3.3E: Метод Рунге-Кутта (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62142

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Більшість наступних числових вправ включають проблеми початкового значення, розглянуті у вправах у розділах 3.2. Вам буде повчальним порівняти результати, які ви отримуєте тут, з відповідними результатами, які ви отримали в цих розділах.

Q3.3.1

У вправах 3.3.1 - 3.3.5 за допомогою методу Рунге-Кутта знайти наближені значення розв'язку заданої задачі початкового значення в точках,\(x_i=x_0+ih,\) де\(x_0\) знаходиться точка, де накладається початкова умова і\(i=1\),\(2\).

1. \(y'=2x^2+3y^2-2,\quad y(2)=1;\quad h=0.05\)

2. \(y'=y+\sqrt{x^2+y^2},\quad y(0)=1;\quad h=0.1\)

3. \(y'+3y=x^2-3xy+y^2,\quad y(0)=2;\quad h=0.05\)

4. \(y'= {1+x\over1-y^2},\quad y(2)=3;\quad h=0.1\)

5. \(y'+x^2y=\sin xy,\quad y(1)=\pi;\quad h=0.2\)

Q3.3.2

6. Використовувати метод Рунге-Кутти з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі

\[y'+3y=7e^{4x},\quad y(0)=2,\]

в\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\). Порівняйте ці приблизні значення зі значеннями точного рішення\(y=e^{4x}+e^{-3x}\), які можна отримати методом розділу 2.1. Уявіть свої результати в таблиці, як Таблиця 3.3.1.

7. Використовувати метод Рунге-Кутти з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі

\[y'+{2\over x}y={3\over x^3}+1,\quad y(1)=1\]

в\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...,\(2.0\). Порівняйте ці приблизні значення зі значеннями точного рішення

\[y={1\over3x^2}(9\ln x+x^3+2),\]

які можна отримати методом Розділу 2.1. Уявіть свої результати в таблиці, як Таблиця 3.3.1.

8. Використовувати метод Рунге-Кутти з розмірами кроків\(h=0.05\)\(h=0.025\), і\(h=0.0125\) знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі

\[y'={y^2+xy-x^2\over x^2},\quad y(1)=2\]

в\(x=1.0\),\(1.05\),\(1.10\),\(1.15\)...,\(1.5\). Порівняйте ці приблизні значення зі значеннями точного рішення

\[y={x(1+x^2/3)\over1-x^2/3},\]

яка була отримана в прикладі

Приклад Template:index:

Додайте сюди текст. Щоб автоматичний номер працював, потрібно додати шаблон «AutoNum» (бажано на 2.2.3}. Уявіть свої результати в таблиці, як Таблиця 3.3.1.

9. У прикладі

Приклад Template:index:

Додайте сюди текст. Щоб автоматичний номер працював, потрібно додати шаблон «AutoNum» (бажано на 2.2.3} було показано, що

\[y^5+y=x^2+x-4\]

є неявним розв'язком початкової задачі

\[y'={2x+1\over5y^4+1},\quad y(2)=1. \tag{A}\]

Використовувати метод Рунге-Кутта з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку (A) at\(x=2.0\)\(2.1\),\(2.2\),\(2.3\),...,\(3.0\). Представляйте свої результати в табличній формі. Щоб перевірити похибку в цих приблизних значеннях, побудуйте іншу таблицю значень залишкового

\[R(x,y)=y^5+y-x^2-x+4\]

для кожного значення\((x,y)\) відображається в першій таблиці.

10. Ви можете побачити з Приклад

Приклад Template:index:

Додайте сюди текст. Щоб автоматичний номер працював, потрібно додати шаблон «AutoNum» (бажано на 2.5.1}, який

\[x^4y^3+x^2y^5+2xy=4\]

є неявним розв'язком початкової задачі

\[y'=-{4x^3y^3+2xy^5+2y\over3x^4y^2+5x^2y^4+2x},\quad y(1)=1. \tag{A}\]

Використовувати метод Рунге-Кутта з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку (A) at\(x=1.0\)\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...,\(2.0\). Представляйте свої результати в табличній формі. Щоб перевірити похибку в цих приблизних значеннях, побудуйте іншу таблицю значень залишкового

\[R(x,y)=x^4y^3+x^2y^5+2xy-4\]

для кожного значення\((x,y)\) відображається в першій таблиці.

11. Використовувати метод Рунге-Кутти з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі

\[(3y^2+4y)y'+2x+\cos x=0, \quad y(0)=1 \quad\text{(Exercise 2.2.13)}\]

в\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\).

12. Використовувати метод Рунге-Кутти з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі

\[y'+{(y+1)(y-1)(y-2)\over x+1}=0, \quad y(1)=0 \quad\text{(Exercise 2.2.14)}\]

в\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...,\(2.0\).

13. Використовувати метод Рунге-Кутта та напівлінійний метод Рунге-Кутти з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), а також\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі

\[y'+3y=e^{-3x}(1-4x+3x^2-4x^3),\quad y(0)=-3\]

в\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\). Порівняйте ці приблизні значення зі значеннями точного рішення\(y=-e^{-3x}(3-x+2x^2-x^3+x^4)\), які можна отримати методом розділу 2.1. Ви помічаєте щось особливе про результати? Поясніть.

Q3.3.3

Лінійні початкові задачі у вправах 3.3.14—3.3.19 не можуть бути розв'язані точно через відомі елементарні функції. У кожній вправі використовують напівлінійні методи Рунге-Кутта та Рунге-Кутта із зазначеними розмірами кроків, щоб знайти приблизні значення розв'язку заданої задачі початкового значення в 11 рівновіддалених точках (включаючи кінцеві точки) в інтервалі.

14. \(y'-2y= {1\over1+x^2},\quad y(2)=2\);\(h=0.1,0.05,0.025\) на\([2,3]\)

15. \(y'+2xy=x^2,\quad y(0)=3\);\(h=0.2,0.1,0.05\) на\([0,2]\) (Вправа 2.1.38)

16. \( {y'+{1\over x}y={\sin x\over x^2},\quad y(1)=2;}\)\(h=0.2,0.1,0.05\)на\([1,3]\) (Вправа 2.1.39)

17. \( {y'+y={e^{-x}\tan x\over x},\quad y(1)=0;}\)\(h=0.05,0.025,0.0125\)на\([1,1.5]\) (Вправа 2.1.40)

18. \( {y'+{2x\over 1+x^2}y={e^x\over (1+x^2)^2}, \quad y(0)=1};\)\(h=0.2,0.1,0.05\)на\([0,2]\) (Вправа 2.1.41)

19. \(xy'+(x+1)y=e^{x^2},\quad y(1)=2\);\(h=0.05,0.025,0.0125\) на\([1,1.5]\) (Вправа 2.1.42)

Q3.3.4

У вправах 3.3.20—3.3.22 використовують метод Рунге-Кутта та напівлінійний метод Рунге-Кутти із зазначеними розмірами кроків для знаходження наближених значень розв'язку заданої задачі початкового значення в 11 рівновіддалених точках (включаючи кінцеві точки) в інтервалі.

20. \(y'+3y=xy^2(y+1),\quad y(0)=1\);\(h=0.1,0.05,0.025\) на\([0,1]\)

21. \( {y'-4y={x\over y^2(y+1)},\quad y(0)=1}\);\(h=0.1,0.05,0.025\) на\([0,1]\)

22. \( {y'+2y={x^2\over1+y^2},\quad y(2)=1}\);\(h=0.1,0.05,0.025\) на\([2,3]\)

Q3.3.5

23. Припустимо\(a<x_0\), так що\(-x_0<-a\). Використовуйте правило ланцюга, щоб показати,\(z\) що якщо це рішення

\[z'=-f(-x,z),\quad z(-x_0)=y_0,\]

на\([-x_0,-a]\),\(y=z(-x)\) то це рішення

\[y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,\]

на\([a,x_0]\).

24. Використовувати метод Рунге-Кутта з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення рішення

\[y'={y^2+xy-x^2\over x^2},\quad y(2)=-1\]

в\(x=1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...\(2.0\). Порівняйте ці приблизні значення зі значеннями точного рішення

\[y={x(4-3x^2)\over4+3x^2},\]

які можна отримати, звернувшись до Приклад

Приклад Template:index:

Додайте сюди текст. Щоб автоматичний номер працював, потрібно додати шаблон «AutoNum» (бажано на 2.4.3}.

25. Використовувати метод Рунге-Кутта з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення рішення

\[y'=-x^2y-xy^2,\quad y(1)=1\]

в\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),...,\(1\).

26. Використовувати метод Рунге-Кутта з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення рішення

\[y'+{1\over x}y={7\over x^2}+3,\quad y(1)={3\over2}\]

в\(x=0.5\),\(0.6\),...,\(1.5\). Порівняйте ці приблизні значення зі значеннями точного рішення

\[y={7\ln x\over x}+{3x\over2},\]

які можна отримати методом, розглянутим у розділі 2.1.

27. Використовувати метод Рунге-Кутта з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення рішення

\[xy'+2y=8x^2,\quad y(2)=5\]

в\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),...,\(3.0\). Порівняйте ці приблизні значення зі значеннями точного рішення

\[y=2x^2-{12\over x^2},\]

які можна отримати методом, розглянутим у розділі 2.1.

28. Числова квадратура (див. Вправа 3.1.23).

a Вивести квадратурну формулу

\[\int_a^bf(x)\,dx\approx {h\over6}(f(a)+f(b))+ {h\over3}\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+{2h\over3}\sum_{i=1}^n f\left(a+(2i-1)h/2\right) \tag{A}\]

(де\(h=(b-a)/n)\) шляхом застосування методу Рунге-Кутта до початкової задачі

\[y'=f(x),\quad y(a)=0.\]

Ця квадратурна формула називається Правилом Сімпсона.

б Для декількох варіантів\(a\),,,\(b\),\(A\)\(B\)\(C\), і\(D\) застосовувати (A) до\(f(x)=A+Bx+Cx+Dx^3\), з,\(n = 10\),\(20\),\(40\),\(80\),\(160\),\(320\). Порівняйте свої результати з точними відповідями і поясніть, що ви знайдете.

c Для декількох варіантів\(a\),,\(b\),\(A\),\(B\)\(C\)\(D\), і\(E\) застосовувати (A) до\(f(x)=A+Bx+Cx^2+Dx^3+Ex^4\), с\(n=10,20,40,80,160,320\). Порівняйте свої результати з точними відповідями і поясніть, що ви знайдете.