-2x},\end{aligned}\]

тому

\[y_p=\left(e^{-x}+e^{-2x}\right)\ln(1+e^x)-e^{-x}. \nonumber \]

Оскільки останній член праворуч задовольняє комплементарному рівнянню, скидаємо його і перевизначаємо

\[y_p=\left(e^{-x}+e^{-2x}\right)\ln(1+e^x). \nonumber \]

Загальним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.7.19} є

\[y=y_p+c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}=\left(e^{-x}+e^{-2x}\right)\ln(1+e^x) +c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}. \nonumber \]

Приклад Template:index

Вирішити початкову задачу значення

\[\label{eq:5.7.21} (x^2-1)y''+4xy'+2y={2\over x+1}, \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=-5,\]

враховуючи, що

\[y_1={1\over x-1}\quad\mbox{ and }\quad y_2={1\over x+1} \nonumber \]

є розв'язками комплементарного рівняння

\[(x^2-1)y''+4xy'+2y=0. \nonumber \]

Рішення

Спочатку ми використовуємо варіацію параметрів, щоб знайти конкретне рішення

\[(x^2-1)y''+4xy'+2y={2\over x+1} \nonumber \]

\((-1,1)\)на формі

\[y_p={u_1\over x-1}+{u_2\over x+1}, \nonumber \]

де

\[\label{eq:5.7.22}\frac{u_{1}'}{x-1}+\frac{u_{2}'}{x+1}=0\]

\[-\frac{u_{1}'}{(x-1)^{2}}-\frac{u_{2}'}{(x+1)^{2}}=\frac{2}{(x+1)(x^{2}-1)}\nonumber\]

Множення першого рівняння на\(1/(x-1)\) і додавання результату до другого рівняння дає

\[\label{eq:5.7.23} \left[{1\over x^2-1}-{1\over(x+1)^2}\right]u_2'={2\over(x+1)(x^2-1)}.\]

Так як

\[\left[{1\over x^2-1}-{1\over(x+1)^2}\right]={(x+1)-(x-1)\over(x+1)(x^2-1)} ={2\over(x+1)(x^2-1)}, \nonumber \]

Рівняння\ ref {eq:5.7.23} означає, що\(u_2'=1\). З рівняння\ ref {eq:5.7.22},

\[u_1'=-{x-1\over x+1}u_2'=-{x-1\over x+1}. \nonumber \]

Інтеграція та прийняття констант інтеграції до нульових прибутковості

\[\begin{aligned} u_1&=-\int{x-1\over x+1}\,dx=-\int{x+1-2\over x+1}\,dx \\ &=\int\left[{2\over x+1}-1\right]\,dx=2\ln(x+1)-x\end{aligned}\]

і

\[u_2=\int\,dx=x. \nonumber \]

Тому

\[\begin{aligned} y_p&={u_1\over x-1}+{u_2\over x+1}=\left[2\ln(x+1)-x\right]{1\over x-1} +x{1\over x+1} \\ &={2\ln(x+1)\over x-1}+x\left[{1\over x+1}-{1\over x-1}\right] ={2\ln(x+1)\over x-1}-{2x\over(x+1)(x-1)}.\end{aligned}\]

Однак, так як

\[{2x\over(x+1)(x-1)}=\left[{1\over x+1}+{1\over x-1}\right] \nonumber \]

це рішення комплементарного рівняння, ми перевизначаємо

\[y_p={2\ln(x+1)\over x-1}. \nonumber \]

Тому загальним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.7.24} є

\[\label{eq:5.7.24} y={2\ln(x+1)\over x-1}+{c_1\over x-1}+{c_2\over x+1}.\]

Диференціація цієї врожайності

\[y'={2\over x^2-1}-{2\ln(x+1)\over(x-1)^2}-{c_1\over(x-1)^2}-{c_2\over(x+1)^2}. \nonumber \]

Встановлення\(x=0\) в останніх двох рівняннях і накладання початкових умов\(y(0)=-1\)\(y'(0)=-5\) і виводить систему

\[\begin{aligned} -c_1+c_2&=-1\phantom{.}\\ -2-c_1-c_2&=-5.\end{aligned}\]

Рішення цієї системи є\(c_1=2,\,c_2=1\). Підставляючи їх у рівняння\ ref {eq:5.7.24} дає

\[\begin{aligned} y&={2\ln(x+1)\over x-1}+{2\over x-1}+{1\over x+1}\\ &={2\ln(x+1)\over x-1}+{3x+1\over x^2-1}\end{aligned}\]

як розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.7.21}. Рисунок Template:index є графом розв'язку.

Рисунок Template:index:\(y=\frac{2\ln (x+1)}{x-1}+\frac{3x+1}{x^{2}-1}\)

Розглянуто три методи розв'язання неоднорідних лінійних рівнянь: невизначені коефіцієнти, зменшення порядку та варіації параметрів. Природно запитати, який метод найкраще підходить для даної проблеми. Метод невизначений коефіцієнтів слід використовувати для рівнянь постійних коефіцієнтів з форсуючими функціями, які представляють собою лінійні комбінації поліномів, помножених на функції\(e^{\lambda x}\cos \omega x\) виду\(e^{\alpha x}\), або\(e^{\lambda x}\sin \omega x\). Хоча інші два методи можуть бути використані для вирішення таких проблем, вони будуть складнішими, за винятком самих тривіальних випадків, через задіяні інтеграції.

Якщо рівняння не є рівнянням постійного коефіцієнта або функція форсування не має щойно заданої форми, метод невизначеного коефіцієнта не застосовується, і вибір обов'язково між двома іншими методами. Можна зробити так, що зменшення порядку краще, оскільки воно вимагає лише одного розв'язку взаємодоповнюючого рівняння, тоді як варіація параметрів вимагає двох. Однак варіація параметрів, ймовірно, буде простіше, якщо ви вже знаєте фундаментальний набір розв'язків комплементарного рівняння.