5.3: Неоднорідні лінійні рівняння
- Page ID
- 62235
Тепер ми розглянемо неоднорідне лінійне рівняння другого порядку
\[\label{eq:5.3.1} y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),\]
де функція форсування\(f\) не однаково нульова. Наступна теорема, продовження теореми 5.1.1, дає достатні умови існування та єдиності розв'язків початкових задач для рівняння\ ref {eq:5.3.1}. Опускаємо доказ, який виходить за рамки цієї книги.
Припустимо\(f\),\(p,\)\(,q\) і є безперервними на відкритому інтервалі\((a,b),\) нехай\(x_0\) бути будь-яка точка в\((a,b),\) і нехай\(k_0\) і\(k_1\) бути довільними дійсними числами\(.\) Тоді початкове значення завдання
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1\nonumber \]
має унікальне рішення на\((a,b).\)
Щоб знайти загальний розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.3.1} на інтервалі\(p\)\(q\),\((a,b)\) де, і\(f\) є неперервними, необхідно знайти загальний розв'язок пов'язаного однорідного рівняння
\[\label{eq:5.3.2} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]
на\((a,b)\). Ми називаємо рівняння\ ref {eq:5.3.2} комплементарним рівнянням для рівняння\ ref {eq:5.3.1}.
Наступна теорема показує, як знайти загальний розв'язок рівняння\ ref {eq:5.3.1}, якщо ми знаємо один\(y_p\) розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.3.1} та фундаментальний набір розв'язків рівняння\ ref {eq:5.3.2}. Ми називаємо\(y_p\) конкретне рішення Equation\ ref {eq:5.3.1}; це може бути будь-яке рішення, яке ми можемо знайти, так чи інакше.
Припустимо\(f\),\(p,\)\(q,\) і є безперервними на\((a,b).\)\(y_p\) Дозволяти бути конкретним рішенням
\[\label{eq:5.3.3} y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)\]
на\((a,b)\), і нехай\(\{y_1,y_2\}\) буде фундаментальний набір розв'язків комплементарного рівняння
\[\label{eq:5.3.4} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]
на\((a,b)\). Тоді\(y\) це рішення\(\eqref{eq:5.3.3}\) про\((a,b)\) якщо і тільки якщо
\[\label{eq:5.3.5} y=y_p+c_1y_1+c_2y_2,\]
де\(c_1\) і\(c_2\) є константами.
- Доказ
-
Спочатку ми покажемо, що\(y\) в Equation\ ref {eq:5.3.5} є розв'язком Equation\ ref {eq:5.3.3} для будь-якого вибору констант\(c_1\) і\(c_2\). Диференціювання рівняння\ ref {eq:5.3.5} двічі дає
\[y'=y_p'+c_1y_1'+c_2y_2' \quad \text{and} \quad y''=y_p''+ c_1y_1''+c_2y_2'', \nonumber\]
тому
\[\begin{align*} y''+p(x)y'+q(x)y&=(y_p''+c_1y_1''+c_2y_2'') +p(x)(y_p'+c_1y_1'+c_2y_2') +q(x)(y_p+c_1y_1+c_2y_2)\\ &=(y_p''+p(x)y_p'+q(x)y_p)+c_1(y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1) +c_2(y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2)\\ &= f+c_1\cdot0+c_2\cdot0=f,\end{align*}\]
оскільки\(y_p\) задовольняє рівняння\ ref {eq:5.3.3}\(y_1\) і\(y_2\) задовольняє рівняння\ ref {eq:5.3.4}.
Тепер ми покажемо, що кожне рішення Equation\ ref {eq:5.3.3} має вигляд Equation\ ref {eq:5.3.5} для деякого вибору констант\(c_1\) і\(c_2\). Припустимо,\(y\) є розв'язком рівняння\ ref {eq:5.3.3}. Ми покажемо, що\(y-y_p\) є розв'язком Equation\ ref {eq:5.3.4}, а отже\(y-y_p=c_1y_1+c_2y_2\), виду, який передбачає Equation\ ref {eq:5.3.5}. Щоб переконатися в цьому, обчислюємо
\[\begin{align*} (y-y_p)''+p(x)(y-y_p)'+q(x)(y-y_p)&=(y''-y_p'')+p(x)(y'-y_p') +q(x)(y-y_p)\\ &=(y''+p(x)y'+q(x)y) -(y_p''+p(x)y_p'+q(x)y_p)\\ &=f(x)-f(x)=0,\end{align*}\]
так як\(y\) і\(y_p\) обидва задовольняють рівняння\ ref {eq:5.3.3}.
Ми говоримо, що рівняння\ ref {eq:5.3.5} є загальним рішенням\(\eqref{eq:5.3.3}\) на\((a,b)\).
Якщо\(P_0\)\(P_1\), і\(F\) є неперервними і не\(P_0\) мають нулів на\((a,b)\), то теорема Template:index означає, що загальне розв'язання
\[\label{eq:5.3.6} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F(x)\]
on\((a,b)\) is\(y=y_p+c_1y_1+c_2y_2\), де\(y_p\) знаходиться конкретний розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.3.6} on\((a,b)\) і\(\{y_1,y_2\}\) є фундаментальною сукупністю розв'язків
\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0\nonumber\]
на\((a,b)\). Щоб побачити це, ми перепишемо рівняння\ ref {eq:5.3.6} як
\[y''+{P_1(x)\over P_0(x)}y'+{P_2(x)\over P_0(x)}y={F(x)\over P_0(x)}\nonumber\]
і застосувати теорему Template:index з\(p=P_1/P_0\)\(q=P_2/P_0\), і\(f=F/P_0\).
Щоб уникнути незручного формулювання в прикладах і вправах, ми не будемо вказувати інтервал,\((a,b)\) коли ми запитуємо загальне рішення конкретного лінійного рівняння другого порядку, або для фундаментальної множини розв'язків однорідного лінійного рівняння другого порядку. Погодьмося, що це завжди означає, що ми хочемо отримати загальне рішення (або фундаментальний набір рішень, як це може бути) на кожному відкритому інтервалі, на якому\(p\)\(q\), і\(f\) є неперервними, якщо рівняння має вигляд Equation\ ref {eq:5.3.3}, або на якому\(P_0\)\(P_1\), \(P_2\), і\(F\) є неперервними і не мають нулів, якщо рівняння\(P_0\) має вигляд Equation\ ref {eq:5.3.6}. Ми залишаємо вам визначити ці інтервали на конкретних прикладах та вправах.
Для повноти ми вказуємо, що якщо\(P_0\)\(P_1\),\(P_2\),, і\(F\) всі неперервні на відкритому інтервалі\((a,b)\), але\(P_0\) мають нуль в\((a,b)\), то Equation\ ref {eq:5.3.6} може не мати загального рішення на\((a,b)\) сенс тільки що визначений. Вправи 5.1.42-5.1.44 ілюструють цей момент для однорідного рівняння.
У цьому розділі ми обмежимося застосуваннями теореми Template:index, де ми можемо здогадатися за формою конкретного розв'язку.
- Знайдіть загальне рішення\[\label{eq:5.3.7} y''+y=1.\]
- Вирішити початкову задачу\[\label{eq:5.3.8} y''+y=1, \quad y(0)=2,\quad y'(0)=7.\]
Рішення
а. ми можемо застосувати теорему Template:index з\((a,b)= (-\infty,\infty)\), оскільки функції\(p\equiv0\)\(q\equiv1\), і\(f\equiv1\) в Рівнянні\ ref {eq:5.3.7} є неперервними\((-\infty,\infty)\). За допомогою огляду ми бачимо, що\(y_p\equiv1\) це конкретне рішення Equation\ ref {eq:5.3.7}. Оскільки\(y_1=\cos x\) і\(y_2=\sin x\) утворюють фундаментальну множину розв'язків комплементарного рівняння\(y''+y=0\), загальним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.3.7} є
\[\label{eq:5.3.9} y=1+c_1\cos x + c_2\sin x.\]
b. накладення початкової умови\(y(0)=2\) в Equation\ ref {eq:5.3.9} дає\(2=1+c_1\), так\(c_1=1\). Диференціювання рівняння\ ref {eq:5.3.9} дає
\[y'=-c_1\sin x+c_2\cos x.\nonumber\]
Накладення початкової умови\(y'(0)=7\) тут дає\(c_2=7\), тому розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.3.8} є
\[y=1+\cos x+7\sin x.\nonumber\]
Рисунок Template:index є графом цієї функції.
- Знайдіть загальне рішення\[\label{eq:5.3.10} y''-2y'+y=-3-x+x^2.\]
- Вирішити початкову задачу\[\label{eq:5.3.11} y''-2y'+y=-3-x+x^2, \quad y(0)=-2,\quad y'(0)=1.\]
Рішення
a. характеристичний многочлен комплементарного рівняння
\[y''-2y'+y=0 \nonumber\]
є\(r^2-2r+1=(r-1)^2\), так\(y_1=e^x\) і\(y_2=xe^x\) утворюють фундаментальний набір розв'язків комплементарного рівняння. Щоб вгадати форму для конкретного розв'язку Equation\ ref {eq:5.3.10}, відзначимо, що підстановка полінома другого ступеня\(y_p=A+Bx+Cx^2\) в ліву сторону Equation\ ref {eq:5.3.10} дасть ще один поліном другого ступеня з коефіцієнтами, які залежать від\(A\)\(B\), і\(C\). Хитрість полягає у\(A\) виборі\(B\), і\(C\) тому поліноми з двох сторін Equation\ ref {eq:5.3.10} мають однакові коефіцієнти; таким чином, якщо
\[y_p=A+Bx+Cx^2 \quad \text{then} \quad y_p'=B+2Cx \quad \text{and} \quad y_p''=2C, \nonumber\]
тому
\[\begin{aligned} y_p''-2y_p'+y_p&=2C-2(B+2Cx)+(A+Bx+Cx^2)\\ &=(2C-2B+A)+(-4C+B)x+Cx^2=-3-x+x^2.\end{aligned}\nonumber \]
Прирівнюючі коефіцієнти\(x\) однотипних ступенів з двох сторін останньої рівності дають
\[\begin{align*} C&= \phantom{-}1\phantom{.}\\ B-4C&=-1\phantom{.}\\ A-2B+2C&= -3,\end{align*}\]
Отже\(C=1\)\(B=-1+4C=3\), і\(A=-3-2C+2B=1\). Тому\(y_p=1+3x+x^2\) конкретний розв'язок рівняння\ ref {eq:5.3.10} і теорема Template:index означає, що
\[\label{eq:5.3.12} y=1+3x+x^2+e^x(c_1+c_2x) \]
є загальним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.3.10}.
b. накладення початкової умови\(y(0)=-2\) в Equation\ ref {eq:5.3.12} дає\(-2=1+c_1\), так\(c_1=-3\). Диференціювання рівняння\ ref {eq:5.3.12} дає
\[y'=3+2x+e^x(c_1+c_2x)+c_2e^x,\nonumber\]
і нав'язування початкової умови\(y'(0)=1\) тут дає врожайність\(1=3+c_1+c_2\), так\(c_2=1\). Тому розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.3.11} є
\[y=1+3x+x^2-e^x(3-x). \nonumber\]
Рисунок Template:index є графом цього розв'язку.
Знайдіть загальне рішення
\[\label{eq:5.3.13} x^2y''+xy'-4y=2x^4\]
на\((-\infty,0)\) і\((0,\infty)\).
Рішення
У прикладі 5.1.3 ми перевірили, що\(y_1=x^2\) і\(y_2=1/x^2\) сформували фундаментальну множину розв'язків комплементарного рівняння
\[x^2y''+xy'-4y=0 \nonumber\]
на\((-\infty,0)\) і\((0,\infty)\). Щоб знайти конкретний розв'язок Equation\ ref {eq:5.3.13}, зауважимо\(y_p=Ax^4\), що якщо, де\(A\) є константа, то обидві сторони Equation\ ref {eq:5.3.13} будуть постійними кратними\(x^4\) і ми можемо вибрати\(A\), щоб обидві сторони були рівними. Це вірно в цьому прикладі, оскільки якщо\(y_p=Ax^4\) тоді
\[x^2y_p''+xy_p'-4y_p=x^2(12Ax^2)+x(4Ax^3)-4Ax^4=12Ax^4=2x^4 \nonumber\]
якщо\(A=1/6\); отже,\(y_p=x^4/6\) є конкретним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.3.13} на\((-\infty,\infty)\). Теорема Template:index передбачає, що загальне рішення рівняння\ ref {eq:5.3.13} на\((-\infty,0)\) і\((0,\infty)\) є
\[y={x^4\over6}+c_1x^2+{c_2\over x^2}. \nonumber\]
Принцип суперпозиції
Наступна теорема дозволяє розбити неоднорідне рівняння на простіші частини, знайти конкретний розв'язок для кожної частини, а потім об'єднати їх розв'язки для отримання конкретного розв'язку початкової задачі.
Припустимо,\(y_{p_1}\) це конкретне рішення
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x) \nonumber\]
на\((a,b)\) і\(y_{p_2}\) є конкретним рішенням
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x) \nonumber\]
на\((a,b)\). Тоді
\[y_p=y_{p_1}+y_{p_2} \nonumber\]
є конкретним рішенням
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)+f_2(x) \nonumber\]
на\((a,b)\).
- Доказ
-
Якщо\(y_p=y_{p_1}+y_{p_2}\) тоді
\[\begin{align*} y_p''+p(x)y_p'+q(x)y_p&=(y_{p_1}+y_{p_2})''+p(x)(y_{p_1}+y_{p_2})' +q(x)(y_{p_1}+y_{p_2})\\ &=\left(y_{p_1}''+p(x)y_{p_1}'+q(x)y_{p_1}\right) +\left(y_{p_2}''+p(x)y_{p_2}'+q(x)y_{p_2}\right)\\ &=f_1(x)+f_2(x). \end{align*}\]
Легко узагальнити теорему Template:index до рівняння
\[\label{eq:5.3.14} y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)\]
де
\[f=f_1+f_2+\cdots+f_k; \nonumber\]
Таким чином, якщо\(y_{p_i}\) це конкретне рішення
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f_i(x) \nonumber\]
on\((a,b)\) for\(i=1\),\(2\),...,\(k\), то\(y_{p_1}+y_{p_2}+\cdots+y_{p_k}\) є конкретним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.3.14} на\((a,b)\). Крім того, доказом, подібним до доказу теореми Template:index, можна сформулювати принцип суперпозиції через лінійне рівняння, записане у вигляді
\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F(x) \nonumber\]
(Вправа 5.3.39); тобто якщо\(y_{p_1}\) є конкретним рішенням
\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F_1(x) \nonumber\]
на\((a,b)\) і\(y_{p_2}\) є конкретним рішенням
\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F_2(x) \nonumber\]
на\((a,b)\),\(y_{p_1}+y_{p_2}\) то це рішення
\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F_1(x)+F_2(x) \nonumber\]
на\((a,b)\).
Функція\(y_{p_1}=x^4/15\) є певним рішенням
\[\label{eq:5.3.15} x^2y''+4xy'+2y=2x^4\]
на\((-\infty,\infty)\) і\(y_{p_2}=x^2/3\) є конкретним рішенням\[\label{eq:5.3.16} x^2y''+4xy'+2y=4x^2\]
на\((-\infty,\infty)\). Використовуйте принцип суперпозиції, щоб знайти конкретне рішення\[\label{eq:5.3.17} x^2y''+4xy'+2y=2x^4+4x^2\]
на\((-\infty,\infty)\).
Рішення
Права частина\(F(x)=2x^4+4x^2\) у Рівнянні\ ref {eq:5.3.17} - сума правих сторін
\[F_1(x)=2x^4\quad \text{and} \quad F_2(x)=4x^2. \nonumber\]
в Рівняння\ ref {eq:5.3.15} і Рівняння\ ref {eq:5.3.16}. Тому принцип суперпозиції має на увазі, що\[y_p=y_{p_1}+y_{p_2}={x^4\over15}+{x^2\over3} \nonumber\]
є окремим розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.3.17}.