8.5: Проблеми

8.1. Використовуйте Метод варіації параметрів, щоб визначити загальне рішення для наступних задач.

а\(y^{\prime \prime}+y=\tan x\).
б.\(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=6 x e^{2 x}\)

8.2. Замість того, щоб припускати, що\(c_{1}^{\prime} y_{1}+c_{2}^{\prime} y_{2}=0\) при виведенні рішення використовується Variation of Parameters, припустимо, що\(c_{1}^{\prime} y_{1}+c_{2}^{\prime} y_{2}=h(x)\) для довільної функції\(h(x)\) і показати, що один отримує той самий конкретний розв'язок.

8.3. Знайти розв'язок кожної задачі початкового значення, використовуючи відповідне початкове значення функції Гріна.

а\(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=20 e^{-2 x}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=6\).
б\(y^{\prime \prime}+y=2 \sin 3 x, \quad y(0)=5, \quad y^{\prime}(0)=0\).
c\(y^{\prime \prime}+y=1+2 \cos x, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0\).
д\(x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=3 x^{2}-x, \quad y(1)=\pi, \quad y^{\prime}(1)=0\).

8.4. Розглянемо проблему\(y^{\prime \prime}=\sin x, y^{\prime}(0)=0, y(\pi)=0\).

a. вирішувати шляхом прямої інтеграції.
b. визначити функцію Гріна.
c Розв'яжіть крайову задачу за допомогою функції Гріна.
d) Змініть граничні умови на\(y^{\prime}(0)=5, y(\pi)=-3\).

i. вирішувати шляхом прямої інтеграції.
II. Вирішити за допомогою функції Гріна.

8.5. Розглянемо проблему:

\[\dfrac{\partial^{2} G}{\partial x^{2}}=\delta\left(x-x_{0}\right), \quad \dfrac{\partial G}{\partial x}\left(0, x_{0}\right)=0, \quad G\left(\pi, x_{0}\right)=0 \nonumber \]

a. вирішувати шляхом прямої інтеграції.
b) Порівняйте цей результат з функцією Гріна в частині b останньої задачі.
c Переконайтеся, що\(G\) це симетрично у своїх аргументах.

8.6. У цій задачі ви покаже, що послідовність функцій

\[f_{n}(x)=\dfrac{n}{\pi}\left(\dfrac{1}{1+n^{2} x^{2}}\right) \nonumber \]

підходи\(\delta(x)\) як\(n \rightarrow \infty\). Скористайтеся наступним, щоб підтвердити свій аргумент:

а. показати, що\(\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=0\) для\(x \neq 0\).
б Показати, що площа під кожною функцією одна.

8.7. Переконайтеся, що послідовність функцій\(\left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}\), визначена\(f_{n}(x)= \dfrac{n}{2} e^{-n|x|}\), наближається до дельта-функції.

8.8. Оцініть наступні інтеграли:

а\(\int_{0}^{\pi} \sin x \delta\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) d x\).
б\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(\dfrac{x-5}{3} e^{2 x}\right)\left(3 x^{2}-7 x+2\right) d x\)
. в\(\int_{0}^{\pi} x^{2} \delta\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) d x\).
д\(\int_{0}^{\infty} e^{-2 x} \delta\left(x^{2}-5 x+6\right) d x\). [Див. Проблема 8.10.]
е\(\int_{-\infty}^{\infty}\left(x^{2}-2 x+3\right) \delta\left(x^{2}-9\right) d x\). [Див. Проблема 8.10.]

8.9. Знайти подання рядів Фур'є дельта-функції Дірака\(\delta(x)\), на\([-L, L]\)

8.10. У випадку, коли функція має кілька простих коренів\(f\left(x_{i}\right)=0\)\(f^{\prime}\left(x_{i}\right) \neq 0, i=1,2, \ldots\), можна показати, що

\[\delta(f(x))=\sum_{i=1}^{n} \dfrac{\delta\left(x-x_{i}\right)}{\left|f^{\prime}\left(x_{i}\right)\right|} . \nonumber \]

Використовуйте цей результат для оцінки\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(x^{2}-5 x+6\right)\left(3 x^{2}-7 x+2\right) d x\).

8.11. Розглянемо крайову задачу:\(y^{\prime \prime}-y=x, x \in(0,1)\), з граничними умовами\(y(0)=y(1)=0\).

a. знайти рішення закритої форми без використання функцій Гріна.
b. визначити замкнуту форму функції Гріна за допомогою властивостей функцій Гріна. Використовуйте цю функцію Гріна для отримання розв'язку крайової задачі.
c Визначити послідовне подання функції Гріна. Використовуйте цю функцію Гріна для отримання розв'язку крайової задачі.
d. підтвердити, що всі отримані рішення дають однакові результати.