8.3: Властивості функцій Гріна
- Page ID
- 61623
Ми відзначили деякі властивості функцій Гріна в останньому розділі. У цьому розділі ми розглянемо деякі з цих властивостей як інструмент швидкого побудови функцій Гріна для крайових задач. Ось список властивостей, заснованих на нашому попередньому рішенні.
1. Диференціальне рівняння:
\(\dfrac{\partial}{\partial x}\left(p(x) \dfrac{\partial G(x, \xi)}{\partial x}\right)+q(x) G(x, \xi)=0, x \neq \xi\)
Бо\(x<\xi\) ми знаходимося на другій гілці і\(G(x, \xi)\) пропорційно\(y_{1}(x)\). Таким чином, оскільки\(y_{1}(x)\) є розв'язком однорідного рівняння, то так і є\(G(x, \xi)\). Бо\(x>\xi\) ми знаходимося на першій гілці і\(G(x, \xi)\) пропорційно\(y_{2}(x)\). Отже, ще раз\(G(x, \xi)\) - це рішення однорідної проблеми.
2. Граничні умови:
Бо\(x=a\) ми знаходимося на другій гілці і\(G(x, \xi)\) пропорційно\(y_{1}(x)\). Таким чином, яка б умова не\(y_{1}(x)\) задовольняла,\(G(x, \xi)\) задовольнить. Аналогічне твердження можна зробити і для\(x=b\).
3. Симетрія або взаємність:\(G(x, \xi)=G(\xi, x)\)
Ми показали це в останньому розділі.
4. Безперервність\(\mathbf{G}\) при\(x=\xi\):\(G\left(\xi^{+}, \xi\right)=G\left(\xi^{-}, \xi\right)\)
Тут ми визначили
\ почати {вирівняний}
&G\ ліворуч (\ xi^ {+}, x\ праворуч) =\ lim _ {x\ вниз\ xi} G (x,\ xi),\ квад x>\ xi\
&G\ ліворуч (\ xi^ {-}, х\ праворуч) =\ lim _ {x\ uParrow\ xi} G (x,\ xi),\ квад x <\ xi
кінець {вирівняний}
Встановлення\(x=\xi\) в обох відділеннях, у нас є
\[\dfrac{y_{1}(\xi) y_{2}(\xi)}{p W}=\dfrac{y_{1}(\xi) y_{2}(\xi)}{p W} \nonumber \]
5. Перейти розриву\(\dfrac{\partial G}{\partial x}\) при\(x=\xi\):
\[\dfrac{\partial G\left(\xi^{+}, \xi\right)}{\partial x}-\dfrac{\partial G\left(\xi^{-}, \xi\right)}{\partial x}=\dfrac{1}{p(\xi)} \nonumber \]
Цей випадок не такий очевидний. Спочатку обчислюємо похідні, зазначивши, яка гілка задіяна, а потім оцінюємо похідні та віднімаємо їх. Таким чином, ми маємо
\ [\ почати {вирівняний}
\ dfrac {\ частковий G\ лівий (\ xi^ {+},\ xi\ праворуч)} {\ частковий х} -\ dfrac {\ частковий G\ лівий (\ xi^ {-},\ xi\ праворуч)} {\ частковий х} &=-\ dfrac {1} {p W^ {\ прайм}} y_ {1} (\ xi) y_ {2} ^ {\ прайм} (\ xi) +\ dfrac {1} {p W} y_ {1} ^ {\ prime} (\ xi) y_ {2} (\ xi)\
&=-\ dfrac {y_ {1} ^ {\ прайм} (\ xi) y_ {2} (\ xi) ) -y_ {1} (\ xi) y_ {2} ^ {\ прайм} (\ xi)} {p (\ xi)\ лівий (y_ {1} (\ xi) y_ {2} ^ {\ prime} (\ xi) -y_ {1} ^ {\ xi) y_ {2} (\ xi)\ праворуч)}\
&=\ dfrac {1} {p (\ xi)}
\ кінець {вирівняний}\ мітка {8.47}\]
Тепер ми покажемо, як знання цих властивостей дозволяє швидко побудувати функцію Гріна.
\ begin {зібраний}
y^ {\ прайм\ прайм} +\ омега^ {2} y=f (x),\ quad 0<x<1,\\
y (0) =0=y (1),
\ кінець {зібраний}
с\(\omega \neq 0\).
І. знайти розв'язки однорідного рівняння.
Загальний розв'язок однорідного рівняння дається як
\[y_{h}(x)=c_{1} \sin \omega x+c_{2} \cos \omega x . \nonumber \]
Таким чином, для того\(x \neq \xi\),
\[G(x, \xi)=c_{1}(\xi) \sin \omega x+c_{2}(\xi) \cos \omega x \nonumber \]
ІІ. Граничні умови.
По-перше, у нас є\(G(0, \xi)=0\) для\(0 \leq x \leq \xi\). Отже,
\[G(0, \xi)=c_{2}(\xi) \cos \omega x=0 \nonumber \]
Отже,
\[G(x, \xi)=c_{1}(\xi) \sin \omega x, \quad 0 \leq x \leq \xi . \nonumber \]
По-друге, у нас є\(G(1, \xi)=0\) для\(\xi \leq x \leq 1\). Отже,
\[G(1, \xi)=c_{1}(\xi) \sin \omega+c_{2}(\xi) \cos \omega .=0 \nonumber \]
Рішення можна вибрати за допомогою
\[c_{2}(\xi)=-c_{1}(\xi) \tan \omega \nonumber \]
Це дає
\[G(x, \xi)=c_{1}(\xi) \sin \omega x-c_{1}(\xi) \tan \omega \cos \omega x . \nonumber \]
Це можна спростити шляхом факторингу\(c_{1}(\xi)\) та розміщення інших термінів над спільним знаменником. Результат -
\ [\ почати {вирівняний}
G (x,\ xi) &=\ dfrac {c_ {1} (\ xi)} {\ cos\ омега} [\ sin\ омега-\ sin\ омега\ cos\ омега х]\\
&=-\ dfrac {c_ {1} (\ xi)} {\ cos\ омега}\ sin\ омега (1-х)
\ кінець {вирівняний}\ мітка {8.48}\]
Так як коефіцієнт довільний в цей момент, так як можна записати результат як
\[G(x, \xi)=d_{1}(\xi) \sin \omega(1-x), \quad \xi \leq x \leq 1 \nonumber \]
Зауважимо, що ми могли б почати з\(y_{2}(x)=\sin \omega(1-x)\) одного з наших лінійно незалежних розв'язків однорідної задачі в очікуванні, що\(y_{2}(x)\) задовольняє другу граничну умову.
ІІІ. Симетрія або взаємність
Ми зараз нав'язуємо це\(G(x, \xi)=G(\xi, x)\). До цього моменту ми маємо це
\ (G (x,\ xi) =\ лівий\ {\ begin {масив} {cc}
c_ {1} (\ xi)\ sin\ омега х, & 0\ leq x\ leq\ xi\\
d_ {1} (\ xi)\ sin\ омега (1-х), &\ xi\ leq x\ leq 1
\ end {масив}. \ праворуч.\)
Ми можемо зробити гілки симетричними, підібравши правильні форми для\(c_{1}(\xi)\) і\(d_{1}(\xi)\). Ми вибираємо\(c_{1}(\xi)=C \sin \omega(1-\xi)\) і\(d_{1}(\xi)=C \sin \omega \xi .\) тоді,
\ (G (x,\ xi) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
C\ sin\ омега (1-\ xi)\ sin\ омега х, 0\ leq x\ leq\ xi\\
C\ sin\ омега (1-х)\ sin\ омега\ xi,\ xi\ leq x\ leq 1
\ end {масив}. \ праворуч.\)
Тепер функція Гріна симетрична, і нам залишається визначити константу\(C\). Зауважимо, що ми могли б дійти до цього моменту, використовуючи метод варіації параметрів результат де\(C=\dfrac{1}{p W}\).
IV. Безперервність\(G(x, \xi)\)
Відзначимо, що ми вже маємо наступність в силу симетрії, накладеної на останньому кроці.
V. Розрив стрибка в\(\dfrac{\partial}{\partial x} G(x, \xi)\).
Нам ще потрібно визначитися\(C\). Ми можемо зробити це, використовуючи стрибок розриву похідної:
\[\dfrac{\partial G\left(\xi^{+}, \xi\right)}{\partial x}-\dfrac{\partial G\left(\xi^{-}, \xi\right)}{\partial x}=\dfrac{1}{p(\xi)} \nonumber \]
Для нашої проблеми\(p(x)=1\). Таким чином, вставляючи функцію нашого Гріна, у нас є
\ [\ почати {вирівняний}
1 &=\ dfrac {\ частковий G\ лівий (\ xi ^ {+},\ xi\ праворуч)} {\ частковий х} -\ dfrac {\ частковий G\ лівий (\ xi^ {-},\ xi\ праворуч)} {\ частковий х}\\
&=\ dfrac {\ частковий} {\ частковий х} [C\ sin\ омега (1-1 x)\ sin\ омега\ xi] _ {x =\ xi} -\ dfrac {\ частковий} {\ частковий х} [C\ sin\ омега (1-\ xi)\ sin\ омега х] _ {x =\ xi}\\
&=-\ омега С\ cos\ омега (1-\ xi)\ sin\ омега\ xi-\ омега C\ sin\ омега (1-\ xi)\ cos\ омега\ xi\
&=-\ омега C\ sin\ sin\ омега (\ xi+1-\ xi)\
&=-\ омега C\ sin\ омега\ омега.
\ end {вирівняний}\ мітка {8.49}\]
Тому
\[C=-\dfrac{1}{\omega \sin \omega} . \nonumber \]
Нарешті, у нас є функція Гріна:
\ [G (x,\ xi) =\ лівий\ {\ почати {масив} {л}
-\ dfrac {\ sin\ омега (1-\ xi)\ sin\ омега х} {\ омега\ син\ омега}, 0\ leq x\ leq\ xi\
-\ dfrac {\ sin\ омега (1-х)\ син\ омега\ xi},\ xi\ leq х\ leq 1
\ end {масив}. \ праворуч. \ етикетка {8.50}\]
Повчально порівнювати цей результат з результатом Variation of Parameters. У нас є функції\(y_{1}(x)=\sin \omega x\) і\(y_{2}(x)=\sin \omega(1-x)\) як розв'язки однорідного рівняння задовольняють\(y_{1}(0)=0\) і\(y_{2}(1)=0\). Нам потрібно обчислити\(p W\):
\ [\ почати {вирівняний}
p (x) W (x) &=y_ {1} (x) y_ {2} ^ {\ прайм} (x) -y_ {1} ^ {\ prime} (x) {2} (x)\\
&=-\ омега\ sin\ омега х\ cos\ омега (1-х) -\ омега\ cos\ cos\ омега\ cos\ омега x\ sin\ омега (1-х) x)\\
&=-\ омега\ гріх\ омега
\ кінець {вирівняний}\ етикетка {8.51}\]
Вставлення цього результату до результату Variation of Parameters для функції Гріна призводить до тієї ж функції Гріна, що і вище.
8.3.1 Дельта Функція Дірака
Розробимо більш загальну теорію функцій Гріна для звичайних диференціальних рівнянь, яка охоплює деякі з перерахованих властивостей. Функція Гріна задовольняє однорідне диференціальне рівняння для\(x \neq \xi\),
\[\dfrac{\partial}{\partial x}\left(p(x) \dfrac{\partial G(x, \xi)}{\partial x}\right)+q(x) G(x, \xi)=0, \quad x \neq \xi . \label{8.52} \]
Коли\(x=\xi\), ми побачили, що похідна має стрибок у своєму значенні. Це схоже на крок, або Хевісайд, функція,
\ (H (x) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
1, x>0\\
0, x<0
\ end {масив}\ вправо.\)
У випадку функції step похідна дорівнює нулю скрізь, крім стрибка. При стрибку є нескінченний нахил, хоча технічно, ми дізналися, що похідної в цій точці немає. Ми спробуємо виправити це шляхом введення дельта-функції Дірака,
\[\delta(x)=\dfrac{d}{d x} H(x) . \nonumber \]
Потім ми покажемо, що функція Гріна задовольняє диференціальному рівнянню
\[\dfrac{\partial}{\partial x}\left(p(x) \dfrac{\partial G(x, \xi)}{\partial x}\right)+q(x) G(x, \xi)=\delta(x-\xi) . \label{8.53} \]
Дельта-функція Дірака є одним із прикладів того\(\delta(x)\), що відомо як узагальнена функція, або розподіл. Дірак ввів цю функцію в 1930-х роках у своєму вивченні квантової механіки як корисного інструменту. Пізніше він був вивчений в загальній теорії розподілів і виявився більш ніж простим інструментом, яким користуються фізики. Дельта-функція Дірака, як і будь-який розподіл, має сенс лише під інтегралом.
Перш ніж визначити дельта-функцію Дірака і ввести деякі її властивості, ми розглянемо деякі уявлення, які призводять до визначення. Ми розглянемо межі двох послідовностей функцій.
Спочатку визначаємо послідовність функцій
\ (f_ {n} (x) =\ лівий\ {\ почати {масив} {л}
0, |x|>\ dfrac {1} {n}\
\ dfrac {n} {n} {n}\ dfrac {1} {n}
\ кінець {масив}\ праворуч.\)
Це послідовність функцій, як показано на малюнку 8.1. Як\(n \rightarrow \infty\), ми знаходимо межа дорівнює нулю для\(x \neq 0\) і нескінченна для\(x=0\). Однак площа під кожним членом послідовності одна, оскільки кожна коробка має висоту\(\dfrac{n}{2}\) та ширину\(\dfrac{2}{n}\). Таким чином, гранична функція дорівнює нулю в більшості точок, але має область перша. (У цей момент читач, який новачок у цьому повинен робити деякі подряпини голови!)
Межа насправді не є функцією. Це узагальнена функція. Вона називається дельта-функцією Дірака, яка визначається
1. \(\delta(x)=0\)для\(x \neq 0\).
2. \(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) d x=1\).
Інший приклад - послідовність, визначена
\[D_{n}(x)=\dfrac{2 \sin n x}{x} . \label{8.54} \]
Ми можемо графік цієї функції. Ми спочатку перепишемо цю функцію як
\[D_{n}(x)=2 n \dfrac{\sin n x}{n x} . \nonumber \]
Тепер легко побачити, що як\(x \rightarrow 0, D_{n}(x) \rightarrow 2 n\). Для великих\(x\), Функція прагне до нуля. Графік цієї функції знаходиться на малюнку 8.2. Для великих\(n\) пік зростає, а значення\(D_{n}(x)\) for\(x \neq 0\) прагнуть до нуля, як показано на малюнку 8.3.
Відзначимо, що в межі\(n \rightarrow \infty, D_{n}(x)=0\) для\(x \neq 0\) і вона нескінченна при\(x=0\). Однак за допомогою комплексного аналізу можна показати, що площа
\[\int_{-\infty}^{\infty} D_{n}(x) d x=2 \pi \nonumber \]
Таким чином, площа постійна для кожного\(n\).
Існує дві основні властивості, які визначають дельта-функцію Дірака. Перший має, що площа під функцією дельта одна,
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) d x=1 \nonumber \]
Інтеграція через більш загальні інтервали дає
\[\int_{a}^{b} \delta(x) d x=1, \quad 0 \in[a, b] \nonumber \]
і
\[\int_{a}^{b} \delta(x) d x=0, \quad 0 \notin[a, b] . \nonumber \]
Ще однією загальною властивістю є те, що іноді називають властивістю просіювання. А саме інтеграція добутку функції і дельта-функції «відсіває» конкретне значення функції. Це дається
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) f(x) d x=f(a) \nonumber \]
Це можна побачити, зазначивши, що функція дельта дорівнює нулю скрізь, крім at\(x=a\). Тому integrand дорівнює нулю скрізь і єдиний внесок від\(f(x)\) буде від\(x=a\). Таким чином, ми можемо замінити\(f(x)\) з\(f(a)\) під інтеграл. Оскільки\(f(a)\) це константа, ми маємо це
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) f(x) d x=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) f(a) d x=f(a) \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) d x=f(a) . \nonumber \]
Інша властивість є результатом використання масштабованого аргументу,\(a x\). У цьому випадку ми показуємо, що
\[\delta(a x)=|a|^{-1} \delta(x) . \label{8.55} \]
Як завжди, це має значення лише під цілісним знаком. Отже, поміщаємо\(\delta(a x)\) всередині інтеграла і робимо підстановку\(y=a x\):
\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ дельта (a x) d x &=\ lim _ {L\ rightarrow\ infty}\ int_ {-L} ^ {L}\ дельта (a x) x\\
&=\ lim _ {L\ rightarrow\ infty}\ dfrac {1} {a}\ int_ {-a L} ^ {a L}\ дельта (y) d y
\ кінець {вирівняний}\ мітка {8.56}\]
Якщо\(a>0\) тоді
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(a x) d x=\dfrac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) d y . \nonumber \]
Однак якщо\(a<0\) тоді
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(a x) d x=\dfrac{1}{a} \int_{\infty}^{-\infty} \delta(y) d y=-\dfrac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) d y . \nonumber \]
Загальна різниця в мультиплікативному знаку мінус може бути поглинена в один вираз, змінивши коефіцієнт\(1 / a\) на\(1 /|a|\). Таким чином,
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(a x) d x=\dfrac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) d y . \label{8.57} \]
\[\int_{-\infty}^{\infty}(5 x+1) \delta(4(x-2)) d x=\dfrac{1}{4} \int_{-\infty}^{\infty}(5 x+1) \delta(x-2) d x=\dfrac{11}{4} \nonumber \]
Більш загальне масштабування аргументу набуває вигляду\(\delta(f(x))\). Інтеграл\(\delta(f(x))\) може бути оцінений в залежності від кількості нулів\(f(x)\). Якщо є тільки один нуль\(f\left(x_{1}\right)=0\), то один має що
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(f(x)) d x=\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{\left|f^{\prime}\left(x_{1}\right)\right|} \delta\left(x-x_{1}\right) d x \nonumber \]
Це можна довести за допомогою підміни\(y=f(x)\) і залишити як вправу для читача. Цей результат часто пишуть як
\[\delta(f(x))=\dfrac{1}{\left|f^{\prime}\left(x_{1}\right)\right|} \delta\left(x-x_{1}\right) . \nonumber \]
Це не просто\(\delta(x-a)\). Отже, нам потрібно знайти нулі\(f(x)=3 x-2\). Є тільки один,\(x=\dfrac{2}{3}\). Крім того,\(\left|f^{\prime}(x)\right|=3\). Тому у нас є
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(3 x-2) x^{2} d x=\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{3} \delta\left(x-\dfrac{2}{3}\right) x^{2} d x=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{27} \nonumber \]
Зауважте, що цей інтеграл можна оцінити довгий шлях, використовуючи підстановку\(y=3 x-2\). Потім,\(d y=3 d x\) і\(x=(y+2) / 3\). Це дає
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(3 x-2) x^{2} d x=\dfrac{1}{3} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(y)\left(\dfrac{y+2}{3}\right)^{2} d y=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{4}{27} . \nonumber \]
Більш загально, можна показати, що коли\(f\left(x_{j}\right)=0\) і\(f^{\prime}\left(x_{j}\right) \neq 0\)\(x_{j}\) for\(j=1,2, \ldots, n\), (тобто; коли має $n$ прості нулі), то
\[\delta(f(x))=\sum_{j=1}^{n} \dfrac{1}{\left|f^{\prime}\left(x_{j}\right)\right|} \delta\left(x-x_{j}\right) . \nonumber \]
У цьому випадку аргумент дельта-функції має два простих кореня. А саме,\(f(x)=x^{2}-\pi^{2}=0\) коли\(x=\pm \pi\). Крім того,\(f^{\prime}(x)=2 x\). Тому,\(\left|f^{\prime}(\pm \pi)\right|=2 \pi\). Це дає
\[\delta\left(x^{2}-\pi^{2}\right)=\dfrac{1}{2 \pi}[\delta(x-\pi)+\delta(x+\pi)] . \nonumber \]
Вставивши цей вираз в інтеграл і зазначивши, що\(x=-\pi\) немає в інтервалі інтеграції, ми маємо
\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {0} ^ {2\ pi}\ cos х\ дельта\ ліворуч (x^ {2} -\ pi^ {2}\ праворуч) d x &=\ dfrac {1} {2\ pi}\ int_ {0} ^ {2\ pi}\ cos x [\ дельта (x-\ pi) +\ дельта (x+\ pi)] d\\
&=\ dfrac {1} {2\ пі}\ cos\ pi =-\ dfrac {1} {2\ пі}
\ кінець {вирівняний}\ мітка {8.58}\]
Нарешті, ми раніше відзначали, що існує зв'язок між функцією Хевісайда, або кроком, та дельта-функцією Дірака. Ми визначили функцію Хевісайда як
\ (H (x) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
0, x<0\\
1, x>0
\ end {масив}\ вправо.\)
Тоді це легко побачити\(H^{\prime}(x)=\delta(x)\).
8.3.2 Диференціальне рівняння функції Гріна
Як зазначалося, функція Гріна задовольняє диференціальному рівнянню
\[\dfrac{\partial}{\partial x}\left(p(x) \dfrac{\partial G(x, \xi)}{\partial x}\right)+q(x) G(x, \xi)=\delta(x-\xi) \label{8.59} \]
і задовольняє однорідним умовам. Ми використали функцію Гріна для розв'язання неоднорідного рівняння
\[\dfrac{d}{d x}\left(p(x) \dfrac{d y(x)}{d x}\right)+q(x) y(x)=f(x) . \label{8.60} \]
Ці рівняння можна записати в більш компактних формах.
\ [\ почати {зібраний}
\ mathcal {L} [y] = f (x)\\
\ mathcal {L} [G] =\ дельта (x-\ xi).
\ end {зібраний}\ мітка {8.61}\]
Помноживши перше рівняння на\(G(x, \xi)\), друге рівняння на\(y(x)\), а потім віднімаючи, ми маємо
\[G \mathcal{L}[y]-y \mathcal{L}[G]=f(x) G(x, \xi)-\delta(x-\xi) y(x) . \nonumber \]
Тепер інтегруйте обидві сторони від\(x=a\) до\(x=b\). Ліва сторона стає
\[\int_{a}^{b}[f(x) G(x, \xi)-\delta(x-\xi) y(x)] d x=\int_{a}^{b} f(x) G(x, \xi) d x-y(\xi) \nonumber \]
і, використовуючи Ідентичність Гріна, права сторона
\[\int_{a}^{b}(G \mathcal{L}[y]-y \mathcal{L}[G]) d x=\left[p(x)\left(G(x, \xi) y^{\prime}(x)-y(x) \dfrac{\partial G}{\partial x}(x, \xi)\right)\right]_{x=a}^{x=b} \nonumber \]
Поєднуючи ці результати і переставляючи, отримуємо
\[y(\xi)=\int_{a}^{b} f(x) G(x, \xi) d x-\left[p(x)\left(y(x) \dfrac{\partial G}{\partial x}(x, \xi)-G(x, \xi) y^{\prime}(x)\right)\right]_{x=a}^{x=b} \label{8.62} \]
Далі використовують граничні умови в задачі, щоб визначити, яким умовам повинна задовольнити функція Гріна. Наприклад, якщо у нас гранична умова\(y(a)=0\) а\(y(b)=0\), то граничні терміни дають
\ [\ почати {вирівняний}
y (\ xi) =&\ int_ {a} ^ {b} f (x) G (x,\ xi) d x-\ лівий [p (b)\ лівий (y (b)\ dfrac {\ частковий G} {\ частковий x} (b,\ xi) -G (b,\ xi) y^ {\ правий} (б)\ праворуч]\\
&+\ лівий [p (a)\ лівий (y (a)\ dfrac {\ частковий G} {\ частковий х} (a,\ xi) -G (a,\ xi) y^ {\ правий} (а)\ праворуч]\\
=&\ int_ {a} ^ {b} f (x) Г (х,\ xi) д х+р (б) Г (б,\ xi) y^ {\ prime} (b) -p (а) Г (а,\ xi) y^ {\ prime} (a).
\ end {вирівняний}\ мітка {8.63}\]
Права сторона зникне лише в тому випадку, якщо\(G(x, \xi)\) також задовольняє цим однорідним граничним умовам. Тоді це залишає нам рішення.
\[y(\xi)=\int_{a}^{b} f(x) G(x, \xi) d x . \nonumber \]
Ми повинні переписати це як функцію\(x\). Отже, замінюємо на\(x\) і\(\xi\)\(x\) з\(\xi\). Це дає
\[y(x)=\int_{a}^{b} f(\xi) G(\xi, x) d \xi . \nonumber \]
Однак це ще не в бажаному вигляді. Аргументи функції Гріна змінюються. Але,\(G(x, \xi)\) є симетричною в своїх аргументах. Отже, ми можемо просто перемикати аргументи, отримуючи бажаний результат.
Тепер ми бачимо, що теорія працює для інших граничних умов. Якби ми мали\(y^{\prime}(a)=0\), то\(y(a) \dfrac{\partial G}{\partial x}(a, \xi)\) термін у граничних терміні можна було б змусити зникнути, якщо ми встановимо\(\dfrac{\partial G}{\partial x}(a, \xi)=0\). Таким чином, це підтверджує, що інші крайові проблеми можуть бути поставлені окрім тієї, яка була розроблена в розділі до цього часу.
Ми навіть можемо адаптувати цю теорію до неоднорідних граничних умов. Спочатку ми перепишемо рівняння (8.62) як
\[y(x)=\int_{a}^{b} G(x, \xi) f(\xi) d \xi-\left[p(\xi)\left(y(\xi) \dfrac{\partial G}{\partial \xi}(x, \xi)-G(x, \xi) y^{\prime}(\xi)\right)\right]_{\xi=a}^{\xi=b} . \label{8.64} \]
Розглянемо граничні умови\(y(a)=\alpha\) і\(y^{\prime}(b)= beta\). Також припустимо, що\(G(x, \xi)\) задовольняє однорідним граничним умовам,
\[G(a, \xi)=0, \quad \dfrac{\partial G}{\partial \xi}(b, \xi)=0 . \nonumber \]
в обох\(x\) і\(\xi\) так як функція Гріна симетрична у своїх змінних. Потім нам потрібно лише зосередитись на граничних термах, щоб вивчити вплив на рішення. У нас є
\ [\ почати {вирівняний}
{\ лівий [p (\ xi)\ лівий (y (\ xi)\ dfrac {\ частковий G} {\ частковий\ xi} (x,\ xi) -G (x,\ xi) y^ {\ prime} (\ xi)\ правий}\ правий] _ {\ xi = a} ^ {\ xi = b}} &=\ лівий [p (b\) ліворуч (y (b)\ dfrac {\ частковий G} {\ частковий\ xi} (x, b) -G (x, b) y^ {\ правий} (б)\ праворуч]\\
&-\ ліворуч [p (a)\ ліворуч (y (a)\ dfrac {\ часткове G} {\ часткове\ xi} (x, a) -G (x, a) y^ {\ prime} (a)\ право)\ право. \\
&=-\ бета р (б) G (x, b) -\ альфа р (а)\ dfrac {\ частковий G} {\ частковий\ xi} (x, a)
\ кінець {вирівняний}\ мітка {8.65}\]
Тому у нас є рішення
\[y(x)=\int_{a}^{b} G(x, \xi) f(\xi) d \xi+\beta p(b) G(x, b)+\alpha p(a) \dfrac{\partial G}{\partial \xi}(x, a) . \label{8.66} \]
Цей розв'язок задовольняє неоднорідним граничним умовам. Давайте подивимося, як це працює.
\ [G (x,\ xi) =\ лівий\ {\ begin {масив} {l}
-\ xi (1-х), 0\ leq\ xi\ leq x\\
-x (1-\ xi), х\ leq\ xi\ leq 1
\ end {масив}. \ праворуч. \ етикетка {8.67}\]
Вставляємо функцію Гріна в розв'язку і використовуємо задані умови для отримання
\ [\ почати {вирівняний}
y (x) &=\ int_ {0} ^ {1} G (x,\ xi)\ xi {2} д\ xi-\ лівий [y (\ xi)\ dfrac {\ частковий G} {\ частковий\ xi} (x,\ xi) -G (x,\ xi) y^ {\ prime} (\ xi)\ праворуч] _ {\ xi) =0} ^ {\ xi=1}\\
&=\ int_ {0} ^ {x} (x-1)\ xi^ {3} d\ xi+\ int_ {x} ^ {1} x (\ xi-1)\ xi^ {2} d\ xi+y (0)\ dfrac {\ часткова G} {\ часткова\ xi} ( x, 0) -y (1)\ dfrac {\ частковий G} {\ частковий\ xi} (x, 1)\\
&=\ dfrac {(x-1) x^ {4}} {4} +\ dfrac {x\ лівий (1-x^ {4}\ праворуч)} {4} -\ dfrac {х\ ліворуч (1-x^ {3}\ праворуч)} {4} -\ dfrac {х\ ліворуч (1-x^ {3}\ праворуч}) {3} + (x-1) -2 х\\
&=\ dfrac {x^ {4}} {12} +\ dfrac {35} {12} x-1
\ кінець {вирівняний}\ мітка {8.68}\]
Звичайно, цю проблему можна вирішити більш безпосередньо шляхом безпосередньої інтеграції. Загальним рішенням є
\[y(x)=\dfrac{x^{4}}{12}+c_{1} x+c_{2} . \nonumber \]
Вставка цього розв'язку в кожну граничну умову дає однаковий результат.
Ми бачили, як введення дельта-функції Дірака в диференціальне рівняння, задоволене функцією Гріна, Equation (8.59), може призвести до розв'язання крайових задач. Дельта-функція Дірака також допомагає в нашій інтерпретації функції Гріна. Відзначимо, що функція Гріна є розв'язком рівняння, в якому знаходиться неоднорідна функція\(\delta(x-\xi)\). Зверніть увагу, що якщо ми помножимо дельта-функцію на\(f(\xi)\) і інтегруємо, ми отримаємо
\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-\xi) f(\xi) d \xi=f(x) \nonumber \]
Ми можемо розглядати дельта-функцію як одиничний імпульс, при\(x=\xi\) якому можна використовувати для побудови\(f(x)\) як суми імпульсів різної сили\(f(\xi)\). Таким чином, функція Гріна - це відповідь на імпульс, який регулюється диференціальним рівнянням та заданими граничними умовами.
Зокрема, примусове рівняння дельта-функції може бути використано для отримання умови стрибка. Починаємо з рівняння у вигляді
\[\dfrac{\partial}{\partial x}\left(p(x) \dfrac{\partial G(x, \xi)}{\partial x}\right)+q(x) G(x, \xi)=\delta(x-\xi) . \label{8.69} \]
Тепер інтегруйте обидві сторони від\(\xi-\epsilon\) до\(\xi+\epsilon\) і візьміть межу як\(\epsilon \rightarrow 0\). Потім,
\ [\ почати {вирівняний}
\ lim _ {\ epsilon\ rightarrow 0}\ int_ {\ xi-\ epsilon} ^ {\ xi+\ epsilon}\ лівий [\ dfrac {\ частковий x}\ лівий (p (x)\ dfrac {\ частковий G (x,\ xi)} {\ частковий х}\ праворуч) +q (x) G (x,\ xi)\ право] d x &=\ lim _ {\ епсилон\ стрілка вправо 0}\ int_ {\ xi-\ epsilon} ^ {\ xi+\ epsilon}\ дельта (x-\ xi) d x\\
&=1.
\ end {вирівняний}\ мітка {8.70}\]
Оскільки\(q(x)\) термін є безперервним, межа цього терміну зникає. Використовуючи фундаментальну теорему числення, ми тоді маємо
\[\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[p(x) \dfrac{\partial G(x, \xi)}{\partial x}\right]_{\xi-\epsilon}^{\xi+\epsilon}=1 . \label{8.71} \]
Це умова стрибка, яку ми використовували!