4.1: Зростання і занепад
- Page ID
- 62223
Цей розділ починається з обговорення експоненціального зростання та розпаду, які ви, напевно, вже бачили в обчисленні. Ми розглядаємо додатки до радіоактивного розпаду, датування вуглецю та складного інтересу. Розглядаються також більш складні проблеми, коли швидкість зміни величини частково пропорційна величині величини, але також під впливом інших факторів, наприклад, радіоактивна речовина виробляється з певною швидкістю, але розпадається зі швидкістю, пропорційною його масі, або Saver робить регулярні депозити на ощадному рахунку, який залучає складні відсотки.
Так як додатки в цьому розділі стосуються функцій часу, ми позначимо незалежну змінну по\(t\). Якщо\(Q\) є функцією\(t\),\(Q'\) буде позначати похідну по\(Q\) відношенню до\(t\); таким чином,
\[Q'={dQ\over dt}.\nonumber \]
Експоненціальне зростання і занепад
Однією з найпоширеніших математичних моделей фізичного процесу є експоненціальна модель, де передбачається, що швидкість зміни величини\(Q\) пропорційна\(Q\); таким чином
\[\label{eq:4.1.1} Q'=aQ,\]
де\(a\) - константа пропорційності.
З прикладу 2.1.3 загальним розв'язком рівняння\ ref {eq:4.1.1} є
\[Q=ce^{at}\nonumber \]
і розв'язання початкової задачі
\[Q'=aQ, \quad Q(t_0)=Q_0\nonumber \]
є
\[\label{eq:4.1.2} Q=Q_0e^{a(t-t_0)}.\]
Оскільки розв'язки\(Q'=aQ\) є експоненціальними функціями, ми говоримо,\(Q\) що величина, яка задовольняє цьому рівнянню, зростає експоненціально\(a > 0\), якщо, або розпадається експоненціально if\(a < 0\) (Рисунок Template:index).
Радіоактивний розпад
Експериментальні дані показують, що радіоактивний матеріал розпадається зі швидкістю, пропорційною масі присутнього матеріалу. Згідно\(Q(t)\) з цією моделлю маса радіоактивного матеріалу, присутнього в часі,\(t\) задовольняє рівнянню\ ref {eq:4.1.1}, де\(a\) є від'ємною константою, значення якої для будь-якого даного матеріалу має бути визначено експериментальним спостереженням. Для простоти ми замінимо негативну константу\(a\) на\(-k\), де\(k\) позитивне число, яке ми будемо називати константою розпаду матеріалу. Таким чином, рівняння\ ref {eq:4.1.1} стає
\[Q'=-kQ.\nonumber \]
Якщо маса матеріалу, присутнього в\(t=t_0\) є\(Q_0\), маса, присутня в часі,\(t\) є розчином
\[Q'=-kQ,\quad Q(t_0)=Q_0.\nonumber \]
З Equation\ ref {eq:4.1.2} з\(a=-k\), розв'язок цієї початкової задачі є
\[\label{eq:4.1.3} Q=Q_0e^{-k(t-t_0)}.\]
Період \(\tau\)напіврозпаду радіоактивного матеріалу визначається як час, необхідний для розпаду половини його маси; тобто якщо\(Q(t_0)=Q_0\), то
\[\label{eq:4.1.4} Q(\tau+t_0)={Q_0\over 2}.\]
З рівняння\ ref {eq:4.1.3} з\(t=\tau+t_0\), Рівняння\ ref {eq:4.1.4} еквівалентно\[Q_0e^{-k\tau}={Q_0\over 2},\nonumber \]
тому
\[e^{-k\tau}={1\over 2}.\nonumber \]
Прийняття логарифмів дає
\[-k\tau=\ln{1\over 2}=-\ln2,\nonumber \]
так що період напіврозпаду
\[\label{eq:4.1.5} \tau={1\over k}\ln2.\]
(Рисунок Template:index). Період напіврозпаду не залежить від\(t_0\) і\(Q_0\), оскільки визначається властивостями матеріалу, а не кількістю матеріалу, присутнього в будь-який конкретний час.
Радіоактивна речовина має період напіввиведення 1620 років.
- Якщо його маса зараз становить 4 г (грами), скільки залишиться через 810 років?
- Знайдіть час,\(t_1\) коли залишиться 1,5 г речовини.
Рішення a
З рівняння\ ref {eq:4.1.3} з\(t_0=0\) і\(Q_0=4\),
\[\label{eq:4.1.6} Q=4e^{-kt},\]
де ми визначаємо\(k\) з Рівняння\ ref {eq:4.1.5}, з\(\tau\) = 1620 років:
\[k={\ln2\over\tau}={\ln2\over 1620}. \nonumber\]
Підставляючи це в рівняння\ ref {eq:4.1.6} дає
\[\label{eq:4.1.7} Q=4e^{-(t\ln2)/1620}.\]
Тому маса, що залишилася після 8-10 років, буде
\[\begin{array}{rl} Q(810) &=4e^{-(810\ln2)/1620}=4e^{-(\ln2)/2} \\ &=2\sqrt{2} \mbox{ g}. \end{array}\nonumber \]
Рішення б
Встановлення\(t=t_1\) в рівнянні\ ref {eq:4.1.7} і вимагає, щоб\(Q(t_1)=1.5\) дає
\[{3\over2}=4e^{(-t_1\ln2)/1620}. \nonumber\]
Ділення на 4 і взяття логарифмів дає
\[\ln{3\over8}=-{t_1\ln2\over1620}. \nonumber\]
З тих пір\(\ln3/8=-\ln8/3\),
\[t_1=1620{\ln8/3\over\ln2}\approx 2292.4\;\mbox{ years}. \nonumber\]
Інтерес, що посилюється безперервно
Припустимо, ми вносимо суму грошей\(Q_0\) на відсотковий рахунок і не здійснюємо подальших депозитів або зняття коштів протягом\(t\) багатьох років, протягом яких рахунок несе відсотки за постійною річною ставкою\(r\). Щоб обчислити вартість рахунку в кінці\(t\) років, нам потрібна ще одна інформація: як відсотки додаються до рахунку, або - як кажуть банкіри - як він посилюється. Якщо відсотки збільшуються щорічно, то вартість рахунку множиться\(1+r\) на в кінці кожного року. Це означає, що через\(t\) роки вартість рахунку становить
\[Q(t)=Q_0(1+r)^t. \nonumber \]
Якщо відсотки складаються півроку, вартість рахунку множиться на\((1+r/2)\) кожні 6 місяців. Оскільки це відбувається двічі на рік, вартість рахунку через\(t\) роки становить
\[Q(t)=Q_0\left(1+{r\over 2}\right)^{2t}. \nonumber \]
Загалом, якщо відсотки складаються\(n\) раз на рік, вартість рахунку множиться\(n\) раз на рік на\((1+r/n)\); отже, вартість рахунку через\(t\) роки становить
\[\label{eq:4.1.8} Q(t)=Q_0\left(1+{r\over n}\right)^{nt}. \]
Таким чином, збільшення частоти складання збільшує вартість рахунку через фіксований проміжок часу. Таблиця Template:index показує ефект збільшення кількості складів протягом\(t=5\) багатьох років на початковий депозит\(Q_0=100\) (доларів), при річній процентній ставці 6%.
| \(n\)(кількість сполук на рік) | \($100\left(1+\frac{.06}{n} \right)^{5n}\)(вартість в доларах через 5 років) |
|---|---|
| \ (n\) (кількість сполук на рік) ">1 | \ ($100\ ліворуч (1+\ frac {.06} {n}\ праворуч) ^ {5n}\) (значення в доларах через 5 років) ">$133.82 |
| \ (n\) (кількість сполук на рік) ">2 | \ ($100\ ліворуч (1+\ frac {.06} {n}\ праворуч) ^ {5n}\) (значення в доларах через 5 років) ">$134.39 |
| \ (n\) (кількість сполук на рік) ">4 | \ ($100\ ліворуч (1+\ frac {.06} {n}\ праворуч) ^ {5n}\) (вартість в доларах через 5 років) ">$134.68 |
| \ (n\) (кількість сполук на рік) ">8 | \ ($100\ ліворуч (1+\ frac {.06} {n}\ праворуч) ^ {5n}\) (значення в доларах через 5 років) ">$134.83 |
| \ (n\) (кількість сполук на рік) ">364 | \ ($100\ ліворуч (1+\ frac {.06} {n}\ праворуч) ^ {5n}\) (вартість в доларах через 5 років) ">$134.98 |
З таблиці Template:index видно, що значення облікового запису через 5 років є зростаючою функцією\(n\). Тепер припустимо, що максимально допустима ставка відсотків на ощадних рахунках обмежена законом, але часових інтервалів між послідовними складаннями немає; тоді конкуруючі банки можуть залучати вкладників, часто ускладнюючи. Кінцевим кроком у цьому напрямку є безперервне з'єднання, під яким ми маємо на увазі це\(n\to\infty\) в Equation\ ref {eq:4.1.8}. Оскільки ми знаємо з обчислення, що
\[\lim_{n\to\infty} \left(1+{r\over n}\right)^n=e^r, \nonumber\]
це врожайність
\[\begin{array}{rl} Q(t) & =\lim_{n\to\infty} Q_0\left(1+{r\over n}\right)^{nt}=Q_0 \left[ \lim_{n\to\infty} \left(1+{r\over n}\right)^n\right]^t \\[12pt] &=Q_0e^{rt}. \end{array} \nonumber \]
Зауважте, що\(Q=Q_0e^{rt}\) це рішення початкової задачі значення
\[Q'=rQ, \quad Q(0)=Q_0; \nonumber\]
тобто при безперервному складанні значення рахунку зростає в геометричній прогресії.
Якщо $150 вноситься в банк, який сплачує\(5{1\over2}\)% річних відсотків, що складаються безперервно, вартість рахунку через\(t\) роки становить
\[Q(t)=150e^{.055t} \nonumber\]
доларів. (Зверніть увагу, що необхідно записати процентну ставку як десяткову; таким чином,\(r=.055\).) Тому через\(t=10\) роки вартість рахунку становить
\[Q(10)=150e^{.55} \approx \$259.99. \nonumber\]
Ми хочемо накопичити $10,000 за 10 років, зробивши єдиний депозит на ощадному рахунку з\(5{1\over2}\)% річних відсотків, що сумуються безперервно. Скільки ми повинні внести на рахунок?
Рішення
Значення рахунку на момент часу\(t\) дорівнює
\[\label{eq:4.1.9} Q(t)=Q_0e^{.055t}.\]
Оскільки ми\(Q(10)\) хочемо бути $10,000, початковий депозит\(Q_0\) повинен задовольняти рівнянню
\[\label{eq:4.1.10} 10000=Q_0e^{.55},\]
отримано шляхом встановлення\(t=10\) та\(Q(10)=10000\) в Equation\ ref {eq:4.1.9}. Розв'язування рівняння\ ref {eq:4.1.10} для\(Q_0\) прибутковості
\[Q_0=10000e^{-.55} \approx \$5769.50.\nonumber \]
Змішаний ріст і розпад
Радіоактивна речовина з константою розпаду\(k\) виробляється з постійною швидкістю\(a\) одиниць маси в одиницю часу.
- Припускаючи\(Q(0)=Q_0\), що, знайдіть\(Q(t)\) масу речовини, присутньої в часі\(t\).
- Знайти\(\lim_{t\to\infty} Q(t)\).
Рішення a:
Тут
\[Q'=\mbox{ rate of increase of } Q - \mbox{ rate of decrease of } Q.\nonumber \]
Швидкість збільшення - постійна\(a\). Так\(Q\) як радіоактивний з постійною розпаду\(k\), швидкість зниження є\(kQ\). Тому
\[Q'=a-kQ.\nonumber \]
Це лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Переписування його і накладення початкової умови показує, що\(Q\) є розв'язком задачі початкового значення.
\[\label{eq:4.1.11} Q'+kQ=a, \quad Q(0)=Q_0.\]
Оскільки\(e^{-kt}\) є розв'язком комплементарного рівняння, то розв'язки Equation\ ref {eq:4.1.11} мають вигляд\(Q=ue^{-kt}\), де\(u'e^{-kt}=a\), так\(u'=ae^{kt}\). Отже,
\[u={a\over k}e^{kt}+c\nonumber \]
і
\[Q=ue^{-kt}={a\over k}+ce^{-kt}. \nonumber \]
Так як\(Q(0)=Q_0\), установка\(t=0\) тут дає
\[Q_0={a\over k}+c \quad \text{or} \quad c=Q_0-{a\over k}. \nonumber \]
Тому
\[\label{eq:4.1.12} Q={a\over k}+\left(Q_0-{a\over k}\right)e^{-kt}.\]
b. з тих пір\(k > 0\)\(\lim_{t\to\infty} e^{-kt}=0\), так з рівняння\ ref {eq:4.1.12}
\[\lim_{t\to\infty} Q(t)={a\over k}. \nonumber \]
Цей ліміт залежить тільки від\(a\) і\(k\), а не від\(Q_0\). Ми говоримо, що\(a/k\) це значення стійкого стану\(Q\). З Equation\ ref {eq:4.1.12} ми також бачимо, що\(Q\) наближається до його значення стаціонарного стану зверху якщо\(Q_0 > a/k\), або знизу if\(Q_0 < a/k\). Якщо\(Q_0=a/k\), то\(Q\) залишається постійним (Рисунок Template:index).
Вуглець Знайомства
Той факт, що\(Q\) наближається до значення стійкого стану в ситуації, розглянутій у прикладі 4, лежить в основі методу датування вуглецю, розробленого американським хіміком і лауреатом Нобелівської премії В.С. Ліббі.
Вуглець 12 стабільний, але вуглець-14, який виробляється космічним бомбардуванням азоту у верхній атмосфері, радіоактивний з періодом напіврозпаду близько 5570 років. Ліббі припустив, що кількість вуглецю-12 в атмосфері була постійною протягом усього часу, і що кількість радіоактивного вуглецю-14 досягла свого стабільного значення давно в результаті його створення і розкладання протягом мільйонів років. Ці припущення привели Ліббі до висновку, що співвідношення вуглецю-14 до вуглецю-12 було майже постійним протягом тривалого часу. Ця константа, яку ми позначимо\(R\), була визначена експериментальним шляхом.
Живі клітини поглинають як вуглець-12, так і вуглець-14 в тій пропорції, в якій вони присутні в навколишньому середовищі. Тому співвідношення вуглецю-14 до вуглецю-12 в живій клітині завжди\(R\). Однак, коли клітина гине, вона перестає поглинати вуглець, а відношення вуглецю-14 до вуглецю-12 зменшується в геометричній прогресії в міру розпаду радіоактивного вуглецю-14. Це і є основою для методу вуглецевого датування, як проілюстровано в наступному прикладі.
Археолог, який досліджує місце стародавнього села, знаходить могильник, де кількість вуглецю-14, присутнього в окремих останках, становить від 42 до 44% від кількості, присутньої у живих особин. Оцініть вік села і тривалість часу, за яке воно вижило.
Рішення
Нехай\(Q=Q(t)\) буде кількість вуглецю-14 в індивідуальному наборі залишків\(t\) років після смерті, і нехай\(Q_0\) буде кількість, яка була б присутня у живих особин. Оскільки вуглець-14 розпадається експоненціально з періодом напіврозпаду 5570 років, його константа розпаду становить
\[k={\ln2\over 5570}. \nonumber\]
Тому
\[Q=Q_0e^{-t(\ln2)/5570}\nonumber\]
якщо ми виберемо нашу шкалу часу так, що\(t_0=0\) це час смерті. Якщо ми знаємо теперішнє значення\(t\),\(Q\) ми можемо вирішити це рівняння за кількість років з моменту смерті. Це дає
\[t=-5570 {\ln Q/Q_0\over\ln2}.\nonumber\]
Враховується, що\(Q=.42Q_0\) в останках особини, які померли першими. Тому ці смерті сталися приблизно
\[t_1=-5570 {\ln.42\over\ln2} \approx 6971 \nonumber\]
років тому. Для останніх смертей\(Q=.44 Q_0\); отже, ці смерті сталися приблизно
\[t_2=-5570 {\ln.44\over\ln2} \approx 6597 \nonumber\]
років тому. Тому доцільно зробити висновок, що село було засноване близько 7000 років тому, і проіснувало близько 400 років.
Ощадна програма
Людина відкриває ощадний рахунок з початковим депозитом в 1000 доларів і згодом вносить 50 доларів на тиждень. Знайдіть вартість\(Q(t)\) рахунку на час\(t > 0\), припускаючи, що банк сплачує 6% відсотків, що складаються безперервно.
Рішення
Зверніть увагу, що\(Q\) це не безперервно, оскільки існує 52 дискретних депозитів на рік по $50 кожен. Для побудови математичної моделі цієї задачі у вигляді диференціального рівняння зроблено спрощене припущення, що депозити здійснюються безперервно зі ставкою 2600 доларів на рік. Це важливо, оскільки розв'язки диференціальних рівнянь є неперервними функціями. З цим припущенням постійно\(Q\) збільшується зі швидкістю
\[Q'=2600+0.06 Q \nonumber\]
і тому\(Q\) задовольняє диференціальному рівнянню
\[\label{eq:4.1.13} Q'-.06Q=2600.\]
(Звичайно, ми повинні визнати, що рішення цього рівняння є наближенням до істинного значення\(Q\) в будь-який момент часу. Про це ми розповімо далі нижче.) Оскільки\(e^{.06t}\) є розв'язком комплементарного рівняння, то розв'язки Equation\ ref {eq:4.1.13} мають вигляд\(Q=ue^{.06t}\), де\(u'e^{.06t}=2600\). Отже\(u'=2600e^{-.06t}\),
\[u=- {2600\over.06}e^{-0.06t}+c \nonumber\]
і
\[\label{eq:4.1.14} Q=ue^{.06t}=-{2600\over.06}+ce^{.06t}.\]
Установка\(t=0\) і\(Q=1000\) тут дає
\[c=1000+{2600\over 0.06}, \nonumber\]
і підставляючи це в рівняння\ ref {eq:4.1.14} дає
\[\label{eq:4.1.15} Q=1000e^{.06t}+{2600\over.06}(e^{.06t}-1) \]
де перший термін - це вартість, обумовлена початковим депозитом, а другий - за рахунок наступних тижневих вкладів.
Математичні моделі повинні бути перевірені на достовірність шляхом порівняння прогнозів на їх основі з фактичним результатом експериментів. Приклад 6 незвичайний тим, що ми можемо обчислити точне значення рахунку в будь-який заданий час і порівняти його з приблизним значенням, передбаченим Equation\ ref {eq:4.1.15} (Див. Вправа 4.1.21). Наступна таблиця дає порівняння за десятирічний період. Кожна точна відповідь відповідає часу депозиту на кінець року, і кожен рік, як передбачається, має рівно 52 тижні.
| Рік | Приблизне значення\(Q\) (Приклад Template:index) | Точне значення\(P\) (Вправа 4.1.21) | Помилка\(Q-P\) | Відсоток помилки\((Q-P)/P\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \ (Q\) (Приклад Template:index) ">\($3741.42\) | \ (P\) (Вправа 4.1.21) ">\($3739.87\) | \ (Q-P\) ">\($1.55\) | \ ((Q-P) /П\) ">\(.0413%\) |
| \(2\) | \ (Q\) (Приклад Template:index) ">\(6652.36\) | \ (P\) (Вправа 4.1.21) ">\(6649.17\) | \ (Q-P\) ">\(3.19\) | \ ((Q-P) /П\) ">\(.0479\) |
| \(3\) | \ (Q\) (Приклад Template:index) ">\(9743.30\) | \ (P\) (Вправа 4.1.21) ">\(9738.37\) | \ (Q-P\) ">\(4.93\) | \ ((Q-P) /П\) ">\(.0506\) |
| \(4\) | \ (Q\) (Приклад Template:index) ">\(13,025.38\) | \ (P\) (Вправа 4.1.21) ">\(13,018.60\) | \ (Q-P\) ">\(6.78\) | \ ((Q-P) /П\) ">\(.0521\) |
| \(5\) | \ (Q\) (Приклад Template:index) ">\(16,510.41\) | \ (P\) (Вправа 4.1.21) ">\(16,501.66\) | \ (Q-P\) ">\(8.75\) | \ ((Q-P) /П\) ">\(.0530\) |
| \(6\) | \ (Q\) (Приклад Template:index) ">\(20,210.94\) | \ (P\) (Вправа 4.1.21) ">\(20,200.11\) | \ (Q-P\) ">\(10.83\) | \ ((Q-P) /П\) ">\(.0536\) |
| \(7\) | \ (Q\) (Приклад Template:index) ">\(24,140.30\) | \ (P\) (Вправа 4.1.21) ">\(24,127.25\) | \ (Q-P\) ">\(13.05\) | \ ((Q-P) /П\) ">\(.0541\) |
| \(8\) | \ (Q\) (Приклад Template:index) ">\(28,312.63\) | \ (P\) (Вправа 4.1.21) ">\(28,297.23\) | \ (Q-P\) ">\(15.40\) | \ ((Q-P) /П\) ">\(.0544\) |
| \(9\) | \ (Q\) (Приклад Template:index) ">\(32,742.97\) | \ (P\) (Вправа 4.1.21) ">\(32,725.07\) | \ (Q-P\) ">\(17.90\) | \ ((Q-P) /П\) ">\(.0547\) |
| \(10\) | \ (Q\) (Приклад Template:index) ">\(37,447.27\) | \ (P\) (Вправа 4.1.21) ">\(37,426.72\) | \ (Q-P\) ">\(20.55\) | \ ((Q-P) /П\) ">\(.0549\) |