7.2: Послідовні розв'язки лінійних ОДУ другого порядку

Припустимо, у нас є лінійна однорідна ОДА другого порядку виду

\[ p(x)y'' + q(x)y' + r(x)y = 0 \label{eq1} \]

Припустимо\(p(x)\)\(q(x)\), що, і\(r(x)\) є поліномами. Спробуємо рішення форми

\[ y = \sum_{k=0}^\infty a_k\left(x-x_o\right)^2 \nonumber \]

і вирішити для того,\(a_k\) щоб спробувати отримати рішення, визначене в деякому інтервалі навколо\(x_o\).

Визначення: Звичайні та сингулярні точки

Точка\(x_o\) називається звичайною точкою, якщо\(p(x_o) \neq 0\) в лінійному другому порядку однорідна ОДА виду в Equation\ ref {eq1}. Тобто функції

\[ \dfrac{q(x)}{p(x)} \quad\text{and}\quad \dfrac{r(x)}{p(x)} \nonumber \]

визначені для\(x\) ближніх\(x_o\).

Якщо\( p(x_0)=0\), то ми говоримо,\(x_o\) є одниною точки.

Обробка сингулярних точок складніше, ніж звичайні точки, і тому ми зараз зосередимося лише на звичайних точках.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Expansion around an Ordinary Point

Почнемо з дуже простого прикладу

\[ y'' - y = 0 \nonumber \]

Спробуємо поруч із силовим рядом рішення\(x_o=0\), що є звичайною точкою.

Рішення

Кожна точка є звичайною точкою насправді, оскільки рівняння є постійним коефіцієнтом. Ми вже знаємо, що ми повинні отримати експоненціальні числа або гіперболічний синус і косинус, але давайте зробимо вигляд, що ми цього не знаємо.

пробуємо

\[ y = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \nonumber \]

Якщо диференціювати,\( k=0 \) термін є постійним і, отже, зникає. Тому ми отримуємо

\[ y' = \sum_{k=1}^\infty k\, a_k \, x^{k-1} \nonumber \]

Ми ще раз диференціюємо, щоб отримати (тепер\(k=1\) термін зникає)

\[ y'' = \sum_{k=2}^\infty k\, (k-1)\, a_k \, x^{k-2} \nonumber \]

Ми переіндексуємо ряд (\(k\)замінити на\( k+2 \)), щоб отримати

\[ y'' = \sum_{k=0}^\infty (k+2)\, (k+1)\, a_{k+2} \, x^k \nonumber \]

Тепер підключаємо\(y\) і\(y''\) в диференціальне рівняння.

\[\begin{align}\begin{aligned} 0 = y''-y &= \Biggl( \sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1) a_{k+2} x^k \Biggr) - \Biggl( \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \Biggr) \\ &= \sum_{k=0}^\infty \Bigl( (k+2) (k+1) a_{k+2} x^k - a_k x^k \Bigr) \\ &= \sum_{k=0}^\infty \bigl( (k+2)(k+1) a_{k+2} - a_k \bigr) x^k .\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Оскільки\( y''-y\) передбачається дорівнювати 0, ми знаємо, що коефіцієнти отриманого ряду повинні дорівнювати 0. Тому

\[ (k+2) (k+1) a_{k+2} - a_k = 0 , \qquad \text{or} \qquad a_{k+2} = \dfrac{a_k}{(k+2)(k+1)} . \nonumber \]

Вищевказане рівняння називається рекурентним відношенням для коефіцієнтів степеневого ряду. Не важливо, що\(a_0\) або\(a_1\) було. Вони можуть бути довільними. Але як тільки ми вибираємо\(a_0\) і\(a_1\), то всі інші коефіцієнти визначаються співвідношенням повторення.

Подивимося, якими повинні бути коефіцієнти. По-перше,\(a_0\) і\(a_1\) є довільними

\[ a_2 = \dfrac{a_0}{2}, \quad a_3 = \dfrac{a_1}{(3)(2)}, \quad a_4 = \dfrac{a_2}{(4)(3)} = \dfrac{a_0}{(4)(3)(2)}, \quad a_5 = \dfrac{a_3}{(5)(4)} = \dfrac{a_1}{(5)(4)(3)(2)}, \quad \ldots \nonumber \]

Отже, зауважимо\(k\), що для навіть, тобто\( k=2n\) отримуємо

\[ a_k = a_{2n} = \dfrac{a_o}{(2n)!} \nonumber \]

і для непарних\(k\), що\( k=2n+1\) ми маємо

\[ a_k = a_{2n+1} = \dfrac{a_1}{(2n+1)!} \nonumber \]

Запишемо серіал

\[y =\sum_{k=0}^\infty a_k x^k= \sum_{n=0}^\infty \left( \dfrac{a_0}{(2n)!} \,x^{2n} +\dfrac{a_1}{(2n+1)!} \,x^{2n+1} \right) =a_0 \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(2n)!} \,x^{2n}+a_1 \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(2n+1)!} \,x^{2n+1} . \nonumber \]

Ми розпізнаємо два ряди як гіперболічний синус і косинус. Тому

\[ y= a_o \, \text{cosh} \, x + a_1\, \text{sinh}\, x \nonumber \]

Звичайно, загалом ми не зможемо розпізнати серію, яка з'являється, оскільки зазвичай не буде жодної елементарної функції, яка б їй відповідала. У цьому випадку ми будемо задоволені серіалом.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Зробимо більш складний приклад. Припустимо, ми хочемо вирішити рівняння Ейрі \(^{1}\), тобто

\[ y'' - xy = 0 \nonumber \]

біля точки\( x_0 = 0 \), яка є звичайною точкою.

пробуємо

\[ y = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \nonumber \]

Ми диференціюємо двічі (як зазначено вище), щоб отримати

\[ y'' = \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_k x^{k-2} \nonumber \]

\(y\)Вмикаємо в рівняння

\[\begin{align}\begin{aligned} 0 = y''-xy &= \Biggl( \sum_{k=2}^\infty k\,(k-1) \, a_k x^{k-2} \Biggr)-x \Biggl( \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \Biggr) \\ &= \Biggl( \sum_{k=2}^\infty k\,(k-1) \, a_k x^{k-2} \Biggr)-\Biggl( \sum_{k=0}^\infty a_k x^{k+1} \Biggr) .\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Ми переіндексуємо, щоб полегшити підсумок

\[\begin{align}\begin{aligned} 0 = y''-xy &= \Biggl( 2 a_2 + \sum_{k=1}^\infty (k+2)\,(k+1) \, a_{k+2} x^k \Biggr) - \Biggl( \sum_{k=1}^\infty a_{k-1} x^k \Biggr) . \\ &= 2 a_2 + \sum_{k=1}^\infty \Bigl( (k+2)\,(k+1) \, a_{k+2} - a_{k-1} \Bigr) \, x^k .\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Знову\( y'' - xy\) ж таки має бути 0, тому спочатку ми помічаємо, що\(a_2 = 0 \) а також

\[ (k+2)\,(k+1) \,a_{k+2} - a_{k-1} = 0 , \qquad \text{or} \qquad a_{k+2} = \dfrac{a_{k-1}}{(k+2)(k+1)} . \nonumber \]

Тепер стрибаємо з кроком по три. Спочатку ми\(a_2 = 0\) помічаємо, що оскільки ми повинні мати це\(a_5 = 0\)\(a_8 = 0\),\(a_{11}=0\), тощо\(\ldots\). Загалом\(a_{3n+2} =0\). Константи\(a_0\) і\(a_1\) довільні і отримуємо

\[a_3 = \dfrac{a_0}{(3)(2)}, \quad a_4 = \dfrac{a_1}{(4)(3)}, \quad a_6 = \dfrac{a_3}{(6)(5)} = \dfrac{a_0}{(6)(5)(3)(2)}, \quad a_7 = \dfrac{a_4}{(7)(6)} = \dfrac{a_1}{(7)(6)(4)(3)}, \quad \ldots \nonumber \]

Бо\(a_k\) де\(k\) кратна\(3\), тобто\(k=3n\) ми помічаємо, що

\[a_{3n} = \dfrac{a_0}{(2)(3)(5)(6) \cdots (3n-1)(3n)} . \nonumber \]

За\(a_k\) куди\(k = 3n+1\), помічаємо

\[a_{3n+1} = \dfrac{a_1}{(3)(4)(6)(7) \cdots (3n)(3n+1)} . \nonumber \]

Іншими словами, якщо ми запишемо серію,\(y\) ми помічаємо, що вона має дві частини

\[\begin{align}\begin{aligned} y &=\left( a_0 + \dfrac{a_0}{6} x^3 + \dfrac{a_0}{180} x^6 + \cdots + \dfrac{a_0}{(2)(3)(5)(6) \cdots (3n-1)(3n)} x^{3n} + \cdots \right) \\ & \phantom{=}+\left( a_1 x + \dfrac{a_1}{12} x^4 + \dfrac{a_1}{504} x^7 + \cdots + \dfrac{a_1}{(3)(4)(6)(7) \cdots (3n)(3n+1)} x^{3n+1} + \cdots \right) \\ &=a_0 \left(1 + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{1}{180} x^6 + \cdots + \dfrac{1}{(2)(3)(5)(6) \cdots (3n-1)(3n)} x^{3n} + \cdots \right) \\ &\phantom{=}+a_1\left(x + \dfrac{1}{12} x^4 + \dfrac{1}{504} x^7 + \cdots +\dfrac{1}{(3)(4)(6)(7) \cdots (3n)(3n+1)} x^{3n+1} + \cdots \right) .\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

визначаємо

\[\begin{align}\begin{aligned} y_1(x) &= 1 + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{1}{180} x^6 + \cdots + \dfrac{1}{(2)(3)(5)(6) \cdots (3n-1)(3n)} x^{3n} + \cdots, \\y_2(x) &= x + \dfrac{1}{12} x^4 + \dfrac{1}{504} x^7 + \cdots + \dfrac{1}{(3)(4)(6)(7) \cdots (3n)(3n+1)} x^{3n+1} + \cdots ,\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

і записати загальне рішення рівняння як\(y(x)= a_0 y_1(x) + a_1 y_2(x)\). Зверніть увагу з силового ряду, що\(y_1(0) = 1\) і\(y_2(0) = 0\). Також,\(y_1'(0) = 0\) і\(y_2'(0) = 1\). Тому\(y(x)\) є рішення, яке задовольняє початковим умовам\(y(0) = a_0\) і\(y'(0) = a_1\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Два розв'язки\(y_{1}\) і\(y_{2}\) рівняння Ейрі.

Функції\(y_1\) and \(y_2\) cannot be written in terms of the elementary functions that you know. See Figure \(\PageIndex{1}\) для сюжету рішень\(y_1\) and \(y_2\). These functions have many interesting properties. For example, they are oscillatory for negative \(x\) (like solutions to \(y''+y=0\)) and for positive \(x\) they grow without bound (like solutions to \(y''-y=0\)).

Іноді рішення може виявитися многочленом.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Hermite Equation

Знайдемо рішення так званого рівняння порядку Ерміта\(n\)\(^{2}\) is the equation

\[ y'' -2xy' + 2n y = 0 . \nonumber \]

Знайдіть рішення навколо точки\(x_0 = 0\).

Рішення

пробуємо

\[y = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k . \nonumber \]

Ми диференціюємо (як зазначено вище) для отримання

\[\begin{align}\begin{aligned} y' =& \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1} , \\ y'' &= \sum_{k=2}^\infty k\,(k-1) \, a_k x^{k-2} .\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Тепер включаємо в рівняння

\[\begin{align}\begin{aligned} 0 &= y''-2xy'+2ny \\ &= \Biggl( \sum_{k=2}^\infty k\,(k-1) \, a_k x^{k-2} \Biggr) -2x \Biggl( \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1} \Biggr)+2n \Biggl( \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \Biggr) \\ &=\Biggl( \sum_{k=2}^\infty k\,(k-1) \, a_k x^{k-2} \Biggr)- \Biggl( \sum_{k=1}^\infty 2k a_k x^k \Biggr) + \Biggl( \sum_{k=0}^\infty 2n a_k x^k \Biggr) \\ &= \Biggl(2a_2+ \sum_{k=1}^\infty (k+2)\,(k+1) \, a_{k+2} x^k \Biggr) - \Biggl( \sum_{k=1}^\infty 2k a_k x^k \Biggr) + \Biggl( 2na_0 + \sum_{k=1}^\infty 2n a_k x^k \Biggr) \\ &=2a_2+2na_0+ \sum_{k=1}^\infty \bigl( (k+2)\,(k+1) \, a_{k+2} - 2ka_k + 2n a_k \bigr) x^k .\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Як\(y''-2xy'+2ny = 0\) we have

\[(k+2)\,(k+1) \, a_{k+2} + ( - 2k+ 2n) a_k = 0 , \qquad \text{or} \qquad a_{k+2} = \dfrac{(2k-2n)}{(k+2)(k+1)} a_k . \nonumber \]

Це рекуррентне відношення насправді включає в себе\(a_2 = -na_0\) (which comes about from \(2a_2+2na_0 = 0\)). Again \(a_0\) and \(a_1\) are arbitrary.

\[\begin{align}\begin{aligned} a_2 &= \dfrac{-2n}{(2)(1)}a_0, \qquad a_3 = \dfrac{2(1-n)}{(3)(2)} a_1, \\ a_4& = \dfrac{2(2-n)}{(4)(3)} a_2 = \dfrac{2^2(2-n)(-n)}{(4)(3)(2)(1)} a_0 , \\ a_5& = \dfrac{2(3-n)}{(5)(4)} a_3 = \dfrac{2^2(3-n)(1-n)}{(5)(4)(3)(2)} a_1 , \quad \ldots\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Розділимо парні і непарні коефіцієнти. Ми знаходимо, що

\[\begin{align}\begin{aligned} a_{2m} &=\dfrac{2^m(-n)(2-n)\cdots(2m-2-n)}{(2m)!} , \\ a_{2m+1} &=\dfrac{2^m(1-n)(3-n)\cdots(2m-1-n)}{(2m+1)!} .\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Запишемо дві серії, один з парними силами і один з непарними.

\[\begin{align}\begin{aligned} y_1(x) &= 1+\dfrac{2(-n)}{2!} x^2 + \dfrac{2^2(-n)(2-n)}{4!} x^4 + \dfrac{2^3(-n)(2-n)(4-n)}{6!} x^6 + \cdots , \\ y_2(x) &= x+\dfrac{2(1-n)}{3!} x^3 + \dfrac{2^2(1-n)(3-n)}{5!} x^5 + \dfrac{2^3(1-n)(3-n)(5-n)}{7!} x^7 + \cdots .\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Ми тоді пишемо

\[y(x) = a_0 y_1(x) + a_1 y_2(x) . \nonumber \]

Ми також помічаємо, що якщо\(n\) is a positive even integer, then \(y_1(x)\) is a polynomial as all the coefficients in the series beyond a certain degree are zero. If \(n\) is a positive odd integer, then \(y_2(x)\) is a polynomial. For example, if \(n=4\), then

\[ y_1(x) = 1 + \dfrac{2(-4)}{2!} x^2 + \dfrac{2^2(-4)(2-4)}{4!} x^4= 1 - 4x^2 + \dfrac{4}{3} x^4 . \nonumber \]

Виноски

[1] Названий на честь англійського математика сера Джорджа Бідделла Ейрі (1801 — 1892).

[2] Названа на честь французького математика Шарля Ерміта (1822—1901).