4.5: Додатки до кривих
- Page ID
- 62222
Почнемо з двох прикладів сімейств кривих, що генеруються шляхом зміни параметра над набором дійсних чисел.
Для кожного значення параметра\(c\) рівняння
\[\label{eq:4.5.1} y-cx^2=0\]
визначає криву в\(xy\) -площині. Якщо\(c \ne0\), крива є параболою через початок, відкриваючи вгору, якщо\(c>0\) або вниз, якщо\(c<0\). Якщо\(c=0\), крива є\(x\) віссю (Рисунок Template:index).
Для кожного значення параметра\(c\) рівняння
\[\label{eq:4.5.2} y=x+c\]
визначає лінію з нахилом 1 (Рисунок Template:index).
Рівняння, яке можна записати у вигляді
\[\label{eq:4.5.3} H(x,y,c)=0\]
Кажуть, що визначає однопараметричне сімейство кривих, якщо\(,\) для кожного значення\(c\) в деякій непорожній множині дійсних чисел\(,\) множина точок\((x,y)\), які задовольняють Equation\ ref {eq:4.5.3} утворює криву в\(xy\) -площині.
Рівняння Рівняння\ ref {eq:4.5.1} і Рівняння\ ref {eq:4.5.2} визначають однопараметричні сімейства кривих. (Хоча рівняння\ ref {eq:4.5.2} не має форми Equation\ ref {eq:4.5.3}, його можна записати в такому вигляді як\(y-x-c=0\).)
Якщо\(c>0\), графік рівняння
\[\label{eq:4.5.4} x^2+y^2-c=0\]
це коло з центром в\((0,0)\) і радіусом\(\sqrt{c}\). Якщо\(c=0\), то графік є єдиною точкою\((0,0)\). (Ми не розглядаємо одну точку як криву.) Якщо\(c<0\), рівняння не має графіка. Отже, Equation\ ref {eq:4.5.4} визначає однопараметрову сімейство кривих для позитивних значень\(c\). Це сімейство складається з усіх кіл, розташованих по центру\((0,0)\) (Рисунок Template:index).
рівняння
\[x^2+y^2+c^2=0 \nonumber\]
не визначає однопараметричне сімейство кривих, оскільки no\((x,y)\) задовольняє рівняння if\(c\ne0\), і тільки одна точка\((0,0)\) задовольняє його if\(c=0\).
Нагадаємо з розділу 1.2, що графік розв'язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою рівняння. Розв'язування диференціального рівняння першого порядку зазвичай дає однопараметричне сімейство інтегральних кривих рівняння. Тут нас цікавить зворотна задача: задано однопараметричне сімейство кривих, чи існує диференціальне рівняння першого порядку, для якого кожен член сімейства є інтегральною кривою. Це говорить про наступне визначення.
Template:index Якщо кожна крива в однопараметровому сімействі визначається рівнянням
\[\label{eq:4.5.5} H(x,y,c)=0\]
є інтегральною кривою диференціального рівняння першого порядку
\[\label{eq:4.5.6} F(x,y,y')=0,\]
тоді рівняння\ ref {eq:4.5.6} вважається диференціальним рівнянням для сім'ї.
Для пошуку диференціального рівняння для однопараметричної родини диференціюємо його визначальне рівняння Equation\ ref {eq:4.5.5} неявно відносно\(x\), щоб отримати
\[\label{eq:4.5.7} H_x(x,y,c)+H_y(x,y,c)y'=0.\]
Якщо це рівняння не робить, то це диференціальне рівняння для сім'ї. Якщо він містить\(c\), можливо, можна отримати диференціальне рівняння для сім'ї шляхом усунення\(c\) між Equation\ ref {eq:4.5.5} і Equation\ ref {eq:4.5.7}.
Знайти диференціальне рівняння для сімейства кривих, визначених
\[\label{eq:4.5.8} y=cx^2.\]
Рішення
Диференціююче рівняння\ ref {eq:4.5.8} щодо\(x\) врожайності
\[y'=2cx. \nonumber\]
Отже\(c=y'/2x\), і підставляючи це в рівняння\ ref {eq:4.5.8} дає
\[y={xy'\over2} \nonumber\]
як диференціальне рівняння для сімейства кривих, визначених Equation\ ref {eq:4.5.8}. Графік будь-якої функції виду\(y=cx^2\) є інтегральною кривою цього рівняння.
Наступний приклад показує, що члени заданого сімейства кривих можуть бути отримані шляхом об'єднання інтегральних кривих для більш ніж одного диференціального рівняння.
а Спробуйте знайти диференціальне рівняння для сімейства ліній, дотичних до параболи\(y=x^2\).
b. знайти дві дотичні лінії до параболи,\(y=x^2\) які проходять крізь\((2,3)\), і знайдіть точки дотику.
Рішення
а Рівняння прямої через задану точку\((x_0,y_0)\) з нахилом\(m\) дорівнює
\[\label{eq:4.5.9} y=y_0+m(x-x_0).\]
Якщо\((x_0,y_0)\) знаходиться на параболі, то\(y_0=x_0^2\) і нахил дотичної лінії через (\(x_0,x_0^2)\)є\(m=2x_0\); отже, Equation\ ref {eq:4.5.9} стає
\[y=x_0^2+2x_0(x-x_0), \nonumber\]
або, рівнозначно,
\[\label{eq:4.5.10} y=-x_0^2+2x_0x.\]
Тут\(x_0\) відіграє роль константи\(c\) в Definition Template:index; тобто зміна\(x_0\) над\((-\infty,\infty)\) створює сімейство дотичних ліній до параболи\(y=x^2\).
Диференціююче рівняння\ ref {eq:4.5.10} щодо\(x\) врожайності\(y'=2x_0\).. Ми можемо висловити\(x_0\) в терміні\(x\) і\(y\) переписуючи Equation\ ref {eq:4.5.10} як
\[x_0^2-2x_0x+y=0 \nonumber\]
і використовуючи квадратичну формулу для отримання
\[\label{eq:4.5.11} x_0=x\pm\sqrt{x^2-y}.\]
Ми повинні вибрати знак плюса в Equation\ ref {eq:4.5.11} if\(x<x_0\) і знак мінус if\(x>x_0\); таким чином,
\[x_0=\left(x+\sqrt{x^2-y}\right)\, \text{if} \, x<x_0. \nonumber\]
і
\[x_0=\left(x-\sqrt{x^2-y}\right)\, \text{if} \, x>x_0. \nonumber\]
Так як\(y'=2x_0\), це означає, що
\[\label{eq:4.5.12} y'=2\left(x+\sqrt{x^2-y}\right),\quad \text{if} \quad x<x_0\]
і
\[\label{eq:4.5.13} y'=2\left(x-\sqrt{x^2-y}\right),\quad \text{if} \quad x>x_0.\]
Ні Рівняння\ ref {eq:4.5.12}, ні Equation\ ref {eq:4.5.13} не є диференціальним рівнянням для сімейства дотичних ліній до параболи\(y=x^2\). Однак, якщо кожна дотична лінія розглядається як складається з двох дотичних половинок, з'єднаних у точці дотику, Equation\ ref {eq:4.5.12} є диференціальним рівнянням для сімейства дотичних половинок, на яких\(x\) менше абсциси точки дотику (Рисунок Template:index a), тоді як Equation\ ref {eq:4.5.13} є диференціальним рівнянням для сімейства дотичних половинних рядків, на яких\(x\) більше цієї абсциси (Рисунок Template:index (b)). Парабола також\(y=x^2\) є інтегральною кривою рівняння\ ref {eq:4.5.12} і рівняння\ ref {eq:4.5.13}.
b. з Рівняння\ ref {eq:4.5.10} точка\((x,y)=(2,3)\) знаходиться на дотичній лінії через\((x_0,x_0^2)\) якщо і тільки тоді
\[3=-x_0^2+4x_0, \nonumber\]
що еквівалентно
\[x_0^2-4x_0+3=(x_0-3)(x_0-1)=0. \nonumber\]
\(x_0=3\)Введення рівняння\ ref {eq:4.5.10} показує, що\((2,3)\) знаходиться на рядку
\[y=-9+6x, \nonumber \]
яка є дотичною до параболи\((x_0,x_0^2)=(3,9)\), як показано на малюнку Template:index
\(x_0=1\)Введення рівняння\ ref {eq:4.5.10} показує, що\((2,3)\) знаходиться на рядку
\[y=-1+2x, \nonumber\]
яка є дотичною до параболи\((x_0,x_0^2)=(1,1)\), як показано на малюнку Template:index.
Геометричні задачі
Розглянемо тепер деякі геометричні задачі, які можна вирішити за допомогою диференціальних рівнянь.
Знайдіть\(y=y(x)\) такі криві, щоб кожна точка\((x_0,y(x_0))\) кривої була середньою точкою відрізка лінії з кінцевими точками на координатних осях і дотичною до кривої на\((x_0,y(x_0))\) (Рисунок Template:index).
Рішення
Рівняння прямої дотичної до кривої при\(P=(x_0,y(x_0)\) дорівнює
\[y=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0). \nonumber\]
Якщо позначити\(x\) і\(y\) перехоплення дотичної лінії\(x_I\) і\(y_I\) (рис. Template:index), то
\[\label{eq:4.5.14} 0=y(x_0)+y'(x_0)(x_I-x_0)\]
і
\[\label{eq:4.5.15} y_I=y(x_0)-y'(x_0)x_0.\]
З Figure Template:index,\(P\) є середньою точкою відрізка лінії, що з'єднується\((x_I,0)\) і\((0,y_I)\) якщо і тільки тоді\(x_I=2x_0\) і\(y_I=2y(x_0)\). Підставляючи перше з цих умов у рівняння\ ref {eq:4.5.14} або друге в Рівняння\ ref {eq:4.5.15} дає
\[y(x_0)+y'(x_0)x_0=0. \nonumber\]
Так як\(x_0\) довільно скидаємо індекс і робимо висновок, що\(y=y(x)\) задовольняє
\[y+xy'=0, \nonumber\]
які можуть бути переписані як
\[(xy)'=0. \nonumber\]
Інтеграція врожайності\(xy=c\), або
\[y={c\over x}. \nonumber\]
Якщо\(c=0\) ця крива є лінією\(y=0\), яка не задовольняє геометричним вимогам, що пред'являються задачею; таким чином\(c\ne0\), і розв'язки визначають сімейство гіпербол (Figure Template:index).
Знайти криві\(y=y(x)\) такі, що дотична лінія до кривої в будь-якій точці\((x_0,y(x_0))\) перетинає\(x\) -вісь в\((x^2_0,0)\). Рисунок Template:index ілюструє ситуацію у випадку, коли крива знаходиться в першому квадранті і\(0<x<1\).
Рішення
Рівняння прямої дотичної до кривої при\((x_0,y(x_0))\) дорівнює
\[y=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0). \nonumber\]
Так як\((x^2_0,0)\) знаходиться на дотичній лінії,
\[0=y(x_0)+y'(x_0)(x^2_0-x_0). \nonumber\]
Так як\(x_0\) довільно скидаємо індекс і робимо висновок, що\(y=y(x)\) задовольняє
\[y+y'(x^2-x)=0. \nonumber\]
Тому
\[{y'\over y}=-{1\over x^2-x}=-{1\over x(x-1)}={1\over x}-{1\over x-1},\nonumber\]
тому
\[\ln|y|=\ln|x|-\ln|x-1|+k= \ln\left|{x\over x-1}\right|+k,\nonumber\]
і
\[y={cx\over x-1}. \nonumber\]
Якщо\(c=0\), графік цієї функції є\(x\) -віссю. Якщо\(c\ne0\), це гіпербола з вертикальною асимптотою\(x=1\) і горизонтальною асимптотою\(y=c\). На малюнку Template:index показано графіки для\(c\ne0\).
Ортогональні траєкторії
Дві\(C_2\) криві\(C_1\) і, як кажуть, ортогональні в точці перетину,\((x_0,y_0)\) якщо вони мають перпендикулярні дотичні в\((x_0,y_0)\). (Рисунок Template:index). Кажуть, що крива є ортогональною траєкторією заданого сімейства кривих, якщо вона ортогональна до кожної кривої в сім'ї. Наприклад, кожна лінія, що проходить через початок, є ортогональною траєкторією сімейства кіл, зосереджених на початку. І навпаки, будь-яке таке коло є ортогональною траєкторією сімейства ліній через початок (Рисунок Template:index).
Ортогональні траєкторії трапляються у багатьох фізичних додатках. Наприклад, якщо\(u=u(x,y)\) температура в точці\((x,y)\), криві визначаються
\[\label{eq:4.5.16} u(x,y)=c\]
називаються ізотермічними кривими. Ортогональні траєкторії цього сімейства називаються лініями теплового потоку, оскільки в будь-якій заданій точці напрямок максимального теплового потоку перпендикулярно ізотермічному через точку. Якщо\(u\) представляє потенційну енергію об'єкта, що рухається під дією сили, яка залежить від\((x,y)\), криві Equation\ ref {eq:4.5.16} називаються рівнопотенціалами, а ортогональні траєкторії називаються силовими лініями.
З аналітичної геометрії ми знаємо, що дві невертикальні лінії\(L_1\) і\(L_2\) з нахилами\(m_1\) і\(m_2\), відповідно, перпендикулярні тоді і тільки тоді\(m_2=-1/m_1\); отже, інтегральні криві диференціального рівняння
\[y'=-{1\over f(x,y)} \nonumber\]
ортогональні траєкторії інтегральних кривих диференціального рівняння
\[y'=f(x,y), \nonumber\]
тому що в будь-якій точці,\((x_0,y_0)\) де криві з двох сімей перетинаються нахили відповідних дотичних ліній
\[m_1=f(x_0,y_0)\quad\text{and} \quad m_2=-{1\over f(x_0,y_0)}. \nonumber\]
Це пропонує метод знаходження ортогональних траєкторій сімейства інтегральних кривих рівняння першого порядку.
- Крок 1. Знайти диференціальне рівняння\[y'=f(x,y) \nonumber \] для заданої родини.
- Крок 2. Розв'яжіть диференціальне рівняння,\[y'=-{1\over f(x,y)} \nonumber \] щоб знайти ортогональні траєкторії.
Знайти ортогональні траєкторії сімейства кіл
\[\label{eq:4.5.17} x^2+y^2=c^2 \quad (c>0).\]
Рішення
Щоб знайти диференціальне рівняння для сімейства кіл, неявно диференціюємо Equation\ ref {eq:4.5.17}\(x\) щодо отримання
\[2x+2yy'=0, \nonumber\]
або
\[y'=-{x\over y}. \nonumber\]
Тому інтегральні криві
\[y'={y\over x} \nonumber\]
є ортогональними траєкторіями даного сімейства. Ми залишаємо це вам, щоб переконатися, що загальне рішення цього рівняння
\[y=kx, \nonumber\]
де\(k\) - довільна константа. Це рівняння невертикальної прямої наскрізь\((0,0)\). \(y\)Вісь також є ортогональною траєкторією даного сімейства. Тому кожен рядок, що проходить через початок, є ортогональною траєкторією заданого сімейства Equation\ ref {eq:4.5.17} (Рисунок Template:index). Це узгоджується з теоремою геометрії площини, яка стверджує, що діаметр кола і дотична лінія до кола в кінці діаметра перпендикулярні.
Знайти ортогональні траєкторії сімейства гіпербол
\[\label{eq:4.5.18} xy=c \quad (c\ne0)\]
(Рисунок Template:index).
Рішення
Диференціююче рівняння\ ref {eq:4.5.18} неявно щодо\(x\) прибутковості
\[y+xy'=0, \nonumber\]
або
\[y'=-{y\over x}; \nonumber\]
Таким чином, інтегральні криві
\[y'={x\over y} \nonumber\]
є ортогональними траєкторіями даного сімейства. Поділ змінних дає
\[y'y=x \nonumber\]
та інтеграція врожайності
\[y^2-x^2=k, \nonumber\]
яке є рівнянням гіперболи if\(k \ne0\), або рядків\(y=x\) і\(y=-x\) if\(k=0\) (Рисунок Template:index).
Знайти ортогональні траєкторії сімейства кіл, визначених
\[\label{eq:4.5.19} (x-c)^2+y^2=c^2 \quad (c\ne0).\]
Ці кола розташовані по осі\(x\) -осі і дотично до\(y\) осі -( Рисунок Template:index a).
Рішення
Множення лівої частини рівняння\ ref {eq:4.5.19} дає
\[\label{eq:4.5.20} x^2-2cx+y^2=0,\]
і диференціювання цього неявно щодо\(x\) врожайності
\[\label{eq:4.5.21} 2(x-c)+2yy'=0.\]
З рівняння\ ref {eq:4.5.20},
\[c={x^2+y^2\over2x}, \nonumber \]
тому
\[x-c=x-{x^2+y^2\over2x}={x^2-y^2\over2x}. \nonumber\]
Підставляємо це в рівняння\ ref {eq:4.5.21} і розв'язуємо для\(y'\) прибутковості
\[\label{eq:4.5.22} y'={y^2-x^2\over2xy}.\]
Криві, визначені Equation\ ref {eq:4.5.19}, є інтегральними кривими рівняння\ ref {eq:4.5.22}, а інтегральні криві
\[y'={2xy\over x^2-y^2} \nonumber\]
ортогональні траєкторії сімейства Equation\ ref {eq:4.5.19}. Це однорідне нелінійне рівняння, яке ми вивчали в розділі 2.4. заміщення\(y=ux\) врожайності
\[u'x+u={2x(ux)\over x^2-(ux)^2}={2u\over1-u^2}, \nonumber\]
тому
\[u'x={2u\over1-u^2}-u={u(u^2+1)\over1-u^2}, \nonumber\]
Поділ змінних дає
\[{1-u^2\over u(u^2+1)}u'={1\over x}, \nonumber\]
або, рівнозначно,
\[\left[{1\over u}-{2u\over u^2+1}\right]u'={1\over x}. \nonumber\]
Тому
\[\ln |u|-\ln (u^2+1)=\ln |x|+k. \nonumber\]
Підставляючи\(u=y/x\), ми бачимо, що
\[\ln|y|-\ln|x|-\ln(x^2+y^2)+\ln(x^2)=\ln|x|+k, \nonumber\]
який, оскільки\(\ln(x^2)=2\ln|x|\), еквівалентний
\[\ln|y|-\ln(x^2+y^2)=k, \nonumber\]
або
\[|y|=e^k(x^2+y^2). \nonumber\]
Щоб побачити, що це за криві, ми перепишемо це рівняння як
\[x^2+|y|^2-e^{-k}|y|=0 \nonumber\]
і завершити квадрат, щоб отримати
\[x^2+(|y|-e^{-k}/2)^2=(e^{-k}/2)^2. \nonumber\]
Це можна переписати як
\[x^2+(y-h)^2=h^2, \nonumber\]
де
\[h=\left\{\begin{array}{rl} {e^{-k}\over2}&\text{ if } y\ge 0,\\[4pt]-{e^{-k}\over2}&\mbox{ if } y\le0. \end{array}\right. \nonumber\]
Таким чином, ортогональні траєкторії - це кола, центровані по\(y\) осі і дотичні до\(x\) осі (рис. {{Template.index (ID:13)} (b)). Кола для яких\(h>0\) знаходяться вище\(x\) -осі, в той час як ті, для яких\(h<0\) знаходяться нижче.
