5.1: Однорідні лінійні рівняння

Диференціальне рівняння другого порядку вважається лінійним, якщо його можна записати як

\[\label{eq:5.1.1} y''+p(x)y'+q(x)y=f(x).\]

Ми називаємо функцію\(f\) праворуч примусовою функцією, оскільки у фізичних додатках вона часто пов'язана з силою, що діє на деяку систему, змодельовану диференціальним рівнянням. Ми говоримо, що рівняння\ ref {eq:5.1.1} є однорідним, якщо\(f\equiv0\) або неоднорідним якщо\(f\not\equiv0\). Оскільки ці визначення подібні до відповідних визначень у розділі 2.1 для лінійного рівняння першого порядку.

\[\label{eq:5.1.2} y'+p(x)y=f(x),\]

природно очікувати подібності між методами розв'язання Equation\ ref {eq:5.1.1} і Equation\ ref {eq:5.1.2}. Однак розв'язування рівняння\ ref {eq:5.1.1} складніше, ніж розв'язування рівняння\ ref {eq:5.1.2}. Наприклад, теорема Template:index дає формулу загального розв'язку рівняння\ ref {eq:5.1.2} у випадку, коли\(f\equiv0\) і Theorem Template:index дає формулу для випадку\(f\not\equiv0\), коли немає формул для загального розв'язку рівняння\ ref {eq:5.1.1} в будь-який випадок. Тому треба задовольнятися вирішенням лінійних рівнянь другого порядку спеціальних форм.

У розділі 2.1 ми\(y'+p(x)y=0\) спочатку розглянули однорідне рівняння, а потім використали нетривіальне рішення цього рівняння, щоб знайти загальний розв'язок неоднорідного рівняння\(y'+p(x)y=f(x)\). Хоча прогресія від однорідного до неоднорідного випадку не така проста для лінійного рівняння другого порядку, все одно необхідно вирішити однорідне рівняння.

\[\label{eq:5.1.3} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

з метою розв'язання неоднорідного рівняння Рівняння\ ref {eq:5.1.1}. Цей розділ присвячений рівнянню\ ref {eq:5.1.3}.

Наступна теорема дає достатні умови існування та єдиності розв'язків початкових задач для Рівняння\ ref {eq:5.1.3}. Опускаємо докази.

Теорема Template:index

Припустимо\(q\),\(p\) і є безперервними на відкритому інтервалі\((a,b),\) нехай\(x_0\) бути будь-яка точка в\((a,b),\) і нехай\(k_0\) і\(k_1\) бути довільними дійсними числами\(.\) Тоді початкове значення завдання

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0,\ y(x_0)=k_0,\ y'(x_0)=k_1 \nonumber \]

має унікальне рішення на\((a,b).\)

Оскільки\(y\equiv0\), очевидно, є розв'язком Equation\ ref {eq:5.1.3}, ми називаємо його тривіальним розв'язком. Будь-яке інше рішення є нетривіальним. За припущеннями теореми Template:index єдиний розв'язок задачі про початкове значення

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0,\ y(x_0)=0,\ y'(x_0)=0 \nonumber \]

на\((a,b)\) - тривіальне рішення (Вправа 5.1.24).

Наступні три приклади ілюструють концепції, які ми розробимо пізніше в цьому розділі. Ви не повинні турбуватися про те, як знайти дані розв'язки рівнянь у цих прикладах. Це буде пояснено в наступних розділах.

Приклад Template:index

Коефіцієнти\(y'\) і\(y\) в

\[\label{eq:5.1.4} y''-y=0\]

є постійними функціями\(p\equiv0\) і\(q\equiv-1\), які є безперервними\((-\infty,\infty)\). Тому теорема Template:index передбачає, що кожна початкова задача для Equation\ ref {eq:5.1.4} має унікальний розв'язок\((-\infty,\infty)\).

1. Переконайтеся, що\(y_1=e^x\) і\(y_2=e^{-x}\) є розв'язками Рівняння\ ref {eq:5.1.4} на\((-\infty,\infty)\).
2. Переконайтеся, що якщо\(c_1\) і\(c_2\) є довільними константами,\(y=c_1e^x+c_2e^{-x}\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.4} на\((-\infty,\infty)\).
3. Вирішити початкову задачу\[\label{eq:5.1.5} y''-y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=3.\]

Рішення:

а. якщо\(y_1=e^x\) тоді\(y_1'=e^x\) і\(y_1''=e^x=y_1\), так\(y_1''-y_1=0\). Якщо\(y_2=e^{-x}\), то\(y_2'=-e^{-x}\) і\(y_2''=e^{-x}=y_2\), так\(y_2''-y_2=0\).

б. якщо\[\label{eq:5.1.6} y=c_1e^x+c_2e^{-x}\] тоді\[\label{eq:5.1.7} y'=c_1e^x-c_2e^{-x}\] і\[y''=c_1e^x+c_2e^{-x},\nonumber \]

так\[\begin{aligned} y''-y&=(c_1e^x+c_2e^{-x})-(c_1e^x+c_2e^{-x})\\ &=c_1(e^x-e^x)+c_2(e^{-x}-e^{-x})=0\end{aligned}\nonumber \] для всіх\(x\). Тому\(y=c_1e^x+c_2e^{-x}\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.4} на\((-\infty,\infty)\).

c.

Ми можемо вирішити рівняння\ ref {eq:5.1.5}, вибравши\(c_1\) і\(c_2\) в Equation\ ref {eq:5.1.6} так, щоб\(y(0)=1\) і\(y'(0)=3\). Встановлення\(x=0\) у рівнянні\ ref {eq:5.1.6} та Equation\ ref {eq:5.1.7} показує, що це еквівалентно

\[\begin{aligned} c_1+c_2&=1\\ c_1-c_2&=3.\end{aligned}\nonumber \]

Розв'язування цих рівнянь дає\(c_1=2\) і\(c_2=-1\). Тому\(y=2e^x-e^{-x}\) є унікальним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.5} на\((-\infty,\infty)\).

Приклад Template:index

Нехай\(\omega\) буде позитивна константа. Коефіцієнти\(y'\) і\(y\) в

\[\label{eq:5.1.8} y''+\omega^2y=0\]

є постійними функціями\(p\equiv0\) і\(q\equiv\omega^2\), які є безперервними\((-\infty,\infty)\). Тому теорема Template:index передбачає, що кожна початкова задача для Equation\ ref {eq:5.1.8} має унікальний розв'язок\((-\infty,\infty)\).

1. Переконайтеся, що\(y_1=\cos\omega x\) і\(y_2=\sin\omega x\) є розв'язками Рівняння\ ref {eq:5.1.8} на\((-\infty,\infty)\).
2. Переконайтеся, що якщо\(c_1\) і\(c_2\) є довільними константами, то\(y=c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.8} на\((-\infty,\infty)\).
3. Вирішити початкову задачу\[\label{eq:5.1.9} y''+\omega^2y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=3.\]

Рішення:

а. якщо\(y_1=\cos\omega x\) тоді\(y_1'=-\omega\sin\omega x\) і\(y_1''=-\omega^2\cos\omega x=-\omega^2y_1\), так\(y_1''+\omega^2y_1=0\). Якщо\(y_2=\sin\omega x\) то,\(y_2'=\omega\cos\omega x\) і\(y_2''=-\omega^2\sin\omega x=-\omega^2y_2\), так\(y_2''+\omega^2y_2=0\).

б. якщо\[\label{eq:5.1.10} y=c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x\] тоді\[\label{eq:5.1.11} y'=\omega(-c_1\sin\omega x+c_2\cos\omega x)\] і\[y''=-\omega^2(c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x),\nonumber \] так\[\begin{aligned} y''+\omega^2y&= -\omega^2(c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x) +\omega^2(c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x)\\ &=c_1\omega^2(-\cos\omega x+\cos\omega x)+ c_2\omega^2(-\sin\omega x+\sin\omega x)=0\end{aligned}\nonumber \] для всіх\(x\). Тому\(y=c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.8} на\((-\infty,\infty)\).

c Для вирішення рівняння\ ref {eq:5.1.9}, ми повинні вибрати\(c_1\) і\(c_2\) в Equation\ ref {eq:5.1.10} так, щоб\(y(0)=1\) і\(y'(0)=3\). Встановлення\(x=0\) в рівнянні\ ref {eq:5.1.10} і рівняння\ ref {eq:5.1.11} показує, що\(c_1=1\) і\(c_2=3/\omega\). Тому

\[y=\cos\omega x+{3\over\omega}\sin\omega x\nonumber \]

є унікальним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.9} на\((-\infty,\infty)\).

Теорема Template:index передбачає, що якщо\(k_0\) і\(k_1\) є довільними дійсними числами, то задача початкового значення

\[\label{eq:5.1.12} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1\]

має унікальне рішення на інтервалі,\((a,b)\) який містить\(x_0\), за умови\(P_0\), що\(P_1\), і\(P_2\) є неперервними і не\(P_0\) має нулів\((a,b)\). Щоб побачити це, ми перепишемо диференціальне рівняння в Equation\ ref {eq:5.1.12} як

\[y''+{P_1(x)\over P_0(x)}y'+{P_2(x)\over P_0(x)}y=0\nonumber \]

і застосувати теорему Template:index з\(p=P_1/P_0\)\(q=P_2/P_0\) і.

Приклад Template:index

рівняння

\[\label{eq:5.1.13} x^2y''+xy'-4y=0\]

має вигляд диференціального рівняння в Equation\ ref {eq:5.1.12}\(P_0(x)=x^2\)\(P_1(x)=x\), with\(P_2(x)=-4\), і, які є неперервними\((-\infty,\infty)\). Однак, оскільки\(P(0)=0\) ми повинні розглянути розв'язки рівняння\ ref {eq:5.1.13} на\((-\infty,0)\) і\((0,\infty)\). Оскільки не\(P_0\) має нулів на цих інтервалах, теорема Template:index означає, що проблема початкового значення

\[x^2y''+xy'-4y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1\nonumber \]

має унікальне рішення на\((0,\infty)\) якщо\(x_0>0\), або на\((-\infty,0)\) якщо\(x_0<0\).

1. Переконайтеся, що\(y_1=x^2\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.13} на\((-\infty,\infty)\) і\(y_2=1/x^2\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.13} на\((-\infty,0)\) і\((0,\infty)\).
2. Переконайтеся, що якщо\(c_1\) і\(c_2\) є будь-якими константами, то\(y=c_1x^2+c_2/x^2\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.13} на\((-\infty,0)\) і\((0,\infty)\).
3. Вирішити початкову задачу\[\label{eq:5.1.14} x^2y''+xy'-4y=0,\quad y(1)=2,\quad y'(1)=0.\]
4. Вирішити початкову задачу\[\label{eq:5.1.15} x^2y''+xy'-4y=0,\quad y(-1)=2,\quad y'(-1)=0.\]

Рішення:

а. якщо\(y_1=x^2\) потім\(y_1'=2x\) і\(y_1''=2\), так\[x^2y_1''+xy_1'-4y_1=x^2(2)+x(2x)-4x^2=0\nonumber \] для\(x\) в\((-\infty,\infty)\). Якщо\(y_2=1/x^2\), то\(y_2'=-2/x^3\) і\(y_2''=6/x^4\), так\[x^2y_2''+xy_2'-4y_2=x^2\left(6\over x^4\right)-x\left(2\over x^3\right)-{4\over x^2}=0\nonumber \] для\(x\) в\((-\infty,0)\) або\((0,\infty)\).

б Якщо\[\label{eq:5.1.16} y=c_1x^2+{c_2\over x^2}\] потім\[\label{eq:5.1.17} y'=2c_1x-{2c_2\over x^3}\] і\[y''=2c_1+{6c_2\over x^4},\nonumber \] так\[\begin{aligned} x^{2}y''+xy'-4y&=x^{2}\left(2c_{1}+\frac{6c_{2}}{x^{4}} \right)+x\left(2c_{1}x-\frac{2c_{2}}{x^{3}} \right)-4\left(c_{1}x^{2}+\frac{c_{2}}{x^{2}} \right) \\ &=c_{1}(2x^{2}+2x^{2}-4x^{2})+c_{2}\left(\frac{6}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{4}{x^{2}} \right) \\ &=c_{1}\cdot 0+c_{2}\cdot 0 = 0 \end{aligned}\nonumber \] для\(x\) в\((-\infty,0)\) або\((0,\infty)\).

c Для розв'язання рівняння\ ref {eq:5.1.14}, ми вибираємо\(c_1\) і\(c_2\) в Equation\ ref {eq:5.1.16} так, щоб\(y(1)=2\) і\(y'(1)=0\). Встановлення\(x=1\) в рівнянні\ ref {eq:5.1.16} і рівняння\ ref {eq:5.1.17} показує, що це еквівалентно

\[\begin{aligned} \phantom{2}c_1+\phantom{2}c_2&=2\\ 2c_1-2c_2&=0.\end{aligned}\nonumber \]

Розв'язування цих рівнянь дає\(c_1=1\) і\(c_2=1\). Тому\(y=x^2+1/x^2\) є унікальним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.14} на\((0,\infty)\).

d Ми можемо вирішити рівняння\ ref {eq:5.1.15}, вибравши\(c_1\) і\(c_2\) в Рівнянні\ ref {eq:5.1.16} так, щоб\(y(-1)=2\) і\(y'(-1)=0\). Встановлення\(x=-1\) в рівнянні\ ref {eq:5.1.16} і рівняння\ ref {eq:5.1.17} показує, що це еквівалентно

\[\begin{aligned} \phantom{-2}c_1+\phantom{2}c_2&=2\\ -2c_1+2c_2&=0.\end{aligned}\nonumber \]

Розв'язування цих рівнянь дає\(c_1=1\) і\(c_2=1\). Тому\(y=x^2+1/x^2\) є унікальним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.15} на\((-\infty,0)\).

Хоча формули для розв'язків Equation\ ref {eq:5.1.14} і Equation\ ref {eq:5.1.15} є обома\(y=x^2+1/x^2\), ви не повинні робити висновок, що ці дві задачі на початкове значення мають однакове рішення. Пам'ятайте, що розв'язок задачі початкового значення визначається на інтервалі, який містить початкову точку, отже, рішення Equation\ ref {eq:5.1.14} знаходиться\(y=x^2+1/x^2\) на інтервалі\((0,\infty)\), який містить початкову точку\(x_0=1\), тоді як розв'язок Рівняння\ ref {eq:5.1.15} знаходиться\(y=x^2+1/x^2\) на інтервалі\((-\infty,0)\), який містить початкову точку\(x_0=-1\).

Загальний розв'язок однорідного лінійного рівняння другого порядку

Якщо\(y_1\) і\(y_2\) визначені на інтервалі\((a,b)\) і\(c_1\) і\(c_2\) є константами, то

\[y=c_1y_1+c_2y_2\nonumber \]

являє собою лінійну комбінацію\(y_1\) і\(y_2\). Наприклад,\(y=2\cos x+7 \sin x\) являє собою лінійну комбінацію\(y_1= \cos x\) і\(y_2=\sin x\), з\(c_1=2\) і\(c_2=7\).

Наступна теорема стверджує факт, що ми вже перевірили в прикладах Template:index, Template:index, Template:index.

Теорема Template:index

Якщо\(y_1\) і\(y_2\) є розв'язками однорідного рівняння

\[\label{eq:5.1.18} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

на\((a,b),\) потім будь-яку лінійну комбінацію

\[\label{eq:5.1.19} y=c_1y_1+c_2y_2\]

\(y_1\)а також\(y_2\) є рішенням\(\eqref{eq:5.1.18}\) на\((a,b).\)

Доказ

Якщо\[y=c_1y_1+c_2y_2\nonumber \] тоді\[y'=c_1y_1'+c_2y_2'\quad\text{ and} \quad y''=c_1y_1''+c_2y_2''.\nonumber \]

Тому

\[\begin{aligned} y''+p(x)y'+q(x)y&=(c_1y_1''+c_2y_2'')+p(x)(c_1y_1'+c_2y_2') +q(x)(c_1y_1+c_2y_2)\\ &=c_1\left(y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1\right) +c_2\left(y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2\right)\\ &=c_1\cdot0+c_2\cdot0=0,\end{aligned}\nonumber \]

оскільки\(y_1\) і\(y_2\) є розв'язками рівняння\ ref {eq:5.1.18}.

Ми говоримо, що\(\{y_1,y_2\}\) це фундаментальна сукупність розв'язків\(\eqref{eq:5.1.18}\) on,\((a,b)\) якщо кожен розв'язок Equation\ ref {eq:5.1.18} на\((a,b)\) може бути записаний як лінійна комбінація\(y_1\) і\(y_2\) як у Equation\ ref {eq:5.1.19}. У цьому випадку ми говоримо, що Equation\ ref {eq:5.1.19} є загальним рішенням\(\eqref{eq:5.1.18}\) на\((a,b)\).

Лінійна незалежність

Нам потрібен спосіб визначити, чи є задана множина\(\{y_1,y_2\}\) розв'язків Equation\ ref {eq:5.1.18} фундаментальною множиною. Наступне визначення дозволить нам сформулювати необхідні і достатні умови для цього.

Ми говоримо, що дві функції\(y_1\) і\(y_2\) визначені на інтервалі\((a,b)\) лінійно незалежні від\((a,b)\) якщо ні є постійною кратною інший на\((a,b)\). (Зокрема, це означає, що жодне не може бути тривіальним рішенням Equation\ ref {eq:5.1.18}, оскільки, наприклад, якби\(y_1\equiv0\) ми могли писати\(y_1=0y_2\).) Ми також скажемо,\(\{y_1,y_2\}\) що набір лінійно незалежний від\((a,b)\).

Теорема Template:index

Припустимо\(p\) і\(q\) є безперервними на\((a,b).\) Тоді\(\{y_1,y_2\}\) набір рішень

\[\label{eq:5.1.20} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

on\((a,b)\) є фундаментальним набором, якщо і тільки тоді,\(\{y_1,y_2\}\) коли лінійно незалежний від\((a,b).\)

Доказ

Ми представимо доказ теореми Template:index в кроках, які варто розглядати як теореми самостійно. Однак спочатку давайте інтерпретуємо теорему Template:index в терміні прикладів Template:index, Template:index, Template:index.

Приклад Template:index

Оскільки\(e^x/e^{-x}=e^{2x}\) є непостійною, теорема Template:index передбачає, що\(y=c_1e^x+c_2e^{-x}\) це загальне рішення\(y''-y=0\) on\((-\infty,\infty)\).

Оскільки\(\cos\omega x/\sin\omega x=\cot\omega x\) є непостійною, теорема Template:index передбачає, що\(y=c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x\) це загальне рішення\(y''+\omega^2y=0\) on\((-\infty,\infty)\).

Оскільки\(x^2/x^{-2}=x^4\) непостійна, теорема Template:index передбачає, що\(y=c_1x^2+c_2/x^2\) є загальним розв'язком\(x^2y''+xy'-4y=0\) on\((-\infty,0)\) and\((0,\infty)\).

Формула Вронського та Абеля

Щоб мотивувати результат, який нам потрібен для доведення теореми Template:index, давайте подивимося, що потрібно для доведення фундаментальної\(\{y_1,y_2\}\) множини розв'язків Equation\ ref {eq:5.1.20} на\((a,b)\). \(x_0\)Дозволяти довільна точка в\((a,b)\), і припустимо,\(y\) є довільним розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.20} на\((a,b)\). Тоді\(y\) - унікальне рішення початкової задачі

\[\label{eq:5.1.21} y''+p(x)y'+q(x)y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1;\]

тобто\(k_0\) і\(k_1\) є числами, отриманими при оцінці\(y\) і\(y'\) при\(x_0\). Крім того,\(k_0\) і\(k_1\) можуть бути будь-якими дійсними числами, оскільки теорема Template:index передбачає, що рівняння\ ref {eq:5.1.21} має рішення незалежно від того, як\(k_0\) і\(k_1\) які обрані. Тому\(\{y_1,y_2\}\) є фундаментальною сукупністю розв'язків Equation\ ref {eq:5.1.20} тільки тоді і тільки тоді, коли можна записати розв'язок довільної початкової задачі Equation\ ref {eq:5.1.21} як\(y=c_1y_1+c_2y_2\).\((a,b)\) Це еквівалентно вимагаючи, щоб система

\[\label{eq:5.1.22} \begin{array}{rcl} c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)&=k_0\\ c_1y_1'(x_0)+c_2y_2'(x_0)&=k_1 \end{array}\]

має рішення\((c_1,c_2)\) на будь-який вибір\((k_0,k_1)\). Спробуємо розв'язати Рівняння\ ref {eq:5.1.22}.

Множення першого рівняння в Equation\ ref {eq:5.1.22} на,\(y_2'(x_0)\) а друге на\(y_2(x_0)\) вихід

\[\begin{aligned} c_1y_1(x_0)y_2'(x_0)+c_2y_2(x_0)y_2'(x_0)&= y_2'(x_0)k_0\\ c_1y_1'(x_0)y_2(x_0)+c_2y_2'(x_0)y_2(x_0)&= y_2(x_0)k_1,\end{aligned}\]

і віднімання другого рівняння тут з першого прибутку

\[\label{eq:5.1.23} \left(y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)\right)c_1= y_2'(x_0)k_0-y_2(x_0)k_1.\]

Множення першого рівняння в Equation\ ref {eq:5.1.22} на,\(y_1'(x_0)\) а друге на\(y_1(x_0)\) вихід

\[\begin{aligned} c_1y_1(x_0)y_1'(x_0)+c_2y_2(x_0)y_1'(x_0)&= y_1'(x_0)k_0\\ c_1y_1'(x_0)y_1(x_0)+c_2y_2'(x_0)y_1(x_0)&= y_1(x_0)k_1,\end{aligned}\]

і віднімання першого рівняння тут з другого дає

\[\label{eq:5.1.24} \left(y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)\right)c_2= y_1(x_0)k_1-y_1'(x_0)k_0.\]

Якщо

\[y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)=0,\nonumber \]

неможливо задовольнити рівняння\ ref {eq:5.1.23} і рівняння\ ref {eq:5.1.24} (і тому рівняння\ ref {eq:5.1.22}), якщо\(k_0\) і\(k_1\) не задовольнить

\[\begin{aligned} y_1(x_0)k_1-y_1'(x_0)k_0&=0\\ y_2'(x_0)k_0-y_2(x_0)k_1&=0.\end{aligned}\]

З іншого боку, якщо

\[\label{eq:5.1.25} y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)\ne0\]

ми можемо розділити рівняння\ ref {eq:5.1.23} і рівняння\ ref {eq:5.1.24} через кількість зліва, щоб отримати

\[\label{eq:5.1.26} \begin{array}{rcl} c_1&={y_2'(x_0)k_0-y_2(x_0)k_1\over y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)}\\ c_2&={y_1(x_0)k_1-y_1'(x_0)k_0\over y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)}, \end{array}\]

незалежно від того, як\(k_0\)\(k_1\) і обрані. Це спонукає нас розглядати умови щодо\(y_1\) рівняння\ ref {eq:5.1.25}.\(y_2\)

Теорема Template:index

Припустимо\(p\) і\(q\) є безперервними на\((a,b),\) нехай\(y_1\) і\(y_2\) бути рішеннями

\[\label{eq:5.1.27} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

на\((a,b)\), і визначити

\[\label{eq:5.1.28} W=y_1y_2'-y_1'y_2.\]

\(x_0\)Дозволяти бути будь-який момент в\((a,b).\) Тоді

\[\label{eq:5.1.29} W(x)=W(x_0) e^{-\int^x_{x_0}p(t)\:dt}, \quad a<x<b\]

Тому або не\(W\) має нулів в\((a,b)\) або\(W\equiv0\) ввімкнено\((a,b).\)

Доказ

Диференціююче рівняння\ ref {eq:5.1.28} дає

\[\label{eq:5.1.30} W'=y'_1y'_2+y_1y''_2-y'_1y'_2-y''_1y_2= y_1y''_2-y''_1y_2.\]

Оскільки\(y_1\) і\(y_2\) обидва задовольняють рівняння\ ref {eq:5.1.27},

\[y''_1 =-py'_1-qy_1\quad \text{and} \quad y''_2 =-py'_2-qy_2.\nonumber \]

Підставляючи їх у рівняння\ ref {eq:5.1.30} дає

\[\begin{aligned} W'&= -y_1\bigl(py'_2+qy_2\bigr) +y_2\bigl(py'_1+qy_1\bigr) \\ &= -p(y_1y'_2-y_2y'_1)-q(y_1y_2-y_2y_1)\\ &= -p(y_1y'_2-y_2y'_1)=-pW.\end{aligned}\nonumber \]

Тому\(W'+p(x)W=0\);\(W\) тобто рішення початкової задачі значення

\[y'+p(x)y=0,\quad y(x_0)=W(x_0).\nonumber \]

Ми залишаємо це вам, щоб перевірити шляхом поділу змінних, що це означає Equation\ ref {eq:5.1.29}. Якщо\(W(x_0)\ne0\), Equation\ ref {eq:5.1.29} означає, що не\(W\) має нулів\((a,b)\), оскільки експоненціальна ніколи не дорівнює нулю. З іншого боку, якщо\(W(x_0)=0\), Equation\ ref {eq:5.1.29} означає, що\(W(x)=0\) для всіх\(x\) в\((a,b)\).

Функція,\(W\) визначена в Рівняння\ ref {eq:5.1.28}, є вронським\(\{y_1,y_2\}\). Формула рівняння\ ref {eq:5.1.29} є формулою Абеля.

Вронський з\(\{y_1,y_2\}\) зазвичай пишеться як детермінант

\[W=\left| \begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{array} \right|.\nonumber \]

Вирази в Equation\ ref {eq:5.1.26} для\(c_1\) і\(c_2\) можуть бути записані через детермінант як

\[c_1={1\over W(x_0)} \left| \begin{array}{cc} k_0 & y_2(x_0) \\ k_1 & y'_2(x_0) \end{array} \right| \quad \text{and} \quad c_2={1\over W(x_0)} \left| \begin{array}{cc} y_1(x_0) & k_0 \\ y'_1(x_0) &k_1 \end{array} \right|.\nonumber \]

Якщо ви взяли лінійну алгебру, ви можете визнати це як правило Крамера.

Приклад Template:index

Перевірте формулу Абеля для наступних диференціальних рівнянь та відповідних розв'язків з Приклади Template:index, Template:index, Template:index.

1. \(y''-y=0;\quad y_1=e^x,\; y_2=e^{-x}\)
2. \(y''+\omega^2y=0;\quad y_1=\cos\omega x,\; y_2=\sin\omega x\)
3. \(x^2y''+xy'-4y=0;\quad y_1=x^2,\; y_2=1/x^2\)

Рішення:

а Оскільки ми можемо перевірити формулу Абеля\(p\equiv0\), показавши, що\(W\) є постійною, що вірно, оскільки

\[W(x)=\left| \begin{array}{rr} e^x & e^{-x} \\ e^x & -e^{-x} \end{array} \right|=e^x(-e^{-x})-e^xe^{-x}=-2\nonumber \]

для всіх\(x\).

b Знову ж таки\(p\equiv0\), оскільки ми можемо перевірити формулу Абеля, показавши, що\(W\) є постійною, що вірно, оскільки

\[\begin{aligned} W(x)&={\left| \begin{array}{cc} \cos\omega x & \sin\omega x \\ -\omega\sin\omega x &\omega\cos\omega x \end{array} \right|}\\ &=\cos\omega x (\omega\cos\omega x)-(-\omega\sin\omega x)\sin\omega x\\ &=\omega(\cos^2\omega x+\sin^2\omega x)=\omega\end{aligned}\nonumber \]

для всіх\(x\).

c Обчислення вронського\(y_1=x^2\) і\(y_2=1/x^2\) безпосередньо дає

\[\label{eq:5.1.31} W=\left| \begin{array}{cc} x^2 & 1/x^2 \\ 2x & -2/x^3 \end{array} \right|=x^2\left(-{2\over x^3}\right)-2x\left(1\over x^2\right)=-{4\over x}.\]

Щоб перевірити формулу Абеля, ми перепишемо диференціальне рівняння як

\[y''+{1\over x}y'-{4\over x^2}y=0\nonumber \]

щоб побачити це\(p(x)=1/x\). Якщо\(x_0\) і\(x\) є або в обох,\((-\infty,0)\) або в обох,\((0,\infty)\) то

\[\int_{x_0}^x p(t)\,dt=\int_{x_0}^x {dt\over t}=\ln\left(x\over x_0\right),\nonumber \]

так формула Абеля стає

\[\begin{aligned} W(x)&=W(x_0)e^{-\ln(x/x_0)}=W(x_0){x_0\over x}\\ &=-\left(4\over x_0\right)\left(x_0\over x\right)\quad \text{from} \eqref{eq:5.1.31}\\ &=-{4\over x},\end{aligned}\nonumber \]

який відповідає рівнянню\ ref {eq:5.1.31}.

Наступна теорема дозволить нам завершити доказ теореми Template:index.

Теорема Template:index

Припустимо\(p\) і\(q\) є безперервними на відкритому інтервалі\((a,b),\) нехай\(y_1\) і\(y_2\) бути розв'язками

\[\label{eq:5.1.32} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

на\((a,b),\) і нехай\(W=y_1y_2'-y_1'y_2.\) Тоді\(y_1\) і\(y_2\) лінійно незалежні від\((a,b)\) якщо і тільки якщо не\(W\) має нулів на\((a,b).\)

Доказ

Ми спочатку покажемо, що якщо\(W(x_0)=0\) для деяких\(x_0\) в\((a,b)\), то\(y_1\) і\(y_2\) лінійно залежать від\((a,b)\). \(I\)Дозволяти підінтервал\((a,b)\) на якому не\(y_1\) має нулів. (Якщо немає такого підінтервалу,\(y_1\equiv0\) на\((a,b)\), так\(y_1\) і лінійно\(y_2\) незалежні, і ми закінчили з цією частиною доказу.) Потім\(y_2/y_1\) визначається на\(I\), і

\[\label{eq:5.1.33} \left(y_2\over y_1\right)'={y_1y_2'-y_1'y_2\over y_1^2}={W\over y_1^2}.\]

Однак, якщо\(W(x_0)=0\), Теорема Template:index означає, що\(W\equiv0\) на\((a,b)\). Тому рівняння\ ref {eq:5.1.33} означає\((y_2/y_1)'\equiv0\), що, так\(y_2/y_1=c\) (константа) на\(I\). Це показує, що\(y_2(x)=cy_1(x)\) для всіх\(x\) в\(I\). Однак ми хочемо показати, що\(y_2=cy_1(x)\) для всіх\(x\) в\((a,b)\). Нехай\(Y=y_2-cy_1\). Тоді\(Y\) є розв'язком Рівняння\ ref {eq:5.1.32} на\((a,b)\) таке, що\(Y\equiv0\) на\(I\), а отже і\(Y'\equiv0\) далі\(I\). Отже, якщо\(x_0\) вибирається довільно,\(I\) то\(Y\) є розв'язком задачі початкового значення.

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0,\quad y(x_0)=0,\quad y'(x_0)=0,\nonumber \]

що випливає, що\(Y\equiv0\) далі\((a,b)\), за абзацом наступної теореми Template:index. (Див. також вправу 5.1.24). Отже,\(y_2-cy_1\equiv0\) на\((a,b)\), що має на увазі, що\(y_1\) і не\(y_2\) є лінійно незалежними від\((a,b)\).

Тепер припустимо, не\(W\) має нулів на\((a,b)\). Тоді не\(y_1\) може бути однаково нульовим\((a,b)\) (чому б і ні?) , І тому існує підінтервал\(I\)\((a,b)\) на який не\(y_1\) має нулів. Оскільки Equation\ ref {eq:5.1.33} означає, що\(y_2/y_1\) це непостійне\(I\) увімкнено,\(y_2\) не є постійним кратним\(y_1\) увімкненому\((a,b)\). Подібний аргумент показує, що\(y_1\) це не постійна кратна\(y_2\) включенню\((a,b)\), оскільки

\[\left(y_1\over y_2\right)'={y_1'y_2-y_1y_2'\over y_2^2}=-{W\over y_2^2}\nonumber \]

на будь-якому підінтервалі\((a,b)\) де не\(y_2\) має нулів.

Тепер ми можемо завершити доказ теореми Template:index. З теореми Template:index, два\(y_2\) розв'язки\(y_1\) і Рівняння\ ref {eq:5.1.32} лінійно незалежні від того,\((a,b)\) якщо і тільки якщо не\(W\) має нулів\((a,b)\). З теореми Template:index} і мотивуючих коментарів, що передують їй,\(\{y_1,y_2\}\) є фундаментальним набором розв'язків рівняння\ ref {eq:5.1.32} тоді і тільки тоді, коли немає нулів\((a,b)\).\(W\) Тому\(\{y_1,y_2\}\) є фундаментальним набором для Equation\ ref {eq:5.1.32},\((a,b)\) якщо і тільки якщо\(\{y_1,y_2\}\) лінійно незалежний від\((a,b)\).

Наступна теорема узагальнює зв'язки між поняттями, розглянутими в цьому розділі.

Теорема Template:index

Припустимо\(p\) і\(q\) є безперервними на відкритому інтервалі\((a,b)\) і нехай\(y_1\) і\(y_2\) бути розв'язками

\[\label{eq:5.1.34} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

на\((a,b).\) Тоді наступні твердження еквівалентні\(;\), тобто\(,\) вони або всі істинні, або всі помилкові.\(.\)

1. Загальне рішення\(\eqref{eq:5.1.34}\) включення\((a,b)\) є\(y=c_1y_1+c_2y_2\).
2. \(\{y_1,y_2\}\)є фундаментальним набором рішень\(\eqref{eq:5.1.34}\) на\((a,b).\)
3. \(\{y_1,y_2\}\)лінійно незалежний від\((a,b).\)
4. Вронський з\(\{y_1,y_2\}\) ненульовий в якийсь момент\((a,b).\)
5. Вронський від\(\{y_1,y_2\}\) є ненульовим у всіх точках\((a,b).\)

Ми можемо застосувати цю теорему до рівняння, записаного як

\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0\nonumber \]

на інтервалі\((a,b)\) де\(P_0\)\(P_1\), і\(P_2\) є безперервними і не\(P_0\) має zeros.dd доказу тут, і він автоматично буде прихований

Теорема Template:index

Припустимо\(c\), є в\((a,b)\) і\(\alpha\) і\(\beta\) є дійсними числами, а не нульовими. За припущеннями теореми Template:index, припустимо\(y_{1}\) і\(y_{2}\) є розв'язками рівняння\ ref {eq:5.1.34} такими, що

\[\label{eq:5.1.35} \alpha y_{1}(c)+\beta y_{1}'(c)=0\quad\text{and}\quad \alpha y_{2}(c)+\beta y_{2}'(c)=0.\]

Тоді\(\{y_{1},y_{2}\}\) не лінійно незалежний\((a,b).\)

Доказ

Оскільки\(\alpha\) і не\(\beta\) є нульовими, рівняння\ ref {eq:5.1.35} означає, що

\[\left|\begin{array}{ccccccc} y_{1}(c)&y_{1}'(c)\\y_{2}(c)& y_{2}'(c) \end{array}\right|=0, \quad\text{so}\quad \left|\begin{array}{cccccc} y_{1}(c)&y_{2}(c)\\ y_{1}'(c)&y_{2}'(c) \end{array}\right|=0\nonumber \]

і теорема Template:index передбачає заявлений висновок.