5.5: Метод невизначеного коефіцієнта II

У цьому розділі розглянемо постійне рівняння коефіцієнта

\[\label{eq:5.5.1} ay''+by'+cy=e^{\lambda x}\left(P(x)\cos \omega x+Q(x)\sin \omega x\right)\]

де\(\lambda\) і\(\omega\) є дійсними числами\(\omega\ne0\),\(P\) і і\(Q\) є поліномами. Ми хочемо знайти конкретний розв'язок рівняння\ ref {eq:5.5.1}. Як і в розділі 5.4, процедура, яку ми будемо використовувати, називається методом невизначеного коефіцієнта.

Форсування функцій без експоненціальних факторів

Почнемо з випадку, коли\(\lambda=0\) в Equation\ ref {eq:5.5.1}; таким чином, ми хочемо знайти конкретне рішення

\[\label{eq:5.5.2} ay''+by'+cy=P(x)\cos\omega x+Q(x)\sin\omega x,\]

де\(P\) і\(Q\) є многочленами.

Диференціація\(x^r\cos\omega x\) і\(x^r\sin\omega x\) врожайність

\[{d\over dx}x^r\cos\omega x=-\omega x^r\sin\omega x+ rx^{r-1}\cos\omega x \nonumber \]

і

\[ {d\over dx}x^r\sin\omega x=\phantom{-}\omega x^r\cos\omega x+ rx^{r-1}\sin\omega x. \nonumber \]

Це означає, що якщо

\[y_p=A(x)\cos\omega x+B(x)\sin\omega x\nonumber \]

де\(A\) і\(B\) є поліномами, то

\[ay_p''+by_p'+cy_p=F(x)\cos\omega x+G(x)\sin\omega x,\nonumber \]

де\(F\) і\(G\) є поліномами з коефіцієнтами, які можуть бути виражені через коефіцієнти\(A\) і\(B\). Це говорить про те, що ми намагаємося вибирати\(A\) і\(B\) так, щоб\(F=P\) і\(G=Q\), відповідно. Потім\(y_p\) буде конкретний розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.5.2}. Наступна теорема розповідає про те, як правильно вибрати форму для\(y_p\). Доказ див. Вправа 5.5.37.

Теорема Template:index

Припустимо,\(\omega\) це\(Q\) додатне число\(P\) і і поліноми. \(k\)Дозволяти бути більшим з ступенів\(P\) і\(Q.\) тоді рівняння

\[ay''+by'+cy=P(x)\cos \omega x+Q(x)\sin \omega x \nonumber \]

має певне рішення

\[\label{eq:5.5.3} y_p=A(x)\cos\omega x+B(x)\sin\omega x,\]

де

\[A(x)=A_0+A_1x+\cdots+A_kx^k \quad \text{and} \quad B(x)=B_0+B_1x+\cdots+B_kx^k, \nonumber \]

за умови, що\(\cos\omega x\) і не\(\sin\omega x\) є розв'язками комплементарного рівняння. Рішення

\[a(y''+\omega^2y)=P(x)\cos \omega x+Q(x)\sin \omega x \nonumber \]

для яких\(\cos\omega x\) і\(\sin\omega x\) є розв'язками комплементарного рівняння мають вигляд Рівняння\ ref {eq:5.5.3}, де

\[A(x)=A_0x+A_1x^2+\cdots+A_kx^{k+1} \quad \text{and} \quad B(x)=B_0x+B_1x^2+\cdots+B_kx^{k+1}. \nonumber \]

Аналог цієї теореми, що застосовується до Equation\ ref {eq:5.5.1}, див. Вправа 5.5.38.

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.5.4} y''-2y'+y=5\cos2x+10\sin2x.\]

Рішення

У Equation\ ref {eq:5.5.4} коефіцієнти\(\cos2x\) і\(\sin2x\) є обидва поліноми нульового ступеня (константи). Тому теорема Template:index передбачає, що рівняння\ ref {eq:5.5.4} має конкретний розв'язок

\[y_p=A\cos2x+B\sin2x.\nonumber \]

Так як

\[y_p'=-2A\sin2x+2B\cos2x\quad \text{and} \quad y_p''=-4(A\cos2x+B\sin2x),\nonumber \]

\(y\)заміна на\(y_p\) в рівнянні\ ref {eq:5.5.4} дає

\[\begin{aligned} y_p''-2y_p'+y_p&=-4(A\cos2x+B\sin2x)-4(-A\sin2x+B\cos2x) \\ &&+(A\cos2x+B\sin2x)\\ &= (-3A-4B)\cos2x+(4A-3B)\sin2x.\end{aligned}\nonumber \]

Прирівнювання коефіцієнтів\(\cos2x\) і\(\sin2x\) тут з відповідними коефіцієнтами на правій стороні Рівняння\ ref {eq:5.5.4} показує, що\(y_p\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.4} якщо

\[\begin{aligned} -3A-4B&=\phantom{1}5\phantom{.}\\ \phantom{-}4A-3B&=10.\end{aligned}\nonumber \]

Розв'язування цих рівнянь дає\(A=1\),\(B=-2\). Тому

\[y_p=\cos2x-2\sin2x\nonumber \]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.4}.

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.5.5} y''+4y=8\cos2x+12\sin2x.\]

Рішення

Процедура, що використовується в прикладі Template:index не працює тут;\(y_p=A\cos2x+B\sin2x\) заміна\(y\) в рівнянні\ ref {eq:5.5.5} дає

\[y_p''+4y_p=-4(A\cos2x+B\sin2x) +4(A\cos2x+B\sin2x)=0\nonumber \]

для будь-якого вибору\(A\) і\(B\), оскільки\(\cos2x\) і\(\sin2x\) є обидва розв'язки комплементарного рівняння для Рівняння\ ref {eq:5.5.5}. Ми маємо справу з другим випадком, згаданим у теоремі Template:index, і тому ми повинні спробувати конкретне рішення форми

\[\label{eq:5.5.6} y_p=x(A\cos2x+B\sin2x).\]

Тоді

\[\begin{aligned} y_p'&=A\cos2x+B\sin2x+2x(-A\sin2x+B\cos2x) \\ \text{and} y_p''&=-4A\sin2x+4B\cos2x-4x(A\cos2x+B\sin2x)\\ &=-4A\sin2x+4B\cos2x-4y_p \mbox{ (see \eqref{eq:5.5.6})},\end{aligned}\nonumber \]

так

\[y_p''+4y_p=-4A\sin2x+4B\cos2x.\nonumber \]

Тому\(y_p\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.5} якщо

\[-4A\sin2x+4B\cos2x=8\cos2x+12\sin2x,\nonumber \]

який тримає, якщо\(A=-3\) і\(B=2\). Тому

\[y_p=-x(3\cos2x-2\sin2x)\nonumber \]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.5}.

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.5.7} y''+3y'+2y=(16+20x)\cos x+10\sin x.\]

Рішення

Коефіцієнти\(\cos x\) та\(\sin x\) в Equation\ ref {eq:5.5.7} є поліномами першого та нульового ступенів відповідно. Тому теорема Template:index говорить нам шукати конкретний розв'язок рівняння\ ref {eq:5.5.7} виду

\[\label{eq:5.5.8} y_p=(A_0+A_1x)\cos x+(B_0+B_1x)\sin x.\]

Тоді

\[\label{eq:5.5.9} y_p'=(A_1+B_0+B_1x)\cos x+(B_1-A_0-A_1x)\sin x\]

і

\[\label{eq:5.5.10} y_p''=(2B_1-A_0-A_1x)\cos x-(2A_1+B_0+B_1x)\sin x,\]

так

\[\label{eq:5.5.11} \begin{array}{rcl} y_p''+3y_p'+2y_p&=\left[A_0+3 A_1+3 B_0+2 B_1+(A_1+3 B_1)x\right]\cos x + \left[B_0+3 B_1-3 A_0-2 A_1+(B_1-3 A_1)x\right]\sin x. \end{array}\]

Порівняння коефіцієнтів\(x\cos x\),\(x\sin x\)\(\cos x\), і\(\sin x\) тут з відповідними коефіцієнтами в Equation\ ref {eq:5.5.7} показує, що\(y_p\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.7} якщо

\[\begin{array}{rcr} \phantom{-3}A_1+3B_1&=20\phantom{.}\\ -3A_1+\phantom{3}B_1&=0\phantom{.}\\ \phantom{-3}A_0+3B_0+3A_1+2B_1&=16\phantom{.}\\ -3A_0+\phantom{3}B_0-2A_1+3B_1&=10. \end{array}\nonumber \]

Розв'язування перших двох рівнянь дає\(A_1=2\),\(B_1=6\). Підстановка їх в останні два рівняння дає

\[\begin{aligned} \phantom{-3}A_0+3B_0&=16-3A_1-2B_1=-2\phantom{.}\\ -3A_0+\phantom{3}B_0&=10+2A_1-3B_1=-4. \end{aligned}\nonumber \]

Розв'язування цих рівнянь дає\(A_0=1\),\(B_0=-1\). Підставляючи\(A_0=1\),\(A_1=2\),\(B_0=-1\),\(B_1=6\) в рівняння\ ref {eq:5.5.8} показує, що

\[y_p=(1+2x)\cos x-(1-6x)\sin x \nonumber\]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.7}.

Корисне спостереження

У рівняннях\ ref {eq:5.5.9},\ ref {eq:5.5.10} та\ ref {eq:5.5.11} множення многочленів\(\sin x\) може бути отримано заміною\(A_0,A_1,B_0\)\(B_0\)\(B_1\)\(-A_0\), і\(B_1\)\(-A_1\) на,, і, відповідно, у множенні многочленів\(\cos x\). Аналогічний результат застосовується в цілому наступним чином (Вправа 5.5.36).

Теорема Template:index

Якщо

\[y_p=A(x)\cos\omega x+B(x)\sin\omega x, \nonumber \]

де\(A(x)\) і\(B(x)\) є поліномами з коефіцієнтами\(A_0\)...\(B_0\),\(A_k\) і,...,\(B_k,\) то многочлени множаться\(\sin\omega x\) на

\[y_p',\quad y_p'',\quad ay_p''+by_p'+cy_p \quad \text{and} \quad y_p''+\omega^2 y_p \nonumber\]

можна отримати шляхом заміни\(A_0\),...\(,\)\(A_k\) на\(B_0,\)...\(,\)\(B_k\) і\(B_0,\)\(-A_0,\)...\(,\)\(B_k\) на...\(,\)\(-A_k\) у відповідних многочленах множення\(\cos\omega x\).

Ми не будемо використовувати цю теорему в наших прикладах, але рекомендуємо використовувати її для перевірки своїх маніпуляцій при виконанні вправ.

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.5.12} y''+y=(8-4x)\cos x-(8+8x)\sin x.\]

Рішення

Відповідно до теореми Template:index, ми повинні шукати конкретний розв'язок форми

\[\label{eq:5.5.13} y_p=(A_0x+A_1x^2)\cos x+(B_0x+B_1x^2)\sin x,\]

оскільки\(\cos x\) і\(\sin x\) є розв'язками комплементарного рівняння. Однак давайте спробуємо

\[\label{eq:5.5.14} y_p=(A_0+A_1x)\cos x+(B_0+B_1x)\sin x\]

по-перше, так що ви можете зрозуміти, чому це не працює. З рівняння\ ref {eq:5.5.10},

\[y_p''=(2B_1-A_0-A_1x)\cos x-(2A_1+B_0+B_1x)\sin x, \nonumber\]

що разом з рівнянням\ ref {eq:5.5.14} означає, що

\[y_p''+y_p=2B_1\cos x-2A_1\sin x. \nonumber\]

Оскільки права частина цього рівняння не містить\(x\cos x\) або\(x\sin x\), Equation\ ref {eq:5.5.14} не може задовольнити рівняння\ ref {eq:5.5.12} незалежно від того, як ми вибираємо\(A_0\)\(A_1\),\(B_0\), і\(B_1\).

Тепер нехай\(y_p\) буде як у рівнянні\ ref {eq:5.5.13}. Тоді

\[\begin{aligned} y_p'&=\left[A_0+(2A_1+B_0)x+B_1x^2\right]\cos x\\ & +\left[B_0+(2B_1-A_0)x-A_1x^2\right]\sin x \end{aligned}\nonumber \]

і

\[\begin{aligned} y_p''&= \left[2A_1+2B_0-(A_0-4B_1)x-A_1x^2\right]\cos x\\ &+ \left[2B_1-2A_0-(B_0+4A_1)x-B_1x^2\right]\sin x,\end{aligned}\nonumber \]

так

\[y_p''+y_p=(2A_1+2B_0+4B_1x)\cos x+(2B_1-2A_0-4A_1x)\sin x. \nonumber\]

Порівняння коефіцієнтів\(\cos x\) і\(\sin x\) тут з відповідними коефіцієнтами в Equation\ ref {eq:5.5.12} показує, що\(y_p\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.12} якщо

\[\begin{array}{rcr} \phantom{-}4B_1&=-4\phantom{.}\\ -4A_1&=-8\phantom{.}\\ \phantom{-}2B_0+2A_1&=8\phantom{.}\\ -2A_0+2B_1&=-8. \end{array}\nonumber \]

Рішенням цієї системи є\(A_1=2\),\(B_1=-1\),\(A_0=3\),\(B_0=2\). Тому

\[y_p=x\left[(3+2x)\cos x+(2-x)\sin x\right] \nonumber\]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.12}.

Форсувальні функції з експоненціальними факторами

Щоб знайти конкретне рішення

\[\label{eq:5.5.15} ay''+by'+cy=e^{\lambda x}\left(P(x)\cos \omega x+Q(x)\sin \omega x\right)\]

коли\(\lambda\ne0\), ми нагадуємо з розділу 5.4, що підставляючи\(y=ue^{\lambda x}\) в Equation\ ref {eq:5.5.15} буде виробляти постійне рівняння коефіцієнта для\(u\) з функцією форсування\(P(x)\cos \omega x+Q(x)\sin \omega x\). Ми можемо знайти конкретний розв'язок\(u_p\) цього рівняння за допомогою процедури, яку ми використовували в Прикладах Template:index - Template:index. Тоді\(y_p=u_pe^{\lambda x}\) is a particular solution of Equation \ref{eq:5.5.15}.

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.5.16} y''-3y'+2y=e^{-2x}\left[2\cos 3x-(34-150x)\sin 3x\right].\]

Нехай\(y=ue^{-2x}\). Тоді

\[\begin{aligned} y''-3y'+2y&=e^{-2x}\left[(u''-4u'+4u)-3(u'-2u)+2u\right]\\ &=e^{-2x}(u''-7u'+12u)\\ &= e^{-2x}\left[2\cos 3x-(34-150x)\sin 3x\right]\end{aligned}\nonumber \]

якщо

\[\label{eq:5.5.17} u''-7u'+12u=2\cos 3x-(34-150x)\sin 3x.\]

Оскільки\(\cos3x\) і\(\sin3x\) не є розв'язками комплементарного рівняння

\[u''-7u'+12u=0,\nonumber \]

Теорема Template:index говорить нам шукати конкретний розв'язок рівняння\ ref {eq:5.5.17} виду

\[\label{eq:5.5.18} u_p=(A_0+A_1x)\cos 3x +(B_0+B_1x)\sin 3x.\]

Тоді

\[\begin{aligned} u_p'&=(A_1+3B_0+3B_1x)\cos 3x+(B_1-3A_0-3A_1x)\sin 3x\\ \text{and} \qquad u_p''&=(-9A_0+6B_1-9A_1x)\cos 3x-(9B_0+6A_1+9B_1x)\sin 3x,\end{aligned}\nonumber \]

так

\[\begin{aligned} u_p''-7u_p'+12u_p&=\left[3A_0-21B_0-7A_1+6B_1+(3A_1-21B_1)x\right]\cos 3x\\ &+\left[21A_0+3B_0-6A_1-7B_1+(21A_1+3B_1)x\right]\sin 3x.\end{aligned}\nonumber \]

Порівняння коефіцієнтів\(x\cos 3x\),\(x\sin 3x\)\(\cos 3x\), і\(\sin 3x\) тут з відповідними коефіцієнтами на правій стороні Рівняння\ ref {eq:5.5.17} показує, що\(u_p\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.17} якщо

\[\label{eq:5.5.19} \begin{array}{rcr} 3A_1-21B_1&=0\phantom{.}\\ 21A_1+\phantom{2}3B_1&=150\phantom{.}\\ 3A_0-21B_0-7A_1+\phantom{2}6B_1&=\phantom{-3}2\phantom{.}\\ 21A_0+\phantom{2}3B_0-6A_1-\phantom{5}7B_1&=-34. \end{array}\]

Розв'язування перших двох рівнянь дає\(A_1=7\),\(B_1=1\). Підставляючи ці значення в останні два рівняння рівняння\ ref {eq:5.5.19} дає

\[\begin{aligned} \phantom{2}3A_0-21B_0&=\phantom{-3}2+7A_1-6B_1=45\phantom{.}\\ 21A_0+\phantom{2}3B_0&=-34+6A_1+7B_1=15.\end{aligned}\nonumber \]

Рішення цієї системи дає\(A_0=1\),\(B_0=-2\). Заміна\(A_0=1\),\(A_1=7\)\(B_0=-2\), і\(B_1=1\) в рівняння\ ref {eq:5.5.18} показує, що

\[u_p=(1+7x)\cos 3x-(2-x)\sin 3x\nonumber \]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.17}. Тому

\[y_p=e^{-2x}\left[(1+7x)\cos 3x-(2-x)\sin 3x\right]\nonumber \]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.16}.

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.5.20} y''+2y'+5y=e^{-x}\left[(6-16x)\cos2x-(8+8x)\sin2x\right].\]

Рішення

Нехай\(y=ue^{-x}\). Тоді

\[\begin{aligned} y''+2y'+5y&=e^{-x}\left[(u''-2u'+u)+2(u'-u)+5u\right]\\ &=e^{-x}(u''+4u)\\ &= e^{-x}\left[(6-16x)\cos2x-(8+8x)\sin2x\right]\end{aligned}\nonumber \]

якщо

\[\label{eq:5.5.21} u''+4u=(6-16x)\cos2x-(8+8x)\sin2x.\]

Оскільки\(\cos2x\) і\(\sin2x\) є розв'язками комплементарного рівняння

\[u''+4u=0,\nonumber \]

Теорема Template:index говорить нам шукати конкретний розв'язок рівняння\ ref {eq:5.5.21} виду

\[u_p=(A_0x+A_1x^2)\cos2x+(B_0x+B_1x^2)\sin2x.\nonumber \]

Тоді

\[\begin{aligned} u_p'&=\left[A_0+(2A_1+2B_0)x+2B_1x^2\right]\cos2x \\ & +\left[B_0+(2B_1-2A_0)x-2A_1x^2\right]\sin2x\end{aligned}\nonumber \]

і

\[\begin{aligned} u_p''&=\left[2A_1+4B_0-(4A_0-8B_1)x-4A_1x^2\right]\cos2x\\ & +\left[2B_1-4A_0-(4B_0+8A_1)x-4B_1x^2\right]\sin2x,\end{aligned}\nonumber \]

так

\[u_p''+4u_p=(2A_1+4B_0+8B_1x)\cos2x+(2B_1-4A_0-8A_1x)\sin2x.\nonumber\]

Прирівнювання коефіцієнтів\(x\cos2x\),\(x\sin2x\)\(\cos2x\), і\(\sin2x\) тут з відповідними коефіцієнтами на правій стороні Рівняння\ ref {eq:5.5.21} показує, що\(u_p\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.21} якщо

\[\label{eq:5.5.22} \begin{array}{rcr} 8B_1&=-16\phantom{.}\\ -8A_1&=-\phantom{1}8\phantom{.}\\ \phantom{-}4B_0+2A_1&=6\phantom{.}\\ -4A_0+2B_1&=-8. \end{array}\]

Рішенням цієї системи є\(A_1=1\),\(B_1=-2\),\(B_0=1\),\(A_0=1\). Тому

\[u_p=x[(1+x)\cos2x+(1-2x)\sin2x]\nonumber \]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.21}, і

\[y_p=xe^{-x}\left[(1+x)\cos2x+(1-2x)\sin2x\right]\nonumber \]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.5.20}.

Ви також можете знайти конкретний розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.5.20} підставивши

\[y_p=xe^{-x}\left[(A_0+A_1x)\cos 2x +(B_0+B_1x)\sin 2x\right]\nonumber \]

for\(y\) in Equation\ ref {eq:5.5.20} і прирівнюючи коефіцієнти\(xe^{-x}\cos2x\),,\(xe^{-x}\sin2x\)\(e^{-x}\cos2x\), і\(e^{-x}\sin2x\) в результуючому виразі для

\[y_p''+2y_p'+5y_p\nonumber \]

з відповідними коефіцієнтами на правій стороні Рівняння\ ref {eq:5.5.20}. (Див. Вправу 5.5.38). Це призводить до того ж системного рівняння\ ref {eq:5.5.22} рівнянь для\(A_0\)\(A_1\),\(B_0\),, і\(B_1\) що ми отримали в прикладі Template:index. Однак, якщо ви спробуєте цей підхід, ви побачите, що отримання Equation\ ref {eq:5.5.22} таким чином набагато нудніше, ніж те, як ми це робили в прикладі Template:index.