4.5E: Застосування до кривих (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62230

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Q4.5.1

У вправах 4.5.1-4.5.8 знайти диференціальне рівняння першого порядку для заданого сімейства кривих.

1. \(y(x^2+y^2)=c\)

2. \(e^{xy}=cy\)

3. \(\ln |xy|=c(x^2+y^2)\)

4. \(y=x^{1/2}+cx\)

5. \(y=e^{x^2}+ce^{-x^2}\)

6. \({y=x^3+{c\over x}}\)

7. \(y=\sin x+ce^x\)

8. \(y=e^x+c(1+x^2)\)

Q4.5.2

9. Показати, що сімейство кіл\[(x-x_0)^2+y^2=1,\;-\infty<x_0<\infty,\nonumber\] можна отримати шляхом з'єднання інтегральних кривих двох диференціальних рівнянь першого порядку. Більш конкретно, знайти диференціальні рівняння для сімей півкіл

\[(x-x_0)^2+y^2=1,\; x_0<x<x_0+1,\;-\infty<x_0<\infty,\nonumber\]

\[(x-x_0)^2+y^2=1,\; x_0-1<x<x_0,\;-\infty<x_0<\infty.\nonumber\]

10. Припустимо\(f\) і\(g\) диференційовані для всіх\(x\). Знайти диференціальне рівняння для сімейства функцій\(y=f+cg\) (\(c\)=константа).

Q4.5.3

У вправах 4.5.11-4.5.13 знайти диференціальне рівняння першого порядку для заданого сімейства кривих.

11. Лінії через задану точку\((x_0,y_0)\).

12. Кола наскрізь\((-1,0)\) і\((1,0)\).

13. Кола наскрізь\((0,0)\) і\((0,2)\).

Q4.5.4

14. Скористайтеся методом Приклад 4.5.6 (a), щоб знайти рівняння прямих через задані точки, дотичні до параболи\(y=x^2\). Також знайдіть точки дотику.

\((5,9)\)
\((6,11)\)
\((-6,20)\)
\((-3,5)\)

15.

Показати, що рівняння прямої дотичної до кола\[x^2+y^2=1 \tag{A}\] в точці\((x_0,y_0)\) на колі дорівнює\[y={1-x_0x\over y_0}\quad \text{if} \quad x_0\ne\pm1. \tag{B}\]
Показати,\(y'\) що якщо нахил невертикальної дотичної лінії до кола (A) і\((x,y)\) є точкою на дотичній лінії, то\[(y')^2(x^2-1)-2xyy'+y^2-1=0. \tag{C}\]
Показати, що відрізок дотичної лінії (B), на якій\((x-x_0)/y_0>0\) знаходиться інтегральна крива диференціального рівняння,\[y'={xy-\sqrt{x^2+y^2-1}\over x^2-1}, \tag{D}\] а відрізок, на якому\((x-x_0)/y_0<0\) є інтегральна крива диференціального рівняння\[y'={xy+\sqrt{x^2+y^2-1}\over x^2-1}. \tag{E}\] ПІДКАЗКА: Використовуйте квадратичну формулу для розв'язання (С) для\(y'\). Потім підставляємо (B) для\(y\) і вибираємо\(\pm\) знак у квадратичній формулі так, щоб отриманий вираз для\(y'\) зменшувався до відомого нахилу\(y'=-x_{0}/y_{0}\)
Показати, що верхнє і нижнє півкола (A) також є інтегральними кривими (D) і (E).
Знайдіть рівняння двох прямих через (5,5) дотичну до кола (A), і знайдіть точки дотику.

16.

Показати, що рівняння прямої дотичної до параболи\[x=y^2 \tag{A}\] в точці\((x_0,y_0)\ne(0,0)\) на параболі дорівнює\[y={y_0\over2}+{x\over2y_0}. \tag{B}\]
Показати,\(y'\) що якщо нахил невертикальної дотичної лінії до параболи (A) і\((x,y)\) є точкою на дотичній лінії, то\[4x^2(y')^2-4xyy'+x=0. \tag{C}\]
Показати, що відрізок дотичної лінії, визначеної в (а), на якій\(x>x_0\) знаходиться інтегральна крива диференціального рівняння,\[y'={y+\sqrt{y^2-x}\over2x}, \tag{D}\] а відрізок, на якому\(x<x_0\) є інтегральна крива диференціального рівняння\[y'={y-\sqrt{y^2-x}\over2x}, \tag{E}\] ПІДКАЗКА: Використовуйте квадратичну формулу для розв'язання (c) для\(y'\). Потім підставляємо (B) на y і вибираємо\(\pm\) знак у квадратичній формулі так, щоб отриманий вираз for\(y'\) зменшувався до відомого нахилу\(y'=\frac{1}{2y_{0}}\)
Показати, що верхня і нижня половини параболи (A), задані\(y=\sqrt x\) і\(y=-\sqrt x\) for\(x>0\), також є інтегральними кривими (D) і (E).

17. Використовуйте результати вправи 4.5.16, щоб знайти рівняння двох ліній, дотичних до параболи\(x=y^2\) і проходять через задану точку. Також знайдіть точки дотику.

\((-5,2)\)
\((-4,0)\)
\((7,4)\)
\((5,-3)\)

18. Знайти криву\(y=y(x)\) через (1,2) таку, що дотична до кривої в будь-якій точці\((x_0,y(x_0))\) перетинає\(x\) вісь в\({x_I=x_0/2}\).

19. Знайти всі криві\(y=y(x)\) таким чином, щоб дотична до кривої в будь-якій точці\((x_0,y(x_0))\) перетинала\(x\) вісь в\(x_I=x^3_0\).

20. Знайти всі криві\(y=y(x)\) таким чином, щоб дотична до кривої в будь-якій точці проходила через задану точку\((x_1,y_1)\).

21. Знайти криву\(y=y(x)\) через\((1,-1)\) таку, щоб дотична до кривої в будь-якій точці\((x_0,y(x_0))\) перетинала\(y\) вісь в\(y_I=x^3_0\).

22. Знайти всі криві\(y=y(x)\) таким чином, щоб дотична до кривої в будь-якій точці\((x_0,y(x_0))\) перетинала\(y\) вісь в\(y_I=x_0\).

23. Знайти криву\(y=y(x)\) через\((0,2)\) таку, що нормаль до кривої в будь-якій точці\((x_0,y(x_0))\) перетинає\(x\) вісь в\(x_I=x_0+1\).

24. Знайти криву\(y=y(x)\) через\((2,1)\) таку, що нормаль до кривої в будь-якій точці\((x_0,y(x_0))\) перетинає\(y\) вісь в\(y_I=2y(x_0)\).

Q4.5.5

У вправах 4.5.25-2.5.29 знайти ортогональні траєкторії заданого сімейства кривих.

25. \(x^2+2y^2=c^2\)

26. \(x^2+4xy+y^2=c\)

27. \(y=ce^{2x}\)

28. \(xye^{x^2}=c\)

29. \({y={ce^x\over x}}\)

Q4.5.6

30. Знайдіть криву через\((-1,3)\) ортогональну кожній параболи форми\[y=1+cx^2\nonumber\], яку вона перетинає. Яка з цих парабол перетинається потрібна крива?

31. Показати, що ортогональні траєкторії\[x^2+2axy+y^2=c\nonumber\] задовольняють\[|y-x|^{a+1}|y+x|^{a-1}=k.\nonumber\]

32. Якщо лінії\(L\) і\(L_1\) перетинаються на\((x_0,y_0)\) і\(\alpha\) є найменшим кутом, через який\(L\) потрібно повертати проти годинникової стрілки приблизно,\((x_0,y_0)\) щоб привести його в збіг з\(L_1\), скажемо, що\(\alpha\) це кут від\(L\) до \(L_1\); таким чином,\(0\le\alpha<\pi\). Якщо\(L\) і\(L_1\) є дотичними до кривих\(C\) і\(C_1\), відповідно, що перетинаються на\((x_0,y_0)\), ми говоримо, що\(C_1\)\(C\) перетинається під кутом\(\alpha\). Використовуйте тотожність,\[\tan(A+B)={\tan A+\tan B\over1-\tan A\tan B}\nonumber\] щоб показати, що якщо\(C\) і\(C_1\) перетинаються інтегральні криві\[y'=f(x,y) \quad \text{and} \quad y'={f(x,y)+\tan\alpha\over 1-f(x,y)\tan\alpha} \quad\left( \alpha \ne {\pi\over2}\right),\nonumber\] відповідно, то\(C_1\)\(C\) перетинаються під кутом\(\alpha\).

33. Використовуйте результат вправи 4.5.32, щоб знайти сімейство кривих, які перетинають кожну невертикальну лінію через початок під кутом\(\alpha=\pi/4\).

34. Скористайтеся результатом вправи 4.5.32, щоб знайти сімейство кривих, які перетинають кожне коло з центром у початковій точці під заданим кутом\(\alpha \ne \pi/2\).