5.6E: Зменшення порядку (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62213

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Q5.6.1

У вправах 5.6.1-5.6.17 знайти загальне рішення, враховуючи, що\(y_1\) задовольняє комплементарному рівнянню. Як побічний продукт знайдіть фундаментальний набір розв'язків комплементарного рівняння.

1. \((2x+1)y''-2y'-(2x+3)y=(2x+1)^2; \quad y_1=e^{-x}\)

2. \(x^2y''+xy'-y={4\over x^2}; \quad y_1=x\)

3. \(x^2y''-xy'+y=x; \quad y_1=x\)

4. \(y''-3y'+2y={1\over1+e^{-x}}; \quad y_1=e^{2x}\)

5. \(y''-2y'+y=7x^{3/2}e^x; \quad y_1=e^x\)

6. \(4x^2y''+(4x-8x^2)y'+(4x^2-4x-1)y=4x^{1/2}e^x(1+4x); \quad y_1=x^{1/2}e^x\)

7. \(y''-2y'+2y=e^x\sec x; \quad y_1=e^x\cos x\)

8. \(y''+4xy'+(4x^2+2)y=8e^{-x(x+2)}; \quad y_1=e^{-x^2}\)

9. \(x^2y''+xy'-4y=-6x-4; \quad y_1=x^2\)

10. \(x^2y''+2x(x-1)y'+(x^2-2x+2)y=x^3e^{2x}; \quad y_1=xe^{-x}\)

11. \(x^2y''-x(2x-1)y'+(x^2-x-1)y=x^2e^x; \quad y_1=xe^x\)

12. \((1-2x)y''+2y'+(2x-3)y=(1-4x+4x^2)e^x; \quad y_1=e^x\)

13. \(x^2y''-3xy'+4y=4x^4; \quad y_1=x^2\)

14. \(2xy''+(4x+1)y'+(2x+1)y=3x^{1/2}e^{-x}; \quad y_1=e^{-x}\)

15. \(xy''-(2x+1)y'+(x+1)y=-e^x; \quad y_1=e^x\)

16. \(4x^2y''-4x(x+1)y'+(2x+3)y=4x^{5/2}e^{2x}; \quad y_1=x^{1/2}\)

17. \(x^2y''-5xy'+8y=4x^2; \quad y_1=x^2\)

Q5.6.2

У вправах 5.6.18-5.6.30 знайти фундаментальний набір розв'язків, враховуючи, що\(y_{1}\) це рішення.

18. \(xy''+(2-2x)y'+(x-2)y=0; \quad y_1=e^x\)

19. \(x^2y''-4xy'+6y=0; \quad y_1=x^2\)

20. \(x^2(\ln |x|)^2y''-(2x \ln |x|)y'+(2+\ln |x|)y=0; \quad y_1=\ln |x|\)

21. \(4xy''+2y'+y=0; \quad y_1=\sin \sqrt{x}\)

22. \(xy''-(2x+2)y'+(x+2)y=0; \quad y_1=e^x\)

23. \(x^2y''-(2a-1)xy'+a^2y=0; \quad y_1=x^a\)

24. \(x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0; \quad y_1=x \sin x\)

25. \(xy''-(4x+1)y'+(4x+2)y=0; \quad y_1=e^{2x}\)

26. \(4x^2(\sin x)y''-4x(x\cos x+\sin x)y'+(2x\cos x+3\sin x)y=0; \quad y_1=x^{1/2}\)

27. \(4x^2y''-4xy'+(3-16x^2)y=0; \quad y_1=x^{1/2}e^{2x}\)

28. \((2x+1)xy''-2(2x^2-1)y'-4(x+1)y=0; \quad y_1=1/x\)

29. \((x^2-2x)y''+(2-x^2)y'+(2x-2)y=0; \quad y_1=e^x\)

30. \(xy''-(4x+1)y'+(4x+2)y=0; \quad y_1=e^{2x}\)

Q5.6.3

У вправах 5.6.31-5.6.33 розв'яжіть початкову задачу значення, враховуючи, що\(y_{1}\) задовольняє комплементарному рівнянню.

31. \(x^2y''-3xy'+4y=4x^4,\quad y(-1)=7,\quad y'(-1)=-8; \quad y_1=x^2\)

32. \((3x-1)y''-(3x+2)y'-(6x-8)y=0, \quad y(0)=2,\; y'(0)=3; \quad y_1=e^{2x}\)

33. \((x+1)^2y''-2(x+1)y'-(x^2+2x-1)y=(x+1)^3e^x, \quad y(0)=1,\quad y'(0)=~-1; \quad y_1=(x+1)e^x\)

Q5.6.4

У вправах 5.6.34 і 5.6.35 розв'яжіть початкове значення задачі і графік розв'язку, враховуючи, що\(y_{1}\) задовольняє комплементарне рівняння.

34. \(x^2y''+2xy'-2y=x^2, \quad y(1)={5\over4},\; y'(1)={3\over2}; \quad y_1=x\)

35. \((x^2-4)y''+4xy'+2y=x+2, \quad y(0)=-{1\over3},\quad y'(0)=-1; \quad y_1={1\over x-2}\)

Q5.6.5

36. Припустимо\(p_2\),\(p_1\) і безперервні на\((a,b)\). Дозвольте\(y_1\) бути рішенням

\[y''+p_1(x)y'+p_2(x)y=0 \tag{A}\]

що не має нулів на\((a,b)\), і нехай\(x_0\) бути в\((a,b)\). Використовуйте скорочення порядку, щоб показати, що\(y_1\) і

\[y_2(x)=y_1(x)\int^x_{x_0}{1\over y^2_1(t)} \exp \left(-\int^t_{x_0}p_1(s)\, ds\right)\,dt\]

сформувати фундаментальний набір розв'язків (А) на\((a,b)\).

37. Нелінійне рівняння першого порядку

\[y'+y^2+p(x)y+q(x)=0 \tag{A}\]

це рівняння Ріккаті. (Див. Вправа 2.4.55.) Припустимо, що\(p\) і\(q\) є безперервними.

Показати, що\(y\) є розв'язком (A) якщо і тільки якщо\(y={z'/z}\), де\[z''+p(x)z'+q(x)z=0. \tag{B}\]
Показати, що загальне рішення (A) -\(\{z_1,z_2\}\) це\[y={c_1z'_1+c_2z'_2\over c_1z_1+c_2z_2}, \tag{C}\] де фундаментальна множина розв'язків (B) і\(c_1\) і\(c_2\) є довільними константами.
Чи означає формула (C), що рівняння першого порядку (A) має двопараметричне сімейство розв'язків? Поясніть свою відповідь.

38. Використовуйте метод, запропонований Вправою 5.6.37, щоб знайти всі рішення. рівняння.

\(y'+y^2+k^2=0\)
\(y'+y^2-3y+2=0\)
\(y'+y^2+5y-6=0\)
\(y'+y^2+8y+7=0\)
\(y'+y^2+14y+50=0\)
\(6y'+6y^2-y-1=0\)
\(36y'+36y^2-12y+1=0\)

39. Використовуйте метод, запропонований Вправою 5.6.37 та зменшення порядку, щоб знайти всі розв'язки рівняння, враховуючи, що\(y_1\) це рішення.

\(x^2(y'+y^2)-x(x+2)y+x+2=0; \quad y_1=1/x\)
\(y'+y^2+4xy+4x^2+2=0; \quad y_1=-2x\)
\((2x+1)(y'+y^2)-2y-(2x+3)=0; \quad y_1=-1\)
\((3x-1)(y'+y^2)-(3x+2)y-6x+8=0; \quad y_1=2\)
\({x^2(y'+y^2)+xy+x^2- {1\over 4}=0; \quad y_1=-\tan x -{1\over 2x}}\)
\({x^2(y'+y^2)-7xy+7=0; \quad y_1=1/x}\)

40. Нелінійне рівняння першого порядку

\[y'+r(x)y^2+p(x)y+q(x)=0 \tag{A}\]

- узагальнене рівняння Ріккаті. (Див. Вправа 2.4.55.) Припустимо, що\(p\) і\(q\) є безперервними і\(r\) диференційовані.

Показати, що\(y\) є розв'язком (A) якщо і тільки якщо\(y={z'/rz}\), де\[z''+\left[p(x)-{r'(x)\over r(x)}\right] z'+r(x)q(x)z=0. \tag{B}\]
Показати, що загальне рішення (A) -\(\{z_1,z_2\}\) це\[y={c_1z'_1+c_2z'_2\over r(c_1z_1+c_2z_2)},\] де фундаментальна множина розв'язків (B) і\(c_1\) і\(c_2\) є довільними константами.