Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.3E: Елементарна механіка (вправи)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62258

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    За винятком випадків, коли спрямовано інакше, припустимо, що величина сили тяжіння на об'єкт з масою\(m\) постійна і дорівнює\(mg\). У вправах, що передбачають вертикальний рух, приймайте напрямок вгору, щоб бути позитивним.

    Q4.3.1

    1. Пожежник, який важить\(192\) lb ковзає вниз нескінченно довгий вогневий полюс, який чинить резистивну силу тертя з величиною, пропорційною його швидкості, з\(k=2.5\) фунт/фут. Припускаючи, що він починає з відпочинку, знайдіть його швидкість як функцію часу і знайдіть його кінцеву швидкість.

    2. Пожежник, який важить\(192\) lb ковзає вниз нескінченно довгий вогневий полюс, який чинить силу тертя з величиною, пропорційною її швидкості, з постійною пропорційності\(k\). Знайдіть\(k\), враховуючи, що її кінцева швидкість дорівнює\(-16\) ft/s, а потім знайдіть її швидкість\(v\) як функцію\(t\). Припустимо, що вона починає з відпочинку.

    3. Човен важить\(64,000\) lb. його гвинт виробляє постійну тягу\(50,000\) lb і вода чинить резистивну силу з величиною, пропорційною швидкості, з\(k=2000\) фунт/фут. Припускаючи, що човен починається з відпочинку, знайдіть його швидкість як функцію часу, і знайдіть її кінцеву швидкість.

    4. Постійна горизонтальна сила\(10\) N штовхає\(20\) кг-масу через середовище, яке чинить опір її руху з\(.5\) N для кожного м/с швидкості. Початкова швидкість маси -\(7\) м/с в напрямку, протилежному напрямку прикладеної сили. Знайти швидкість маси для\(t > 0\).

    5. Камінь вагою\(1/2\) lb кидається вгору з початкової висоти\(5\) футів з початковою швидкістю\(32\) ft/s. опір повітря пропорційний швидкості, з\(k=1/128\) lb-s/ft. Знайдіть максимальну висоту, досягнуту каменем.

    6. Автомобіль\(3200\) -lb рухається на\(64\) ft/s вниз\(30\) -градусний клас, коли він закінчується з палива. Знайдіть його швидкість після цього, якщо тертя чинить резистивну силу з величиною, пропорційною квадрату швидкості, с\(k=1\ \mbox{lb-s}^2/{\mbox ft}^2\). Також знайдіть його кінцеву швидкість.

    7. Вага\(96\) фунтів скидається з відпочинку в середовищі, яке надає резистивну силу з величиною, пропорційною швидкості. Знайти його швидкість як функцію часу, якщо його кінцева швидкість\(-128\) ft/s.

    8. Об'єкт з масою\(m\) рухається вертикально через середовище, яке надає резистивну силу з величиною, пропорційною швидкості. \(y=y(t)\)Дозволяти висоті об'єкта в той час\(t\), с\(y(0)=y_0\). Скористайтеся результатами Прикладу 4.3.1, щоб показати, що

    \[y(t)=y_0+{m\over k}(v_0-v-gt).\nonumber \]

    9. Об'єкт з масою\(m\) запускається вертикально вгору з початковою швидкістю\(v_0\) від поверхні Землі (\(y_0=0\)) в середовищі, що надає резистивну силу з величиною, пропорційною швидкості. Знайдіть час,\(T\) коли об'єкт досягне своєї максимальної висоти\(y_m\). Потім використовуйте результат вправи 4.3.8, щоб знайти\(y_m\).

    10. Об'єкт вагою\(256\) lb скидається з відпочинку в середовищі, яке надає резистивну силу з величиною, пропорційною квадрату швидкості. Величина сили опору становить\(1\) фунт, коли\(|v|=4\ \mbox{ft/s}\). Знайдіть\(v\) для\(t > 0\), і знайдіть його кінцеву швидкість.

    11. Об'єкту з масою\(m\) дається початкова швидкість\(v_0\le0\) в середовищі, яка надає резистивну силу з величиною, пропорційною квадрату швидкості. Знайдіть швидкість об'єкта для\(t > 0\), і знайдіть його кінцеву швидкість.

    12. Об'єкт з масою\(m\) запускається вертикально вгору з початковою швидкістю\(v_0\) в середовищі, що надає резистивну силу з величиною, пропорційною квадрату швидкості.

    1. Знайдіть час,\(T\) коли об'єкт досягне своєї максимальної висоти.
    2. Використовуйте результат вправи 4.3.11, щоб знайти швидкість об'єкта для\(t > T\).

    13. Об'єкту з масою\(m\) дається початкова швидкість\(v_0\le0\) в середовищі, що надає резистивну силу форми\(a|v|/(1+|v|)\), де\(a\) позитивна константа.

    1. Налаштуйте диференціальне рівняння для швидкості об'єкта.
    2. Використовуйте свій улюблений числовий метод, щоб вирішити рівняння, яке ви знайшли в (а), щоб переконати себе, що існує унікальне число,\(a_0\) таке, що\(\lim_{t\to\infty}s(t)=\infty\) якщо\(a\le a_0\) і\(\lim_{t\to\infty}s(t)\) існує (кінцевий) if\(a>a_0\). (Ми говоримо, що\(a_0\) це значення біфуркації\(a\).) Спробуйте знайти\(a_0\) і\(\lim_{t\to\infty}s(t)\) в тому випадку, де\(a>a_0\).

    14. Об'єкт маси\(m\) потрапляє в середовище, що надає\(f=f(s)\) резистивну силу, де\(s=|v|\) швидкість об'єкта. Припустимо,\(f\) що\(f(0)=0\) і суворо збільшується і диференціюється на\((0,\infty)\).

    1. Напишіть диференціальне рівняння для швидкості\(s=s(t)\) об'єкта. Візьміть за умови, що всі розв'язки цього рівняння з\(s(0)\ge0\) визначені для всіх\(t>0\) (що має сенс на фізичних підставах).
    2. Покажіть, що якщо\(\lim_{s\to\infty}f(s)\le mg\) тоді\(\lim_{t\to\infty}s(t)=\infty\).
    3. Покажіть, що якщо\(\lim_{s\to\infty}f(s)>mg\) тоді\(\lim_{t\to\infty}s(t)=s_T\) (швидкість терміналу), де\(f(s_T)=mg\)..

    15. A\(100\) -g маса з початковою швидкістю\(v_0\le0\) падає в середовищі, яка надає резистивну силу, пропорційну четвертій потужності швидкості. Опір\(.1\) N, якщо швидкість дорівнює\(3\) м/с.

    1. Налаштуйте початкову задачу для\(v\) швидкості маси для\(t>0\).
    2. Використовуйте Вправу 4.3.14 (c) для визначення кінцевої швидкості об'єкта.
    3. Щоб підтвердити свою відповідь на (b), скористайтеся одним з числових методів, вивчених у розділі 3, щоб обчислити приблизні розв'язки\([0,1]\) (секунд) початкової задачі значення (a), з початковими значеннями\(v_0=0\)\(-2\),\(-4\),,...,\(-12\). Представляйте свої результати в графічному вигляді, подібному до малюнка 4.3.3.

    16. Об'єкт\(64\) -lb з початковою швидкістю\(v_0\le0\) падає через щільну рідину, яка надає резистивну силу, пропорційну квадратному кореню швидкості. Опір становить\(64\) lb, якщо швидкість\(16\) ft/s.

    1. Налаштуйте початкову задачу для\(v\) швидкості маси для\(t>0\).
    2. Використовуйте Вправу 4.3.14 (c) для визначення кінцевої швидкості об'єкта.
    3. Щоб підтвердити свою відповідь на (b), скористайтеся одним з числових методів, вивчених у розділі 3, щоб обчислити приблизні розв'язки\([0,4]\) (секунд) початкової задачі значення (a), з початковими значеннями\(v_0=0\)\(-5\),\(-10\),,...,\(-30\). Представляйте свої результати в графічному вигляді, подібному до малюнка 4.3.3.

    Q4.3.2

    У вправах 4.3.17-4.3.20 припустимо, що сила, обумовлена гравітацією, дається законом гравітації Ньютона. Візьміть напрямок вгору, щоб бути позитивним.

    17. Космічний зонд повинен бути запущений з космічної станції\(200\) миль над Землею. Визначте його швидкість втечі в милях/с, приймайте радіус Землі, щоб бути\(3960\) милями.

    18. Космічний апарат повинен бути запущений з Місяця, який має радіус близько\(1080\) миль. Прискорення за рахунок гравітації на поверхні Місяця становить близько\(5.31\) ft/s\(^2\). Знайти швидкість втечі в милях/с.

    19.

    1. Показати, що (Рівняння 4.3.27) можна переписати як\[v^2={h-y\over y+R} v^2_e+v_0^2.\nonumber \]
    2. Показати, що якщо\(v_0=\rho v_e\) з\(0\le \rho < 1\), то максимальна висота,\(y_m\) досягнута космічним апаратом\[y_m={h+R\rho^2\over 1-\rho^2}.\nonumber \]
    3. Вимагаючи цього\(v(y_m)=0\), використовуйте (Рівняння 4.3.26), щоб вивести, що якщо\(v_0 < v_e\) тоді\[|v|=v_e\left[{(1-\rho^2)(y_m-y)\over y+R}\right]^{1/2},\nonumber \] де\(y_m\) і\(\rho\) знаходяться, як визначено в (b) a nd\(y \ge h\).
    4. Вивести з (c), що якщо\(v < v_e\), транспортний засіб займає рівні рази, щоб піднятися від\(y=h\) до\(y=y_m\) і впасти назад від\(y=y_m\) до\(y=h\).

    20. У ситуації, що розглядається при обговоренні швидкості втечі, показують, що\(\lim_{t\to\infty}y(t)=\infty\) якщо\(v(t)>0\) для всіх\(t>0\).