5: Лінійні рівняння другого порядку
- Page ID
- 62197
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У цьому розділі ми вивчаємо особливо важливий клас рівнянь другого порядку. Через їх численні застосування в науці та техніці диференціальні рівняння другого порядку історично були найбільш ретельно вивченим класом диференціальних рівнянь. Дослідження теорії диференціальних рівнянь другого порядку тривають і донині. Ця глава присвячена рівнянням другого порядку, які можна записати у вигляді $$ P_0 (x) Y"+P_1 (x) Y'+P_2 (x) Y=F (x). \ nonumber $$ Такі рівняння вважаються лінійними. Як і у випадку з лінійними рівняннями першого порядку, це диференціальне рівняння вважається однорідним if\(F\equiv0\), або неоднорідним if\(F \not \equiv 0\).
- 5.1: Однорідні лінійні рівняння
- Цей розділ присвячений теорії однорідних лінійних рівнянь.
- 5.2: Однорідні рівняння постійного коефіцієнта
- У цьому розділі розглядаються однорідні рівняння особливої форми ay″+by′+cy=0, де a, b і c є постійними (a0). Коли ви закінчите цей розділ, ви будете знати все, що потрібно знати про рішення таких рівнянь.
- 5.3: Неоднорідні лінійні рівняння
- У цьому розділі представлена теорія неоднорідних лінійних рівнянь.
- 5.4: Метод невизначеного коефіцієнта I
- У цьому розділі представлений метод невизначений коефіцієнтів, який може бути використаний для розв'язання неоднорідних рівнянь виду Ay"+by'+Cy=F (x), де a, b і c є константами, а F (x) має особливу форму, яка все ще є досить загальною, щоб зустрічатися в багатьох додатках. У цьому розділі широко використовується ідея варіації параметрів, введена раніше.
- 5.5: Метод невизначеного коефіцієнта II
- У цьому розділі ми використовуємо Метод невизначеного коефіцієнта для пошуку розв'язків рівняння постійного коефіцієнта ay"+by'+cy=exp {λx} (P (x) cos ω x + Q (x) sin ω x) де λ і ω - дійсні числа, ω не нуль, а P і Q - поліноми.
- 5.6: Зменшення порядку
- У цьому розділі розглядається метод зменшення порядку, заснований на ідеї варіації параметрів, що дозволяє знайти загальний розв'язок неоднорідного лінійного рівняння другого порядку за умови, що відомо один нетривіальний (не однаково нульовий) розв'язок пов'язаного однорідного рівняння.
- 5.7: Зміна параметрів
- У цьому розділі розглядається метод, який традиційно називають варіацією параметрів, який дозволяє знайти загальний розв'язок неоднорідного лінійного рівняння другого порядку за умови, що нам відомі два нетривіальні розв'язки (з непостійним співвідношенням) пов'язаного однорідного рівняння.