3.1E: Метод Ейлера (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62160

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Q3.1.1

Можливо, ви захочете зберегти результати цих вправ, оскільки ми переглянемо в наступних двох розділах. У вправах 3.1.1-3.1.5 використовують метод Ейлера, щоб знайти наближені значення розв'язку заданої задачі початкового значення в точках\(x_i=x_0+ih\), де\(x_0\) знаходиться точка, де накладається початкова умова і\(i=1\),\(2\),\(3\). Мета цих вправ - ознайомити вас з обчислювальною процедурою методу Ейлера.

1. \(y'=2x^2+3y^2-2,\quad y(2)=1;\quad h=0.05\)

2. \(y'=y+\sqrt{x^2+y^2},\quad y(0)=1;\quad h=0.1\)

3. \(y'+3y=x^2-3xy+y^2,\quad y(0)=2;\quad h=0.05\)

4. \(y'= {1+x\over1-y^2},\quad y(2)=3;\quad h=0.1\)

5. \(y'+x^2y=\sin xy,\quad y(1)=\pi;\quad h=0.2\)

Q3.1.2

6. Використовувати метод Ейлера з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі\[y'+3y=7e^{4x},\quad y(0)=2\] на\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\). Порівняйте ці приблизні значення зі значеннями точного рішення\(y=e^{4x}+e^{-3x}\), які можна отримати методом розділу 2.1. Уявіть свої результати в таблиці, як Таблиця 3.1.1.

7. Використовувати метод Ейлера з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі\[y'+{2\over x}y={3\over x^3}+1,\quad y(1)=1\] на\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...,\(2.0\). Порівняйте ці приблизні значення зі значеннями точного рішення,\[y={1\over3x^2}(9\ln x+x^3+2),\] які можна отримати методом розділу 2.1. Уявіть свої результати в таблиці, як Таблиця 3.1.1.

8. Використовувати метод Ейлера з розмірами кроків\(h=0.05\)\(h=0.025\), і\(h=0.0125\) знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі\[y'={y^2+xy-x^2\over x^2},\quad y(1)=2\] на\(x=1.0\),\(1.05\),\(1.10\),\(1.15\),...,\(1.5\). Порівняйте ці наближені значення зі значеннями точного розв'язку,\[y={x(1+x^2/3)\over1-x^2/3}\] отриманого в прикладі [example:2.4.3}. Уявіть свої результати в таблиці, як Таблиця 3.1.1.

9. У прикладі [example:2.2.3} показано, що\[y^5+y=x^2+x-4\] є неявним розв'язком початкової задачі.\[y'={2x+1\over5y^4+1},\quad y(2)=1. \tag{A}\] Використовувати метод Ейлера з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку (A) at\(x=2.0\),\(2.1\),\(2.2\),\(2.3\),..., \(3.0\). Представляйте свої результати в табличній формі. Щоб перевірити похибку в цих приблизних значеннях, побудуйте іншу таблицю значень залишкового\[R(x,y)=y^5+y-x^2-x+4\] для кожного значення,\((x,y)\) що відображається в першій таблиці.

10. Ви можете бачити з Прикладу 2.5.1, що\[x^4y^3+x^2y^5+2xy=4\] є неявним розв'язком початкової задачі значення\[y'=-{4x^3y^3+2xy^5+2y\over3x^4y^2+5x^2y^4+2x},\quad y(1)=1. \tag{A}\] Використовуйте метод Ейлера з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку (A) at\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),..., \(2.0\). Представляйте свої результати в табличній формі. Щоб перевірити похибку в цих приблизних значеннях, побудуйте іншу таблицю значень залишкового\[R(x,y)=x^4y^3+x^2y^5+2xy-4\] для кожного значення,\((x,y)\) що відображається в першій таблиці.

11. Використовувати метод Ейлера з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі\[(3y^2+4y)y'+2x+\cos x=0, \quad y(0)=1; \quad\text{(Exercise 2.2.13)}\] на\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\).

12. Використовувати метод Ейлера з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), і\(h=0.025\) знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі\[y'+{(y+1)(y-1)(y-2)\over x+1}=0, \quad y(1)=0 \quad\text{(Exercise 2.2.14)}\] на\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...,\(2.0\).

13. Використовувати метод Ейлера та напівлінійний метод Ейлера з розмірами кроків\(h=0.1\)\(h=0.05\), а\(h=0.025\) також знайти приблизні значення розв'язку початкової задачі\[y'+3y=7e^{-3x},\quad y(0)=6\]

в\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\). Порівняйте ці приблизні значення зі значеннями точного рішення\(y=e^{-3x}(7x+6)\), які можна отримати методом розділу 2.1. Ви помічаєте щось особливе про результати? Поясніть.

Q3.1.3

Лінійні початкові задачі у вправах 3.1.14—3.1.19 не можуть бути розв'язані точно за відомими елементарними функціями. У кожній вправі використовують метод Ейлера та напівлінійні методи Ейлера із зазначеними розмірами кроків, щоб знайти приблизні значення розв'язку заданої задачі початкового значення в 11 рівновіддалених точках (включаючи кінцеві точки) в інтервалі.

14. \(y'-2y= {1\over1+x^2},\quad y(2)=2\);\(h=0.1,0.05,0.025\) на\([2,3]\)

15. \(y'+2xy=x^2,\quad y(0)=3 \quad\text{(Exercise 2.1.38)};\quad\)\(h=0.2,0.1,0.05\)на\([0,2]\)

16. \( {y'+{1\over x}y={\sin x\over x^2},\quad y(1)=2}; \quad\text{(Exercise 2.1.39)};\quad\)\(h=0.2,0.1,0.05\)на\([1,3]\)

17. \( {y'+y={e^{-x}\tan x\over x},\quad y(1)=0}; \quad\text{(Exercise 2.1.40)};\quad\)\(h=0.05,0.025,0.0125\)на\([1,1.5]\)

18. \( {y'+{2x\over 1+x^2}y={e^x\over (1+x^2)^2}, \quad y(0)=1};\quad\text{(Exercise 2.1.41)};\quad\)\(h=0.2,0.1,0.05\)на\([0,2]\)

19. \(xy'+(x+1)y=e^{x^2},\quad y(1)=2; \quad\text{(Exercise 2.1.42)};\quad\)\(h=0.05,0.025,0.0125\)на\([1,1.5]\)

Q3.1.4

У вправах 3.1.20-3.1.22 використовують метод Ейлера та напівлінійний метод Ейлера із зазначеними розмірами кроків, щоб знайти приблизні значення розв'язку заданої задачі початкового значення в 11 рівновіддалених точках (включаючи кінцеві точки) в інтервалі.

20. \(y'+3y=xy^2(y+1),\quad y(0)=1\);\(h=0.1,0.05,0.025\) на\([0,1]\)

21. \( {y'-4y={x\over y^2(y+1)},\quad y(0)=1}\);\(h=0.1,0.05,0.025\) на\([0,1]\)

22. \( {y'+2y={x^2\over1+y^2},\quad y(2)=1}\);\(h=0.1,0.05,0.025\) на\([2,3]\)

Q3.1.5

23. Числова квадратура. Фундаментальна теорема числення говорить, що якщо\(f\) неперервна на замкнутому інтервалі,\([a,b]\) то вона має антипохідну\(F\) таку, що\(F'(x)=f(x)\) на\([a,b]\) і\[\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a). \tag{A}\] Це вирішує задачу оцінки певного інтеграла, якщо ціле\(f\) має антидериватив, який можна легко знайти та оцінити. Однак, якщо\(f\) не має цієї властивості, (A) не забезпечує корисний спосіб оцінити певний інтеграл. В цьому випадку треба вдатися до приблизних методів. Існує клас таких методів називається числова квадратура, де наближення приймає форму,\[\int_a^bf(x)\,dx\approx \sum_{i=0}^n c_if(x_i), \tag{B}\] де\(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\) належним чином обрані точки і\(c_0\),,...\(c_1\),\(c_n\) є відповідним чином обрані константи. Ми називаємо (B) квадратурну формулу.

Вивести квадратурну формулу\[\int_a^bf(x)\,dx\approx h\sum_{i=0}^{n-1}f(a+ih) \tag{C}\] де\(h=(b-a)/n)\) шляхом застосування методу Ейлера до початкової задачі\[y'=f(x),\quad y(a)=0.\]
Формулу квадратури (C) іноді називають правилом лівого прямокутника. Намалюйте фігуру, яка виправдовує цю термінологію.
Для декількох варіантів\(a\), і\(b\)\(A\), застосовувати (C) до\(f(x)=A\) з\(n = 10,20,40,80,160,320\). Порівняйте свої результати з точними відповідями і поясніть, що ви знайдете.
Для декількох варіантів\(a\),,\(b\)\(A\), і\(B\), застосовувати (C) до\(f(x)=A+Bx\) з\(n=10\),\(20\),\(40\),\(80\),\(160\),\(320\). Порівняйте свої результати з точними відповідями і поясніть, що ви знайдете.