4.1E: Зростання і занепад (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62231

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Q4.1.1

1. Період напіввиведення радіоактивної речовини становить 3200 років. Знайти$Q(t)$ кількість речовини, що залишилося на час,$t > 0$ якщо$Q(0)=20$ г.

2. Період напіввиведення радіоактивної речовини становить 2 доби. Знайдіть час, необхідний для того, щоб задана кількість матеріалу розпалася до 1/10 від його початкової маси.

3. Радіоактивний матеріал втрачає 25% своєї маси за 10 хвилин. Який його період напіврозпаду?

4. Дерево містить відомий відсоток$p_0$ радіоактивної речовини з періодом напіврозпаду$\tau$. Коли дерево вмирає, речовина розпадається і не замінюється. Якщо виявлено відсоток речовини в скам'янілих залишках такого дерева$p_1$, як довго дерево було мертвим?

5. Якщо$t_p$ і$t_q$ є час, необхідний для розпаду радіоактивного матеріалу до$1/p$ і$1/q$ разів його початкової маси (відповідно), як$t_p$ і$t_q$ пов'язані?

6. Знайдіть постійну розпаду$k$ для радіоактивної речовини, враховуючи, що маса речовини знаходиться$Q_1$ в часі$t_1$ і$Q_2$ в часі$t_2$.

7. Процес створює радіоактивну речовину зі швидкістю 2 г/год, і речовина розпадається зі швидкістю, пропорційною її масі, з постійною пропорційністю$k=.1 (\mbox{hr})^{-1}$. Якщо$Q(t)$ маса речовини за часом$t$, знайдіть$\lim_{t\to\infty}Q(t)$.

8. Банк сплачує відсотки безперервно за ставкою 6%. Скільки часу потрібно,$Q_0$ щоб депозит зростав у вартості$2Q_0$?

9. При якій процентній ставці, що складаються безперервно, банківський депозит подвоїться в ціні через 8 років?

10. Ощадний рахунок сплачує 5% річних відсотків, що складаються безперервно. Початковий депозит -$Q_0$ долари. Припустимо, що подальших зняття коштів або депозитів немає.

Скільки часу знадобиться для того, щоб вартість рахунку збільшилася втричі?
Що робити,$Q_0$ якщо вартість рахунку після 10 років становить 100 000 доларів?

11. Цукерка робить 500 фунтів цукерок на тиждень, тоді як його велика сім'я їсть цукерки зі швидкістю, рівною$Q(t)/10$ фунтам на тиждень, де$Q(t)$ кількість цукерок, присутніх на час$t$.

Знайдіть$Q(t)$,$t > 0$ якщо цукерка має 250 фунтів цукерок на$t=0$.
Знайти$\lim_{t\to\infty} Q(t)$.

12. Припустимо, речовина розпадається з річною швидкістю, рівною половині квадрата маси присутньої речовини. Якщо ми почнемо з 50 г речовини, як довго це буде, поки залишиться лише 25 г?

13. Супер хлібне тісто збільшується в об'ємі зі швидкістю, пропорційною$V$ присутньому об'єму. Якщо$V$ збільшується в 10 разів за 2 години і$V(0)=V_0$, знайдіть$V$ в будь-який момент$t$. Скільки часу знадобиться,$V$ щоб збільшити до$100 V_0$?

14. Радіоактивна речовина розпадається зі швидкістю, пропорційною присутній кількості, а половина початкової кількості$Q_0$ залишається через 1500 років. Через скільки років буде зменшена початкова сума$3Q_0/4$? Скільки залишиться після 2000 років?

15. Майстер створює золото безперервно зі швидкістю 1 унція на годину, але помічник краде його безперервно зі швидкістю 5% від того, скільки там на годину. $W(t)$Дозволяти кількість унцій, що майстер має в той час$t$. Знайти$W(t)$ і$\lim_{t\to\infty}W(t)$ якщо$W(0)=1$.

16. Процес створює радіоактивну речовину зі швидкістю 1 г/год, і речовина розпадається з годинною швидкістю, рівною 1/10 присутньої маси (виражається в грамах). Припускаючи, що їх спочатку 20 г, знайдіть$S(t)$ масу речовини, присутнього в часі$t$, і знайдіть$\lim_{t\to\infty} S(t)$.

17. Резервуар порожній на$t=0$. Вода додається в резервуар зі швидкістю 10 гал/хв, але вона витікає зі швидкістю (в галонів в хвилину), рівною кількості галонів в резервуарі. Яку найменшу ємність може мати бак, якщо цей процес буде тривати вічно?

18. Людина вкладає $25 000 в банк, який виплачує 5% на рік відсотки, що складаються безперервно. Людина безперервно знімає з рахунку в розмірі 750 доларів на рік. Знайдіть$V(t)$, вартість рахунку на час$t$ після початкового депозиту.

19. У людини є стан, який росте зі швидкістю, пропорційною квадратному кореню його вартості. Знайдіть вартість$W$ статку в залежності від того,$t$ якби це було 1 мільйон доларів 6 місяців тому і сьогодні становить 4 мільйони доларів.

20. $p=p(t)$Дозволяти бути кількість продукту, присутній в той час$t$. Продукт виготовляється безперервно зі швидкістю, пропорційною$p$, з постійною пропорційністю 1/2, і він споживається безперервно зі швидкістю, пропорційною$p^2$, з постійною пропорційністю 1/8. Знайти,$p(t)$ якщо$p(0)=100$.

21.

а. в ситуації Прикладу 4.1.6 знайти точне значення P (t) рахунку особи через t років, де t - ціле число. Припустимо, що кожен рік має рівно 52 тижні, і включіть депозит на кінець року в обчислення.

ПІДКАЗКА: На час t початковий $1000 був на депозиті протягом$t$ багатьох років. Там були$52t$ депозити в $$50$ кожен. Перший $$50$ був на депозиті$t − 1/52$ роками, другий$t − 2/52$ роками... загалом j th $$50$ був на депозиті протягом$t − j/52$ багатьох років ($1 ≤ j ≤ 52t$). Знайдіть поточну вартість кожного $$50$ депозиту, припускаючи$6$% відсотків, що складаються безперервно, і використовуйте формулу,\[1+x+x^{2}+ . . . + x^{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}(x\neq 1)\] щоб знайти їх загальну вартість.

б. нехай

\[p(t)={Q(t)-P(t)\over P(t)}\]

бути відносною помилкою через$t$ роки. Знайти

\[p(\infty)=\lim_{t\to\infty}p(t).\]

22. Покупець житла позичає$P_0$ долари під річну процентну ставку$r$, погоджуючись погасити кредит річними щомісячними платежами в$M$ доларах на місяць протягом$N$ багатьох років.

а Вивести диференціальне рівняння для основної суми кредиту (сума, яку повинен покупець житла)$P(t)$ в той час$t>0$, роблячи спрощення припущення, що покупець житла погашає позику безперервно, а не дискретними кроками. (Див. Приклад 4.1.6.)

б Розв'яжіть рівняння, отримане в (а).

c Використовуйте результат (b) для визначення приблизного значення для$M$ припущення, що кожен рік має рівно 12 місяців однакової довжини.

d Можна показати, що точне значення$M$ задається

\[M={rP_0\over 12}\left(1-(1+r/12)^{-12N}\right)^{-1}.\]

Порівняйте значення$M$ отриманого з відповіді в (c) з точним значенням if (i)$P_0=\$50,000$, $r=7{1\over2}$%, $N=20$ (ii) $P_0=\$150,000$, $r=9.0$%, $N=30$.

23. Припустимо, що покупець житла Вправа 4.1.22$\alpha$ обирає постійно погашати кредит за ставкою$\alpha M$ доларів на місяць, де постійна більше 1. (Це називається прискореною оплатою.)

Визначте час,$T(\alpha)$ коли буде погашений кредит і суму$S(\alpha)$, яку заощадить покупець житла.
Припустимо$P_0=\$50,000$,$r=8$%, і$N=15$. Обчислити заощадження, реалізовані за допомогою прискореної виплати з$\alpha=1.05,1.10$, і$1.15$.

24. Благодійник бажає створити цільовий фонд для виплати зарплати досліднику$T$ роками. Зарплата повинна починатися з$S_0$ доларів на рік і збільшуватися з дробовою ставкою$a$ в рік. Знайдіть суму грошей$P_0$, яку благодійник повинен внести до цільового фонду, сплачуючи відсотки$r$ за ставкою на рік. Припустимо, що зарплата дослідника виплачується постійно, відсотки посилюються безперервно, а підвищення зарплати надається безперервно.

25. Радіоактивна речовина з$k$ постійною розпаду виробляється зі швидкістю

\[{at\over1+btQ(t)}\]

одиниць маси в одиницю часу, де$a$ і$b$ є позитивними константами і$Q(t)$ є масою речовини, присутньої в часі$t$; таким чином, швидкість виробництва невелика на початку і має тенденцію до сповільнення, коли$Q$ велика.

Налаштуйте диференціальне рівняння для$Q$.
Виберіть свої позитивні значення для$a$,$b$,$k$, і$Q_0=Q(0)$. Використовуйте числовий метод, щоб виявити, що відбувається з$Q(t)$ нами$t\to\infty$. (Будьте точні, висловлюючи свої висновки з точки зору$a$,$b$,$k$. Однак ніяких доказів не потрібно.)

26. Дотримуйтесь вказівок вправи 4.1.25, припускаючи, що речовина виробляється з розрахунку$at/(1+bt(Q(t))^2)$ одиниць маси в одиницю часу.

27. Дотримуйтесь вказівок вправи 4.1.25, припускаючи, що речовина виробляється з розрахунку$at/(1+bt)$ одиниць маси в одиницю часу.