5.4: Метод невизначеного коефіцієнта I

У цьому розділі розглянемо постійне рівняння коефіцієнта

\[\label{eq:5.4.1} ay''+by'+cy=e^{\alpha x}G(x),\]

де\(\alpha\) - константа і\(G\) є многочленом.

З теореми 5.3.2 загальним розв'язком рівняння\ ref {eq:5.4.1} є\(y=y_p+c_1y_1+c_2y_2\), де\(y_p\) знаходиться окремий розв'язок рівняння\ ref {eq:5.4.1} і\(\{y_1,y_2\}\) є фундаментальною сукупністю розв'язків комплементарного рівняння

\[ay''+by'+cy=0. \nonumber \]

У розділі 5.2 ми показали, як знайти\(\{y_1,y_2\}\). У цьому розділі ми покажемо, як знайти\(y_p\). Процедура, яку ми будемо використовувати, називається методом невизначеного коефіцієнта. Наш перший приклад схожий на вправи 5.3.16-5.3.21.

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.4.2} y''-7y'+12y=4e^{2x}.\]

Потім знайдіть загальне рішення.

Рішення

Заміна\(y_p=Ae^{2x}\)\(y\) in Equation\ ref {eq:5.4.2} призведе до отримання постійної кратної\(Ae^{2x}\) на лівій стороні Рівняння\ ref {eq:5.4.2}, тому можна буде обрати\(A\) так, що\(y_p\) це рішення рівняння\ ref {eq:5.4.2}. Спробуємо; якщо\(y_p=Ae^{2x}\) тоді

\[y_p''-7y_p'+12y_p=4Ae^{2x}-14Ae^{2x}+12Ae^{2x}=2Ae^{2x}=4e^{2x} \nonumber\]

якщо\(A=2\). Тому\(y_p=2e^{2x}\) є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.4.2}. Щоб знайти загальне рішення, відзначимо, що характеристичний многочлен комплементарного рівняння

\[\label{eq:5.4.3} y''-7y'+12y=0\]

є\(p(r)=r^2-7r+12=(r-3)(r-4)\), так\(\{e^{3x},e^{4x}\}\) є фундаментальний набір розв'язків рівняння\ ref {eq:5.4.3}. Тому загальним розв'язком рівняння\ ref {eq:5.4.2} є

\[y=2e^{2x}+c_1e^{3x}+c_2e^{4x}. \nonumber\]

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.4.4} y''-7y'+12y=5e^{4x}.\]

Потім знайдіть загальне рішення.

Рішення

Свіжий з нашого успіху в пошуку конкретного рішення Equation\ ref {eq:5.4.2} - де ми вибрали,\(y_p=Ae^{2x}\) оскільки права сторона Equation\ ref {eq:5.4.2} є постійною кратною\(e^{2x}\) - може здатися розумним спробувати\(y_p=Ae^{4x}\) як конкретне рішення Equation\ ref {eq:5.4.4}. Однак це не спрацює, оскільки ми бачили в прикладі Template:index, що\(e^{4x}\) є розв'язком комплементарного рівняння Equation\ ref {eq:5.4.3}, тому підстановка\(y_p=Ae^{4x}\) в лівій частині Equation\ ref {eq:5.4.4}) дає нуль зліва, незалежно від того, як ми вибираємо\(A\). Щоб знайти відповідну форму\(y_p\), ми використовуємо той самий підхід, який ми використовували в розділі 5.2, щоб знайти друге рішення

\[ay''+by'+cy=0 \nonumber\]

у випадку, коли характеристичне рівняння має повторюваний дійсний корінь: шукаємо розв'язки Equation\ ref {eq:5.4.4} у вигляді\(y=ue^{4x}\), де\(u\) визначається функція. Замінюючи

\[\label{eq:5.4.5} y=ue^{4x},\quad y'=u'e^{4x}+4ue^{4x},\quad \text{and} \quad y''=u''e^{4x}+8u'e^{4x}+16ue^{4x}\]

в Equation\ ref {eq:5.4.4} і скасування загального коефіцієнта\(e^{4x}\) дає

\[(u''+8u'+16u)-7(u'+4u)+12u=5, \nonumber\]

або

\[u''+u'=5. \nonumber\]

При огляді ми бачимо, що\(u_p=5x\) це конкретний розв'язок цього рівняння, так і\(y_p=5xe^{4x}\) окремий розв'язок Equation\ ref {eq:5.4.4}. Тому

\[y=5xe^{4x}+c_1e^{3x}+c_2e^{4x} \nonumber\]

є загальним рішенням.

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.4.6} y''-8y'+16y=2e^{4x}.\]

Рішення

Так як характеристичний многочлен комплементарного рівняння

\[\label{eq:5.4.7} y''-8y'+16y=0\]

є\(p(r)=r^2-8r+16=(r-4)^2\), обидва\(y_1=e^{4x}\) і\(y_2=xe^{4x}\) є розв'язками Рівняння\ ref {eq:5.4.7}. Тому рівняння\ ref {eq:5.4.6}) не має розв'язку виду\(y_p=Ae^{4x}\) або\(y_p=Axe^{4x}\). Як і в прикладі Template:index, ми шукаємо розв'язки рівняння\ ref {eq:5.4.6} у вигляді\(y=ue^{4x}\), where \(u\) is a function to be determined. Substituting from Equation \ref{eq:5.4.5} into Equation \ref{eq:5.4.6} and canceling the common factor \(e^{4x}\) yields

\[(u''+8u'+16u)-8(u'+4u)+16u=2, \nonumber\]

або

\[u''=2. \nonumber\]

Інтеграція двічі та прийняття констант інтеграції до нуля показує, що\(u_p=x^2\) це конкретний розв'язок цього рівняння, так і\(y_p=x^2e^{4x}\) окремий розв'язок Equation\ ref {eq:5.4.4}. Тому

\[y=e^{4x}(x^2+c_1+c_2x) \nonumber\]

є загальним рішенням.

Попередні приклади ілюструють наступні факти, що стосуються форми конкретного\(y_p\) розв'язку постійного коефіцієнтного рівняння

\[ay''+by'+cy=ke^{\alpha x}, \nonumber\]

де\(k\) - ненульова константа:

1. Якщо\(e^{\alpha x}\) не є розв'язком комплементарного рівняння\(y_p=Ae^{\alpha x}\),\[\label{eq:5.4.8} ay''+by'+cy=0,\] то, де\(A\) константа. (Див. Приклад Template:index).
2. Якщо\(e^{\alpha x}\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.4.8} але\(xe^{\alpha x}\) це не так\(y_p=Axe^{\alpha x}\), то, де\(A\) константа. (Див. Приклад Template:index.)
3. Якщо обидва\(e^{\alpha x}\) і\(xe^{\alpha x}\) є розв'язками Рівняння\ ref {eq:5.4.8}, то\(y_p=Ax^2e^{\alpha x}\), де\(A\) є константа. (Див. Приклад Template:index.)

Див. Вправа 5.4.30 для доказів цих фактів.

У всіх трьох випадках ви можете просто замінити відповідну форму для\(y_p\) та її похідні безпосередньо в

\[ay_p''+by_p'+cy_p=ke^{\alpha x},\nonumber\]

і вирішити для константи\(A\), як ми зробили в прикладі Template:index. (Див. Вправи 5.4.31-5.4.33.) Однак якщо рівняння

\[ay''+by'+cy=k e^{\alpha x}G(x), \nonumber\]

де\(G\) є поліном ступеня більше нуля, ми рекомендуємо використовувати підстановку,\(y=ue^{\alpha x}\) як ми це робили в прикладах Template:index і Template:index. Рівняння для\(u\) will turn out to be

\[\label{eq:5.4.9} au''+p'(\alpha)u'+p(\alpha)u=G(x),\]

де\(p(r)=ar^2+br+c\) - характеристичний многочлен комплементарного рівняння і\(p'(r)=2ar+b\) (Вправа 5.4.30); однак, ви не повинні запам'ятовувати це, оскільки легко вивести рівняння для\(u\) будь-якого конкретного випадку. Однак зауважте, що якщо\(e^{\alpha x}\) є розв'язком комплементарного рівняння\(p(\alpha)=0\), то Equation\ ref {eq:5.4.9} зменшується до

\[au''+p'(\alpha)u'=G(x), \nonumber\]

тоді як якщо обидва\(e^{\alpha x}\) і\(xe^{\alpha x}\) є розв'язками комплементарного рівняння, то\(p(r)=a(r-\alpha)^2\) і\(p'(r)=2a(r-\alpha)\), так\(p(\alpha)=p'(\alpha)=0\) і Рівняння\ ref {eq:5.4.9}) зводиться до

\[au''=G(x). \nonumber\]

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.4.10} y''-3y'+2y=e^{3x}(-1+2x+x^2).\]

Рішення

Замінюючи

\[y=ue^{3x},\quad y'=u'e^{3x}+3ue^{3x},\quad \text{and} y''=u''e^{3x}+6u'e^{3x}+9ue^{3x}\nonumber \]

в рівняння\ ref {eq:5.4.10}) і скасування\(e^{3x}\) прибутковості

\[(u''+6u'+9u)-3(u'+3u)+2u=-1+2x+x^2, \nonumber\]

або

\[\label{eq:5.4.11} u''+3u'+2u=-1+2x+x^2.\]

Як і в прикладі 5.3.2, для того, щоб вгадати форму для конкретного розв'язку Рівняння\ ref {eq:5.4.11}), відзначимо, що підстановка полінома другого ступеня\(u_p=A+Bx+Cx^2\) на\(u\) ліву частину Рівняння\ ref {eq:5.4.11}) дає ще один поліном другого ступеня з коефіцієнтами, які залежать від \(A\),\(B\), і\(C\); таким чином,

\[\text{if} \quad u_p=A+Bx+Cx^2\quad \text{then} \quad u_p'=B+2Cx\quad \text{and} \quad u_p''=2C. \nonumber\]

Якщо\(u_p\) задовольнити рівняння\ ref {eq:5.4.11}), ми повинні мати

\[\begin{aligned} u_p''+3u_p'+2u_p&=2C+3(B+2Cx)+2(A+Bx+Cx^2)\\ &=(2C+3B+2A)+(6C+2B)x+2Cx^2=-1+2x+x^2.\end{aligned}\nonumber \]

Прирівнюючі коефіцієнти\(x\) однотипних ступенів з двох сторін останньої рівності дають

\[\begin{array}{rcr} 2C&=1\phantom{.}\\ 2B+6C&=2\phantom{.}\\ 2A+3B+2C&= -1. \end{array}\nonumber \]

Розв'язування цих рівнянь для\(C\)\(B\), і\(A\) (в такому порядку) дає\(C=1/2,B=-1/2,A=-1/4\). Тому

\[u_p=-{1\over4}(1+2x-2x^2) \nonumber\]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.4.11}, і

\[y_p=u_pe^{3x}=-{e^{3x}\over4}(1+2x-2x^2) \nonumber\]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.4.10}.

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.4.12} y''-4y'+3y=e^{3x}(6+8x+12x^2).\]

Рішення

Замінюючи

\[y=ue^{3x},\quad y'=u'e^{3x}+3ue^{3x},\quad \text{and } y''=u''e^{3x}+6u'e^{3x}+9ue^{3x} \nonumber\]

в рівняння\ ref {eq:5.4.12}) і скасування\(e^{3x}\) прибутковості

\[(u''+6u'+9u)-4(u'+3u)+3u=6+8x+12x^2, \nonumber\]

або

\[\label{eq:5.4.13} u''+2u'=6+8x+12x^2.\]

У цьому рівнянні немає жодного\(u\) члена, оскільки\(e^{3x}\) є розв'язком комплементарного рівняння для Рівняння\ ref {eq:5.4.12}). (Див. вправу 5.4.30.) Тому Equation\ ref {eq:5.4.13}) не має конкретного розв'язку виду\(u_p=A+Bx+Cx^2\), який ми успішно використовували в прикладі Template:index, оскільки при такому виборі\(u_p\),

\[u_p''+2u_p'=2C+(B+2Cx) \nonumber\]

не може містити останній член (\(12x^2\)) праворуч від Рівняння\ ref {eq:5.4.13}). Замість цього давайте спробуємо\(u_p=Ax+Bx^2+Cx^3\) на тій підставі, що

\[u_p'=A+2Bx+3Cx^2\quad \text{and} \quad u_p''=2B+6Cx\nonumber \]

разом містять усі повноваження\(x\), які з'являються на правій стороні Рівняння\ ref {eq:5.4.13}).

Підстановка цих виразів замість\(u'\) і\(u''\) в Рівняння\ ref {eq:5.4.13}) дає

\[(2B+6Cx)+2(A+2Bx+3Cx^2)=(2B+2A)+(6C+4B)x+6Cx^2=6+8x+12x^2. \nonumber\]

Порівняння коефіцієнтів подібних ступенів з\(x\) двох сторін останньої рівності показує, що\(u_p\) задовольняє рівняння\ ref {eq:5.4.13}), якщо

\[\begin{array}{rcr} 6C&=12\phantom{.}\\ 4B+6C&=8\phantom{.}\\ 2A+2B\phantom{+6u_2}&=6. \end{array}\nonumber \]

Розв'язування цих рівнянь послідовно дає\(C=2\)\(B=-1\), і\(A=4\). Тому

\[u_p=x(4-x+2x^2) \nonumber\]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.4.13}), і

\[y_p=u_pe^{3x}=xe^{3x}(4-x+2x^2) \nonumber\]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.4.12}).

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.4.14} 4y''+4y'+y=e^{-x/2}(-8+48x+144x^2).\]

Рішення

Замінюючи

\[y=ue^{-x/2},\quad y'=u'e^{-x/2}-{1\over2}ue^{-x/2},\quad \text{and} \quad y''=u''e^{-x/2}-u'e^{-x/2}+{1\over4}ue^{-x/2} \nonumber\]

в рівняння\ ref {eq:5.4.14}) і скасування\(e^{-x/2}\) прибутковості

\[4\left(u''-u'+{u\over4}\right)+4\left(u'-{u\over2}\right)+u=4u''=-8+48x+144x^2, \nonumber\]

або

\[\label{eq:5.4.15} u''=-2+12x+36x^2,\]

який не містить\(u\) або\(u'\) тому, що\(e^{-x/2}\) і\(xe^{-x/2}\) є обома розв'язками комплементарного рівняння. (Див. вправу 5.4.30.) Для отримання конкретного розв'язку Equation\ ref {eq:5.4.15}) ми інтегруємо двічі, приймаючи константи інтеграції рівними нулю; таким чином,

\[u_p'=-2x+6x^2+12x^3\quad \text{and} \quad u_p=-x^2+2x^3+3x^4=x^2(-1+2x+3x^2).\nonumber\]

Тому

\[y_p=u_pe^{-x/2}=x^2e^{-x/2}(-1+2x+3x^2)\nonumber\]

є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.4.14}).

Резюме

Попередні приклади ілюструють наступні факти, що стосуються окремих розв'язків постійного коефіцієнтного рівняння виду

\[ay''+by'+cy=e^{\alpha x}G(x),\nonumber\]

де\(G\) - многочлен (див. Вправа 5.4.30):

1. Якщо\(e^{\alpha x}\) не є розв'язком комплементарного рівняння\[\label{eq:5.4.16} ay''+by'+cy=0,\] тоді\(y_p=e^{\alpha x}Q(x)\), де\(Q\) є поліном того ж ступеня, що і\(G\). (Див. Приклад Template:index).
2. Якщо\(e^{\alpha x}\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.4.16} але\(xe^{\alpha x}\) це не так\(y_p=xe^{\alpha x}Q(x)\), то, де\(Q\) знаходиться многочлен того ж ступеня, що і\(G\). (Див. Приклад Template:index.)
3. Якщо обидва\(e^{\alpha x}\) і\(xe^{\alpha x}\) є розв'язками Рівняння\ ref {eq:5.4.16}\(y_p=x^2e^{\alpha x}Q(x)\), то, де\(Q\) знаходиться поліном того ж ступеня, що і\(G\). (Див. Приклад Template:index.)

У всіх трьох випадках ви можете просто замінити відповідну форму для\(y_p\) та її похідні безпосередньо в

\[ay_p''+by_p'+cy_p=e^{\alpha x}G(x), \nonumber\]

і вирішувати для коефіцієнтів многочлена\(Q\). Однак, якщо ви спробуєте це, ви побачите, що обчислення є більш стомлюючими, ніж ті, з якими ви стикаєтеся, зробивши заміщення\(y=ue^{\alpha x}\) та знайшовши конкретне рішення отриманого рівняння для\(u\). (Див. Вправи 5.4.34-5.4.36.) У випадку (а) рівняння для\(u\) will be of the form

\[au''+p'(\alpha)u'+p(\alpha)u=G(x), \nonumber\]

з певним розв'язком виду поліном того ж ступеня\(u_p=Q(x)\), що і\(G\), коефіцієнти якого можна знайти методом, який використовується в прикладі Template:index. У випадку (b) рівняння для\(u\) will be of the form

\[au''+p'(\alpha)u'=G(x) \nonumber\]

(ліворуч немає\(u\) члена), з певним розв'язком виду\(u_p=xQ(x)\), де\(Q\) є поліном того ж ступеня, що і коефіцієнти\(G\) якого можна знайти методом, що використовується в прикладі Template:index. У випадку (c) рівняння для\(u\) will be of the form

\[au''=G(x) \nonumber\]

з конкретним розв'язком форми\(u_p=x^2Q(x)\), який можна отримати шляхом\(G(x)/a\) дворазової інтеграції та прийняття констант інтеграції рівними нулю, як у прикладі Template:index.

Використання принципу суперпозиції

Наступний приклад показує, як поєднувати метод невизначеного коефіцієнта і теорему 5.3.3, принцип суперпозиції.

Приклад Template:index

Знайдіть конкретне рішення

\[\label{eq:5.4.17} y''-7y'+12y=4e^{2x}+5e^{4x}.\]

Рішення

У прикладі Template:index ми виявили, що\(y_{p_1}=2e^{2x}\) це конкретне рішення

\[y''-7y'+12y=4e^{2x}, \nonumber\]

і в прикладі Template:index ми виявили, що\(y_{p_2}=5xe^{4x}\) це конкретне рішення

\[y''-7y'+12y=5e^{4x}. \nonumber\]

Тому принцип суперпозиції передбачає, що\(y_p=2e^{2x}+5xe^{4x}\) є конкретним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.4.17}).